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2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共50页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题4分，共48分，错选、没有选或选出的答案超过一个，均记0分.
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列中，必然是（ ）
A. 早晨太阳从东方升起 B. 6月1日晚上能看到月亮
C. 打开电视，正在播放新闻 D. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上
3. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法没有正确的是（ ）
A. 平均数是3 B. 中位数是4
C. 极差是4 D. 方差是2
4. 如图，某老师给出了利用直尺和三角板画平行线的方法，能判定画出的直线与已知直线平行的是
A. B. C. D.
5. 如图是一个正方体被截去两个角后的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列三角形，没有一定是等边三角形是
A. 有两个角等于60°的三角形 B. 有一个外角等于120°的等腰三角形
C. 三个角都相等的三角形 D. 边上的高也是这边的中线的三角形
7. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D.
8. 用计算器计算，按键的顺序为
A. B.
C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
11. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ）
A. （4，2） B. （3，3） C. （4，3） D. （3，2）
12. 方程x2+4x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在（ ）范围内．
A. ﹣1＜x0＜0 B. 0＜x0＜1 C. 1＜x0＜2 D. 2＜x0＜3
二、填 空 题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写结果.
13. 写出一个你熟悉的既是轴对称又是对称的图形名称______．
14. 我们已探究过一元二次方程根与系数有如下关系：方程（）的两个根是，，则，，若，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________.
15. 在一个没有透明的盒子里装有5个分别写有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字没有同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值.将该数字加2作为b的值，则（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的概率是__________.
16. 下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…依此规律，拼成第n个图案需要小木棒_______.
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF点C，则图中阴影部分的面积为________.
三、解 答 题：本大题共7小题，共52分. 解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 计算.
19. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，在没有添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是_____．
20. 2010年青海玉树发生了7.1级.某中学展开了“情系玉树，大爱无疆”爱心捐款.团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制作了一个没有完整的频数分布直方图和扇形统计图（如图）.已知学生捐款至少的是5元，至多的没有足25元.
（1）请补全频数分布直方图；
（2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是_________
（3）九（1）班学生小明同学捐款24元，班主任拟在捐款至多的20-25元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心大会上发言，小明同学被选中的概率是_____.
21. 初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数没有少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
22. 如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.
23. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D没有与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，直线EF与直线BC交于H.
（1）如图①，当点D在边BC上时，试说明：；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件没有变时，结论；是否成立？若成立，请说明理由；若没有成立，请写出AD、DH、AC之间存在的数量关系；
（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件没有变时，补全图形，并直接写出AD、DH、AC之间存在的数量关系.
图1 图2 图3
24. 如图，已知抛物线A（-1,0）、B（4,5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO值；
（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标.
2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题4分，共48分，错选、没有选或选出的答案超过一个，均记0分.
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：=2x2，
故选B．
2. 下列中，必然是（ ）
A. 早晨的太阳从东方升起 B. 6月1日晚上能看到月亮
C. 打开电视，正在播放新闻 D. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上
【正确答案】A
【详解】分析：根据必然的概念（必然指在一定条件下一定发生的）可判断正确答案．
详解：A．早晨的太阳从东方升起，是必然；
B．6月1日晚上能看到月亮，是随机；
C．打开电视机，正在播新闻，是随机；
D．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机．
故选A．
点睛：本题考查了必然、没有可能、随机的概念．必然指在一定条件下一定发生的；没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的；没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．
3. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法没有正确的是（ ）
A. 平均数是3 B. 中位数是4
C. 极差是4 D. 方差是2
【正确答案】B
【详解】试题分析：A、这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，故本选项正确；
B、把这组数据从小到大排列：1，2，3，4，5，则中位数是3，故本选项错误；
C、这组数据的极差是：5-1=4，故本选项正确；
D、这组数据的方差是2，故本选项正确；
故选B．
考点：方差；算术平均数；中位数；极差．
4. 如图，某老师给出了利用直尺和三角板画平行线的方法，能判定画出的直线与已知直线平行的是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据同位角相等，两直线平行求解．
详解：∵∠CAB=∠C′A′B′
∴a∥b．
故选C．
点睛：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是平行线的判定方法的运用．
5. 如图是一个正方体被截去两个角后的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：它的俯视图为 ．
故选A．
点睛：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6. 下列三角形，没有一定是等边三角形的是
A. 有两个角等于60°的三角形 B. 有一个外角等于120°的等腰三角形
C. 三个角都相等的三角形 D. 边上的高也是这边的中线的三角形
【正确答案】D
【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．
【详解】A．根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，没有合题意，故此选项错误；
B．有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，没有合题意，故此选项错误；
C．三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，没有合题意，故此选项错误；
D．边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，符合题意，故此选项正确．
故选D．
本题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
7. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3，BC=5，∵∠CAB=90°，∴AC=4，∴点C的坐标为（1，4），当点C落在直线y=2x﹣6上时，∴令y=4，得到4=2x﹣6，解得x=5，∴平移的距离为5﹣1=4，∴线段BC扫过的面积为4×4=16，故选C．
考点：1．函数综合题；2．函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平移的性质．
8. 用计算器计算，按键的顺序为
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：分别根据计算器的基础知识，用计算机计算出124×1即可，按键的顺序：对于含有幂指数的，应先按底数所指的那个键、按xy那个键、按指数所指的那个键、按×键，对于1，应按1、ab/c、1、ab/c 5，由此可求出其按键顺序．
详解：由题意可得：
124×1按键的顺序为：12xy4×1ab/c1ab/c5=．
故选A．
点睛：本题主要考查计算器的基础知识，应根据计算器的基础知识求出按键顺序即可．
9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中的格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】分析：由弦AB与弦BC的垂直平分线的交点为圆心，找出圆心O′的位置，确定出圆心坐标，过点B与圆相切时，根据切线的判定方法得到∠O′BF为直角时，BF与圆相切，根据网格找出满足条件的F坐标即可．
详解：根据过格点A，B，C作一圆弧，由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），只有∠O′BF=∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF=BD=2，∴F点的坐标为：（5，1）或（1，3）或（7，0），则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（5，1）或（1，3）或（7，0），共3个．
故选C．
点睛：本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标与直角坐标系，其中确定出圆心O′的坐标是本题的突破点．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【正确答案】B
【详解】试题分析：过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知：OBD的面积等于的面积，从而阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积．
∵，
∴顶点坐标为C（2，－2）．
∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4．
故选B．
11. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ）
A. （4，2） B. （3，3） C. （4，3） D. （3，2）
【正确答案】A
【详解】试题分析：如图，作AM⊥x轴于点M．∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），∴OA=OB=2，∠AOB=60°，∴OM=OA=1，AM=OM=，∴A（1，），∴直线OA的解析式为，∴当x=3时，y=，∴A′（3，），∴将点A向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得A′，∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得B′，∴点B′的坐标为（4，），故选A．
考点：1．坐标与图形变化-平移；2．等边三角形的性质．
12. 方程x2+4x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在（ ）范围内．
A. ﹣1＜x0＜0 B. 0＜x0＜1 C. 1＜x0＜2 D. 2＜x0＜3
【正确答案】B
【分析】根据题意方程x3+mx-1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过、二象限，函数的图象分别在、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m=0时，y=x2与的交点A的坐标为（1，1），于是得到当m取任意正实数时，方程x3+mx-1=0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
【详解】解：∵方程x3+mx-1=0变形为x2+m-=0，
∴方程x3+mx-1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，
∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过、二象限，函数y＝的图象分别在、三象限，
∴它们的交点在象限，即它们的交点的横坐标为正数，
∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数y＝的图象的交点的横坐标越大，
当m=0时，y=x2与y＝的交点A的坐标为（1，1），
∴当m取任意正实数时，方程x3+mx-1=0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
故选：B．
本题考查了反比例函数与函数的交点问题：反比例函数与函数的交点坐标满足两函数解析式．也考查了阅读理解能力以及数形的思想．
二、填 空 题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写结果.
13. 写出一个你熟悉的既是轴对称又是对称的图形名称______．
【正确答案】矩形
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称．
【详解】既是对称图形又是轴对称图形的名称：矩形（答案没有）．
故矩形
本题考查的是轴对称图形和对称图形，掌握好对称图形与轴对称图形的概念是解题关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后两部分重合．
14. 我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程（）的两个根是，，则，，若，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________.
【正确答案】-2
【详解】分析：根据根与系数的关系可得出x1+x2=4，x1•x2=2，将（x1﹣2）（x2﹣2）展开后，代入数据即可得出结论．
详解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两个根，∴x1+x2=4，x1•x2=2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1•x2﹣2（x1+x2）+4=2﹣2×4+4=﹣2．
故答案为－2．
点睛：本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得出x1+x2=4，x1•x2=2是解题的关键．
15. 在一个没有透明的盒子里装有5个分别写有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字没有同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值.将该数字加2作为b的值，则（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的概率是__________.
【正确答案】
【分析】首先根据题意可求得：（a，b）的等可能结果，然后解没有等式组求得没有等式组的解集为≤x＜b，所以可得（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的个数，利用概率公式即可求得答案．
【详解】根据题意得：（a，b）的等可能结果有：（﹣2，0），（﹣1，1），（0，2），（1，3），（2，4）共5种；
∵，
解①得：x≥，
解②得：x＜b，
∴≤x＜b，
∴（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的有（0，2）与（1，3），
∴（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的概率是．
故．
本题考查了概率公式的应用与没有等式组的解法．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16. 下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…依此规律，拼成第n个图案需要小木棒_______.
【正确答案】
【详解】拼搭第1个图案需4=1×（1+3）根小木棒，
拼搭第2个图案需10=2×（2+3）根小木棒，
拼搭第3个图案需18=3×（3+3）根小木棒，
拼搭第4个图案需28=4×（4+3）根小木棒，
…
拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根．
故答案：n2+3n
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF点C，则图中阴影部分的面积为________.
【正确答案】
【详解】证明△AMO≌△CNO，将四边形CMON的面积转化为△ACO的面积，即可用割补法求出阴影部分的面积.
因为点O是AB的中点，所以AO=BO=CO=1，
因为∠ACB=90°，∠EOF=90°，所以∠CMO+∠CNO=180°，又∠AMO+∠CMO=180°，所以∠AMO=∠CNO，
又因为∠A=∠B，AO=CO，
所以△AMO≌△CNO.
所以四边形CMON的面积=△CMO的面积+△CNO的面积
=△CMO的面积+△CNO的面积=△ACO的面积=△ABC面积的一半.
所以阴影部分的面积=扇形OEF的面积－四边形CMON的面积
=扇形OEF面积－△ACO的面积
=.
故答案为.
三、解 答 题：本大题共7小题，共52分. 解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 计算.
【正确答案】1
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及值的性质、零指数幂、角的三角函数值分别化简求出答案．
【详解】解：原式=﹣2+1+2﹣
=1．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；角的三角函数值．
19. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，在没有添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是_____．
【正确答案】AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD
【分析】
【详解】①添加条件：AE=AF，
证明：在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），
②添加条件：∠EDA=∠FDA，
证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）．
故答案为AE=AF或∠EDA=∠FDA．
20. 2010年青海玉树发生了7.1级.某中学展开了“情系玉树，大爱无疆”爱心捐款.团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制作了一个没有完整的频数分布直方图和扇形统计图（如图）.已知学生捐款至少的是5元，至多的没有足25元.
（1）请补全频数分布直方图；
（2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是_________
（3）九（1）班学生小明同学捐款24元，班主任拟在捐款至多的20-25元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心大会上发言，小明同学被选中的概率是_____.
【正确答案】（1）补图见解析；（2）15-20；（3）
【详解】考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；概率公式．
分析：（1）先求九（1）班的总人数，再分别算出捐款数在20-25之间的人数和捐款数在10-15之间的人数，补全条形图；
（2）先计算出中位数，再找中位数所在范围；
（3）计算出20-25这个范围的人数，再求概率．
解答：
解：（1）5÷10%=50（人），
捐款数在20-25之间的人数：50×20%=10（人），
捐款数在10-15之间的人数：50-5-10-20=15（人），（2分）
（2）将捐款数额从小到大排列，第25和26位数的平均数是中位数，这两个数处在第三小组，则九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是15-20，（4分）
（3）小明同学被选中的概率是=．（6分）
21. 初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数没有少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
【正确答案】（1）女生15人，男生27人；（2）至少派22人
【分析】（1）设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”，即可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出结论．
【详解】（1）设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得：，
解得：．
∴该班男生有27人，女生有15人．
（2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，
依题意得：50m+45（30-m）≥1460，即5m+1350≥1460，
解得：m≥22，
答：至少需要派22名男学生.
本题考查了一元没有等式应用以及二元方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出二元方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元没有等式．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据数量关系列出没有等式（方程或方程组）是关键．
22. 如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）.
【详解】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；
（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
试题解析：（1）如解图，连接OB，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBO.
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.
∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，
∴∠E＝∠C；
（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，
∴AO＝5，∴AB＝4.
∵BD∥OE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6，AE=6+4=10
（3）S△AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
S△ABC= S△AOE==
23. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D没有与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，直线EF与直线BC交于H.
（1）如图①，当点D在边BC上时，试说明：；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件没有变时，结论；是否成立？若成立，请说明理由；若没有成立，请写出AD、DH、AC之间存在的数量关系；
（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件没有变时，补全图形，并直接写出AD、DH、AC之间存在的数量关系.
图1 图2 图3
【正确答案】（1）证明见解析；（2）成立；（3）补图见解析，数量关系.
【详解】分析：（1）通过△ACD∽△DEH的对应边成比例得到，即=，则AD2=DH•AC；
（2）图（2）中，AD2=DH•AC仍然成立．易证△ACD∽△DEH，则该相似三角形的对应边成比例：，即=，则AD2=DH•AC；
（3）如图3，解题思路同（2）．易证△ACD∽△DEH，则该相似三角形的对应边成比例：，即=，则AD2=DH•AC．
详解：（1）∵四边形ADEF是菱形，∠DAF=60°，
∴AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，∴∠1=∠2．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∠ACD=∠E，∴△ACD∽△DEH，∴，即=，∴AD2=DH•AC；
（2）结论是：图（2）中，AD2=DH•AC仍然成立．
理由如下：如图2．
∵在菱形ADEF中，AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，∴∠ADC=∠DHE，∠DEF=120°．
又∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=120°，∴∠ACD=∠DEH，∴△ACD∽△DEH，∴，即=，则AD2=DH•AC；
（3）补全图形是如图3．数量关系AD2=DH•AC．理由同（2）．
点睛：本题考查了相似三角形的判断与性质，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．
24. 如图，已知抛物线A（-1,0）、B（4,5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标.
【正确答案】（1）数量关系（2） ；（3），，，.
【详解】试题分析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，根据勾股定理可求出AB的长，进而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO= ．
（3）设点M的坐标为（x，x2-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当点M在点N的上方时和当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形讨论求出符合题意的点M的横坐标即可．
（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c，得 ，
解得b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式：y=x2-2x-3．
（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．
在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，
∴AC=BC．
∴∠BAC=45°，AB= ．
如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H．
在Rt△AOH中，OA=1，
∴AH=OH=OA×sin45°= ，
∴BH=AB-AH=，
在Rt△BOH中，．
（3）直线AB的解析式为：y=x+1．
设点M的坐标为（x，x2-2x-3），
点N坐标为（x，x+1），
①如图，当点M在点N的上方时，
则四边形MNCB是平行四边形，MN=BC=5．
由MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4，
解方程x2-3x-4=5，
得 或．
②如图，当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形，NM=BC=5．
由MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4，
解方程-x2+3x+4=5，
得 或．
所以符合题意的点M有4个，其横坐标分别为： ,,,．
考点：二次函数综合题.
2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
2. 把一元二次方程（x+2）（x﹣3）=4化成一般形式，得（ ）
A. x2+x﹣10=0 B. x2﹣x﹣6=4 C. x2﹣x﹣10=0 D. x2﹣x﹣6=0
3. 一元二次方程的根是（ ）
A. ﹣1 B. 2 C. 1和2 D. ﹣1和2
4. 抛物线y=-x2+3的顶点坐标是( )
A (0，3) B. (0，-3) C. (3，0) D. (-3，0)
5. 解下面方程：（1）（x﹣2）2=5，（2）x2﹣3x﹣2=0，（3）x2+x﹣6=0，较适当的方法分别为（ ）
A. （1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
B. （1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
C （1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
D （1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
6. 若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为
A. －1或 B. 1或 C. 1或 D. 1或
7. 已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则( )
A. y1
A. B. C. D.
9. 关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
A. ＜0 B. ＞0 C. ≥0 D. ≤0
10. 二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（ ）
A. 若y1=y2，则x1=x2 B. 若x1=﹣x2，则y1=﹣y2
C. 若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D. 若x1＜x2＜0，则y1＞y2
12. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各奉送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．
A. x（x+1）=182 B. x（x+1）=182×
C. x（x－1）=182 D. x（x－1）=182×2
二、填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是_____．
14. 已知二次方程x2+（t﹣2）x﹣t=0有一个根是2，则t=_____，另一个根是_____．
15. 若二次函数y=m的图象开口向下，则m=____
16. 已知x=a是方程x2﹣6x+5=0的一个根，那么a2﹣6a=______．
17. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
18. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
19. 已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是________．
20. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品连续两次降价后，由每盒150元下调至96元，求这种药品平均每次降价的百分率是_____．
三、解 答 题（共8小题，满分90分）
21. 解方程：
（1）x2+2x=1；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0；
（3）（x﹣2）2﹣27=0；
（4）3x2+1=2x．
22. 已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且点N（2，3），求此二次函数的解析式．
23. 画抛物线y=x2﹣2x﹣3的草图，并说出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．
24. 已知二次函数y=ax2（a≠0）与函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
25. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和没有可能等于48 cm2，你认为他的说确吗？请说明理由．
26. 已知关于x的方程.
（1）求证方程有两个没有相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
27. 为落实房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．
（1）求每年市政府的增长率；
（2）若这两年内建设成本没有变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？
28. 如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好x轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．
2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的次数是2；二次项系数没有为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A．ax2+bx+c=0，当a=0时，没有是一元二次方程，故A错误；
B．+=2，没有是整式方程，故B错误；
C．x2+2x=x2﹣1，是一元方程，故C错误；
D．3（x+1）2=2（x+1），是一元二次方程，故D正确．
故选D．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的次数是2．
2. 把一元二次方程（x+2）（x﹣3）=4化成一般形式，得（ ）
A. x2+x﹣10=0 B. x2﹣x﹣6=4 C. x2﹣x﹣10=0 D. x2﹣x﹣6=0
【正确答案】C
【详解】先根据多项式乘多项式法则去括号，再移项，合并同类项即可．
，
，
故选C.
解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式是常数，且，其中a是二次项系数，b是项系数，c是常数项．
3. 一元二次方程的根是（ ）
A. ﹣1 B. 2 C. 1和2 D. ﹣1和2
【正确答案】D
【分析】先移项得到，然后利用提公因式因式分解，转化为两个一元方程，解方程即可.
【详解】
或
，x2=-1．
故选：D．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
4. 抛物线y=-x2+3的顶点坐标是( )
A. (0，3) B. (0，-3) C. (3，0) D. (-3，0)
【正确答案】A
【详解】本题考查二次函数的图象性质,根据二次函数图象性质顶点坐标是（0,3）.
5. 解下面方程：（1）（x﹣2）2=5，（2）x2﹣3x﹣2=0，（3）x2+x﹣6=0，较适当的方法分别为（ ）
A. （1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
B. （1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
C. （1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
D. （1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
【正确答案】D
【详解】（1）形如 的方程，选用直接开平方法较为适当，所以此方程宜用直接开平方法；
（2）当判别式Δ>0且没有是有理数的平方数时，宜用公式法求解，此方程，所以宜用公式法求解；
（3）∵ ，∴此方程选用因式分解法比较适当.
故答案选D.
6. 若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为
A. －1或 B. 1或 C. 1或 D. 1或
【正确答案】B
【详解】本题考查一元二次方程的解法,根据题意可得: 2x2+1+4x2－2x－5=0,解方程可得:,.
7. 已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则( )
A. y1
【详解】本题考查二次函数图象性质, 二次函数y=x2的开口方向向上,对称轴是y轴,根据图象可知,二次函数上的点距离对称轴越远,函数值越大,因此可得y1
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上项系数一半的平方配成完全平方公式．
【详解】解：
移项得：
方程两边同时加上项系数一半的平方得：
配方得：．
故选：B．
此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上项系数一半的平方．
9. 关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
A. ＜0 B. ＞0 C. ≥0 D. ≤0
【正确答案】D
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，
∴
即 ，解得 .
故答案选D，
点睛：一元二次方程根的判别式与根的关系：
（1）当时方程有两个没有等实根；
（2）当时方程有两个相等实根；
（3）当时方程无实根.
10. 二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，图象找出答案即可．
【详解】解：二次函数y＝x2＋1中，
a＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图象是B．
故选B．
此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．
11. 已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（ ）
A. 若y1=y2，则x1=x2 B. 若x1=﹣x2，则y1=﹣y2
C. 若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D. 若x1＜x2＜0，则y1＞y2
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、若y1=y2，则x1=﹣x2；B、若x1=﹣x2，则y1=y2；C、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；D、正确．故选D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
12. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各奉送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．
A. x（x+1）=182 B. x（x+1）=182×
C. x（x－1）=182 D. x（x－1）=182×2
【正确答案】C
【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．
【详解】解：每名同学所赠的标本为：（x-1）件，
那么x名同学共赠：x（x-1）件，
根据题意可列方程：x（x-1）=182，
故选C．
本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
二、填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是_____．
【正确答案】y=2（x+1）2+3．
【详解】原抛物线的顶点为（0，-1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，3）；
可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．
14. 已知二次方程x2+（t﹣2）x﹣t=0有一个根是2，则t=_____，另一个根是_____．
【正确答案】 ①. 0 ②. x=0
【详解】∵方程x2+（t﹣2）x﹣t=0有一个根2,
∴，
解得 ；
∴ 方程为 ，
，
∴ .
故（1）0，（2）x=0.
15. 若二次函数y=m的图象开口向下，则m=____
【正确答案】m=－1
【详解】本题考查二次函数性质和二次函数的概念,根据二次函数的概念可得:,解得,再由二次函数开口向下可得:m<0,因此m=－1.
16. 已知x=a是方程x2﹣6x+5=0的一个根，那么a2﹣6a=______．
【正确答案】-5．
【详解】解：∵x=a是方程x2﹣6x+5=0的一个根，∴a2﹣6a+5=0，∴a2﹣6a=-5．故答案为-5．
17. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
【正确答案】y＝x2＋1．
【详解】此题答案没有，只要二次项系数大于0，点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
18. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
【正确答案】12
【详解】试题分析：解方程，得，，
∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
19. 已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是________．
【正确答案】10
【详解】试题分析：由二次函数的性质可知当x=（对称轴）时，函数有值y=9-18+m=1，因此m=10.
考点：二次函数的最值问题
20. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品连续两次降价后，由每盒150元下调至96元，求这种药品平均每次降价的百分率是_____．
【正确答案】20%
【详解】设这种药品平均每次降价的百分率是x,依题意得：
，
解得 （没有合，舍去），
∴
故答案为20%.
点睛：（1）两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2，
若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b ，
则 第1次增长后的量是，
第2次增长后的量是，
…… 第n次增长后的量是；
（2）两次降低后的量=原来的量(1-降低率)2，
若原来为a,平均降低率是x,降低后的量为b ，
则 第1次降低后的量是，
第2次降低后的量是 ，
……第n次降低后的量是；
即n次平均增长（降低）率公式.
三、解 答 题（共8小题，满分90分）
21. 解方程：
（1）x2+2x=1；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0；
（3）（x﹣2）2﹣27=0；
（4）3x2+1=2x．
【正确答案】（1）x=﹣1±；（2）x=3或x=1；（3）x=2±3（4）x=
【详解】解：（1）配方得：x2+2x+1=2，
即（x+1）2=2，
∴x=﹣1±；
（2）方程变形为：（x﹣3）（x﹣3+2）=0，
∴x﹣3=0，或x﹣3+2=0，
即 ，
（3）方程变形为：（x﹣2）2=27；
两边直接开平方得：x﹣2=±3
即x=2±3
（4）移项得：3x2﹣2x+1=0
即：（x﹣1）2=0
∴.
点睛：（1）解一元二次方程通法：公式法，可解一切一元二次方程，在没有掌握如何适当选取解法之前，须牢记此法：①把方程变为一般形式；②求判别式；③若，则 .
（2）形如（项系数为0） 或者的方程，选择用直接开平方法较为简便；
（3）形如（常数项为0）的方程，选择用提公因式分解因式求解较为简单；
（4）配方法也是解法，但要慎用，因为此法计算较为复杂，一般地，如果二次项系数为1，项系数是偶数，可考虑使用此法.
适当选择解法，一能使计算简便，二能提高计算的准确性.
22. 已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且点N（2，3），求此二次函数的解析式．
【正确答案】y=5（x﹣1）2﹣2
【详解】试题分析：因为已知顶点坐标，所以可设抛物线顶点式： ，仅有一待定系数a，故只需找出图象上一个已知点，代入即可得到一个关于a的一元方程，解之，得a值，即可得到所求解析式.
解：∵抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
∴设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把点（2，3）代入解析式，得：
，
解得 a =5，
∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．
点睛：（1）易错点：错误地把解析式设为；
（2）求函数解析式，一般都是选用待定系数法，先设出解析式：
①若已知顶点坐标，一般设为顶点式：（其中顶点为（h，k））；
②若已知t图象与坐标轴x轴的两个交点 ，则设为交点式： ；
③若已知点为一般点，则设为一般式：；
再根据所设待定系数的个数，在图象上找相应个数的已知点代入，得到跟待定系数有关的方程(或方程组)，解方程（组），就可得到所求解析式.
23. 画抛物线y=x2﹣2x﹣3的草图，并说出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：
（1）画二次函数图象，至少要描出5个点，其中顶点坐标必取，与坐标轴的交点，如果有，建议取，所取点，尽量在对称轴两边对称选取，否则图象没有对称没有完整.
（2）a大小决定开口方向，而a=1>0，故开口向上；对称轴为直线 ，顶点为即（1，-4）； 令x=0，则y=-3，得与y轴交点（0，-3）；令y=0,得方程x2﹣2x﹣3=0，解之得 ，得与x轴两个交点（3,0），（-1,0）.
（3）列表后描点，然后用平滑曲线连接各点，就得所求作的图象.
（4）根据草图，增减性，最值就一目了然.
解：列表，如下：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
描点、连线，如图所示．
观察函数图象，可知：抛物线开口向上；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，﹣4）；当x＜1时，y随x增大而减小，当x＞1时，y随x增大而增大；抛物线y=x2﹣2x﹣3存在最小值，最小值为﹣4．
点睛：（1）函数图象画法步骤：列表，描点，连线；
（2）作二次函数图象，列表描点前，首先确定四要素：开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴交点，然后在对称轴两边对称取值列表求值得点；
（3）至少要描五个点，点越多，图象越准确.
24. 已知二次函数y=ax2（a≠0）与函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
【正确答案】3
【详解】试题分析：首先通过点A求出两个函数解析式，然后联立方程组，方程组的解就是两线的交点坐标；确定点B坐标后，再求直线与y轴交点G，就可用割补法求△OAB面积.
解：∵函数y=kx﹣2的图象过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1=﹣k﹣2，解得k=﹣1，
∴函数表达式为y=﹣x﹣2，
∴令x=0，得y=﹣2，
∴G（0，﹣2），
∵函数y=ax2图象过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1=a×（-1）2，解得a =﹣1，
∴二次函数表达式为y=﹣x2，
由函数与二次函数联立可得，
解得，，
∴B（2，-4）
∴
点睛：（1）本题解答有两个关键点，一是找到点B坐标，二是用割补法求三角形面积；
（2）线的交点一般通过联立方程组，解方程组得到，方程组的解即是交点坐标；
（3）在直角坐标系中，若三角形没有任一边落在坐标轴上或者与坐标轴平行，一般使用割补法求面积，补即是把三角形补充扩大为一个各边与坐标轴平行的矩形，这样三角形面积就转化为矩形与三个直角三角形面积的差，割即是沿着其中一个顶点做与y轴平行的直线，把三角形分割为有一个公共边的两个三角形，求这两三角形面积之和即可.本题使用割的方法.
25. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和没有可能等于48 cm2，你认为他的说确吗？请说明理由．
【正确答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说确，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，， ，∵， ∴该方程无实数解，也就是没有可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
26. 已知关于x的方程.
（1）求证方程有两个没有相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
【正确答案】(1)证明见解析；（2），
【分析】（1）先计算出△=（m+2）2﹣4（2m﹣1），变形得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个没有相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，则原方程化为x2﹣5=0，然后利用直接开平方法求解．
【详解】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个没有相等的实数根；
（2）设方程的两个根为x1，x2，由题意得：
x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，
当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，
解得：x1=﹣，x2=．
根的判别式；根与系数的关系．
27. 为落实房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．
（1）求每年市政府的增长率；
（2）若这两年内的建设成本没有变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？
【正确答案】（1）50%；（2）38（万平方米）．
【分析】（1）设市政府的年平均增长率为x，然后列出方程，解方程即可得到答案；
（2）找出关系，直接列式计算即可．
【详解】解：（1）设市政府的年平均增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x1.75=0，
解得x1=0.5，x2=3.5（舍去），
答：每年市政府的增长率为50%；
（2）到2021年底共建廉租房面积=9.5÷=38（万平方米）．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
28. 如图，四边形ABCD是菱形，点D坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好x轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．
【正确答案】（1）（1，0）、（3，0）、（2，）；（2）y=–（x–2）2+；（3）向上平移了5–=4个单位长度
详解】试题分析：（1）
过C作CE⊥AB于E，根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得△OAD≌△EBC，则OA=AE=BE，设OA=AE=BE=m，则菱形的边长为2m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A、B、C三点的坐标；
(2)根据(1)题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
(3)设出平移后的抛物线解析式，将D点坐标代入此函数的解析式中，即可求出平移后的函数解析式，与原二次函数解析式进行比较即可得到平移的单位.
解：（1）过C作CE⊥AB于E，由抛物线的对称性可知AE=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD//AB, AD=BC，
∴∠DCE=∠CEO=90°，
又∠DOA=90°， ∴四边形ODCE为矩形，
∴OD=CE,
Rt△AOD和Rt△BEC中，
∵OD=EC，AD=BC，
∴Rt△AOD≌Rt△BEC（HL），
∴OA=BE=AE，
设OA=AE=BE=m，则菱形的边长为2m，
∵D（0，）, ∴OD=CE= ,
在Rt△AOD中， ,
∴ m2+（）2=（2m）2，
解得m =1；
∴DC=2，OA=1，OB=3；
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）；
（2）由（1）知顶点C（2，），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+，
代入A点坐标可得 ，
解得a =﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+；
（3）设平移后的抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣2）2+k，
代入D（0，）可得 ，
解得k=5，
所以平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+5，
向上平移了5﹣=4个单位．
点睛：（1）此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、抛物线的对称性、勾股定理以及二次函数图象的平移，综合性较强，难度适中，三小问关系密切，前面一旦失误，后面皆错，因此计算要细心，审题要仔细；
（2）本题解题关键就是确定点A、B、C的坐标，为求点C坐标，必须要添加辅助线CE，问题转化成求线段OA,OB及CE长，通常都是利用方程思想，借助勾股定理建立方程求解；
（3）题目背景是菱形和抛物线，为此需要熟知两图的性质，找出等量，建立方程以求解.
2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题4分，共48分，错选、没有选或选出的答案超过一个，均记0分.
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列中，必然是（ ）
A. 早晨太阳从东方升起 B. 6月1日晚上能看到月亮
C. 打开电视，正在播放新闻 D. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上
3. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法没有正确的是（ ）
A. 平均数是3 B. 中位数是4
C. 极差是4 D. 方差是2
4. 如图，某老师给出了利用直尺和三角板画平行线的方法，能判定画出的直线与已知直线平行的是
A. B. C. D.
5. 如图是一个正方体被截去两个角后的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列三角形，没有一定是等边三角形是
A. 有两个角等于60°的三角形 B. 有一个外角等于120°的等腰三角形
C. 三个角都相等的三角形 D. 边上的高也是这边的中线的三角形
7. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D.
8. 用计算器计算，按键的顺序为
A. B.
C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
11. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ）
A. （4，2） B. （3，3） C. （4，3） D. （3，2）
12. 方程x2+4x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在（ ）范围内．
A. ﹣1＜x0＜0 B. 0＜x0＜1 C. 1＜x0＜2 D. 2＜x0＜3
二、填 空 题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写结果.
13. 写出一个你熟悉的既是轴对称又是对称的图形名称______．
14. 我们已探究过一元二次方程根与系数有如下关系：方程（）的两个根是，，则，，若，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________.
15. 在一个没有透明的盒子里装有5个分别写有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字没有同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值.将该数字加2作为b的值，则（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的概率是__________.
16. 下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…依此规律，拼成第n个图案需要小木棒_______.
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF点C，则图中阴影部分的面积为________.
三、解 答 题：本大题共7小题，共52分. 解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 计算.
19. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，在没有添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是_____．
20. 2010年青海玉树发生了7.1级.某中学展开了“情系玉树，大爱无疆”爱心捐款.团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制作了一个没有完整的频数分布直方图和扇形统计图（如图）.已知学生捐款至少的是5元，至多的没有足25元.
（1）请补全频数分布直方图；
（2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是_________
（3）九（1）班学生小明同学捐款24元，班主任拟在捐款至多的20-25元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心大会上发言，小明同学被选中的概率是_____.
21. 初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数没有少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
22. 如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.
23. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D没有与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，直线EF与直线BC交于H.
（1）如图①，当点D在边BC上时，试说明：；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件没有变时，结论；是否成立？若成立，请说明理由；若没有成立，请写出AD、DH、AC之间存在的数量关系；
（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件没有变时，补全图形，并直接写出AD、DH、AC之间存在的数量关系.
图1 图2 图3
24. 如图，已知抛物线A（-1,0）、B（4,5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO值；
（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标.
2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来.每小题4分，共48分，错选、没有选或选出的答案超过一个，均记0分.
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：=2x2，
故选B．
2. 下列中，必然是（ ）
A. 早晨的太阳从东方升起 B. 6月1日晚上能看到月亮
C. 打开电视，正在播放新闻 D. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上
【正确答案】A
【详解】分析：根据必然的概念（必然指在一定条件下一定发生的）可判断正确答案．
详解：A．早晨的太阳从东方升起，是必然；
B．6月1日晚上能看到月亮，是随机；
C．打开电视机，正在播新闻，是随机；
D．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机．
故选A．
点睛：本题考查了必然、没有可能、随机的概念．必然指在一定条件下一定发生的；没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的；没有确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的．
3. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法没有正确的是（ ）
A. 平均数是3 B. 中位数是4
C. 极差是4 D. 方差是2
【正确答案】B
【详解】试题分析：A、这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，故本选项正确；
B、把这组数据从小到大排列：1，2，3，4，5，则中位数是3，故本选项错误；
C、这组数据的极差是：5-1=4，故本选项正确；
D、这组数据的方差是2，故本选项正确；
故选B．
考点：方差；算术平均数；中位数；极差．
4. 如图，某老师给出了利用直尺和三角板画平行线的方法，能判定画出的直线与已知直线平行的是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据同位角相等，两直线平行求解．
详解：∵∠CAB=∠C′A′B′
∴a∥b．
故选C．
点睛：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是平行线的判定方法的运用．
5. 如图是一个正方体被截去两个角后的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：它的俯视图为 ．
故选A．
点睛：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6. 下列三角形，没有一定是等边三角形的是
A. 有两个角等于60°的三角形 B. 有一个外角等于120°的等腰三角形
C. 三个角都相等的三角形 D. 边上的高也是这边的中线的三角形
【正确答案】D
【分析】分别利用等边三角形的判定方法分析得出即可．
【详解】A．根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，没有合题意，故此选项错误；
B．有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，没有合题意，故此选项错误；
C．三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，没有合题意，故此选项错误；
D．边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，符合题意，故此选项正确．
故选D．
本题主要考查了等边三角形的判定，注意熟练掌握：由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
7. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3，BC=5，∵∠CAB=90°，∴AC=4，∴点C的坐标为（1，4），当点C落在直线y=2x﹣6上时，∴令y=4，得到4=2x﹣6，解得x=5，∴平移的距离为5﹣1=4，∴线段BC扫过的面积为4×4=16，故选C．
考点：1．函数综合题；2．函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平移的性质．
8. 用计算器计算，按键的顺序为
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：分别根据计算器的基础知识，用计算机计算出124×1即可，按键的顺序：对于含有幂指数的，应先按底数所指的那个键、按xy那个键、按指数所指的那个键、按×键，对于1，应按1、ab/c、1、ab/c 5，由此可求出其按键顺序．
详解：由题意可得：
124×1按键的顺序为：12xy4×1ab/c1ab/c5=．
故选A．
点睛：本题主要考查计算器的基础知识，应根据计算器的基础知识求出按键顺序即可．
9. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中的格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】分析：由弦AB与弦BC的垂直平分线的交点为圆心，找出圆心O′的位置，确定出圆心坐标，过点B与圆相切时，根据切线的判定方法得到∠O′BF为直角时，BF与圆相切，根据网格找出满足条件的F坐标即可．
详解：根据过格点A，B，C作一圆弧，由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），只有∠O′BF=∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF=BD=2，∴F点的坐标为：（5，1）或（1，3）或（7，0），则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（5，1）或（1，3）或（7，0），共3个．
故选C．
点睛：本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标与直角坐标系，其中确定出圆心O′的坐标是本题的突破点．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【正确答案】B
【详解】试题分析：过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知：OBD的面积等于的面积，从而阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积．
∵，
∴顶点坐标为C（2，－2）．
∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4．
故选B．
11. 如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（ ）
A. （4，2） B. （3，3） C. （4，3） D. （3，2）
【正确答案】A
【详解】试题分析：如图，作AM⊥x轴于点M．∵正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），∴OA=OB=2，∠AOB=60°，∴OM=OA=1，AM=OM=，∴A（1，），∴直线OA的解析式为，∴当x=3时，y=，∴A′（3，），∴将点A向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得A′，∴将点B（2，0）向右平移2个单位，再向上平移个单位后可得B′，∴点B′的坐标为（4，），故选A．
考点：1．坐标与图形变化-平移；2．等边三角形的性质．
12. 方程x2+4x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在（ ）范围内．
A. ﹣1＜x0＜0 B. 0＜x0＜1 C. 1＜x0＜2 D. 2＜x0＜3
【正确答案】B
【分析】根据题意方程x3+mx-1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过、二象限，函数的图象分别在、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m=0时，y=x2与的交点A的坐标为（1，1），于是得到当m取任意正实数时，方程x3+mx-1=0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
【详解】解：∵方程x3+mx-1=0变形为x2+m-=0，
∴方程x3+mx-1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，
∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过、二象限，函数y＝的图象分别在、三象限，
∴它们的交点在象限，即它们的交点的横坐标为正数，
∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数y＝的图象的交点的横坐标越大，
当m=0时，y=x2与y＝的交点A的坐标为（1，1），
∴当m取任意正实数时，方程x3+mx-1=0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
故选：B．
本题考查了反比例函数与函数的交点问题：反比例函数与函数的交点坐标满足两函数解析式．也考查了阅读理解能力以及数形的思想．
二、填 空 题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写结果.
13. 写出一个你熟悉的既是轴对称又是对称的图形名称______．
【正确答案】矩形
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念求解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称．
【详解】既是对称图形又是轴对称图形的名称：矩形（答案没有）．
故矩形
本题考查的是轴对称图形和对称图形，掌握好对称图形与轴对称图形的概念是解题关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后两部分重合．
14. 我们已探究过一元二次方程的根与系数有如下关系：方程（）的两个根是，，则，，若，是一元二次方程的两个根，则的值等于___________.
【正确答案】-2
【详解】分析：根据根与系数的关系可得出x1+x2=4，x1•x2=2，将（x1﹣2）（x2﹣2）展开后，代入数据即可得出结论．
详解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+2=0的两个根，∴x1+x2=4，x1•x2=2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1•x2﹣2（x1+x2）+4=2﹣2×4+4=﹣2．
故答案为－2．
点睛：本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得出x1+x2=4，x1•x2=2是解题的关键．
15. 在一个没有透明的盒子里装有5个分别写有数字-2，-1，0，1，2的小球，它们除数字没有同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值.将该数字加2作为b的值，则（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的概率是__________.
【正确答案】
【分析】首先根据题意可求得：（a，b）的等可能结果，然后解没有等式组求得没有等式组的解集为≤x＜b，所以可得（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的个数，利用概率公式即可求得答案．
【详解】根据题意得：（a，b）的等可能结果有：（﹣2，0），（﹣1，1），（0，2），（1，3），（2，4）共5种；
∵，
解①得：x≥，
解②得：x＜b，
∴≤x＜b，
∴（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的有（0，2）与（1，3），
∴（a，b）使得关于x的没有等式组恰好有两个整数解的概率是．
故．
本题考查了概率公式的应用与没有等式组的解法．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16. 下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…依此规律，拼成第n个图案需要小木棒_______.
【正确答案】
【详解】拼搭第1个图案需4=1×（1+3）根小木棒，
拼搭第2个图案需10=2×（2+3）根小木棒，
拼搭第3个图案需18=3×（3+3）根小木棒，
拼搭第4个图案需28=4×（4+3）根小木棒，
…
拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根．
故答案：n2+3n
17. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF点C，则图中阴影部分的面积为________.
【正确答案】
【详解】证明△AMO≌△CNO，将四边形CMON的面积转化为△ACO的面积，即可用割补法求出阴影部分的面积.
因为点O是AB的中点，所以AO=BO=CO=1，
因为∠ACB=90°，∠EOF=90°，所以∠CMO+∠CNO=180°，又∠AMO+∠CMO=180°，所以∠AMO=∠CNO，
又因为∠A=∠B，AO=CO，
所以△AMO≌△CNO.
所以四边形CMON的面积=△CMO的面积+△CNO的面积
=△CMO的面积+△CNO的面积=△ACO的面积=△ABC面积的一半.
所以阴影部分的面积=扇形OEF的面积－四边形CMON的面积
=扇形OEF面积－△ACO的面积
=.
故答案为.
三、解 答 题：本大题共7小题，共52分. 解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 计算.
【正确答案】1
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及值的性质、零指数幂、角的三角函数值分别化简求出答案．
【详解】解：原式=﹣2+1+2﹣
=1．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；角的三角函数值．
19. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，在没有添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是_____．
【正确答案】AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AFD
【分析】
【详解】①添加条件：AE=AF，
证明：在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），
②添加条件：∠EDA=∠FDA，
证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）．
故答案为AE=AF或∠EDA=∠FDA．
20. 2010年青海玉树发生了7.1级.某中学展开了“情系玉树，大爱无疆”爱心捐款.团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制作了一个没有完整的频数分布直方图和扇形统计图（如图）.已知学生捐款至少的是5元，至多的没有足25元.
（1）请补全频数分布直方图；
（2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是_________
（3）九（1）班学生小明同学捐款24元，班主任拟在捐款至多的20-25元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心大会上发言，小明同学被选中的概率是_____.
【正确答案】（1）补图见解析；（2）15-20；（3）
【详解】考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；概率公式．
分析：（1）先求九（1）班的总人数，再分别算出捐款数在20-25之间的人数和捐款数在10-15之间的人数，补全条形图；
（2）先计算出中位数，再找中位数所在范围；
（3）计算出20-25这个范围的人数，再求概率．
解答：
解：（1）5÷10%=50（人），
捐款数在20-25之间的人数：50×20%=10（人），
捐款数在10-15之间的人数：50-5-10-20=15（人），（2分）
（2）将捐款数额从小到大排列，第25和26位数的平均数是中位数，这两个数处在第三小组，则九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是15-20，（4分）
（3）小明同学被选中的概率是=．（6分）
21. 初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数没有少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
【正确答案】（1）女生15人，男生27人；（2）至少派22人
【分析】（1）设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”，即可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出结论．
【详解】（1）设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得：，
解得：．
∴该班男生有27人，女生有15人．
（2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，
依题意得：50m+45（30-m）≥1460，即5m+1350≥1460，
解得：m≥22，
答：至少需要派22名男学生.
本题考查了一元没有等式应用以及二元方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出二元方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元没有等式．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据数量关系列出没有等式（方程或方程组）是关键．
22. 如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）.
【详解】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；
（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
试题解析：（1）如解图，连接OB，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBO.
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.
∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，
∴∠E＝∠C；
（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，
∴AO＝5，∴AB＝4.
∵BD∥OE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6，AE=6+4=10
（3）S△AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
S△ABC= S△AOE==
23. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D没有与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，直线EF与直线BC交于H.
（1）如图①，当点D在边BC上时，试说明：；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件没有变时，结论；是否成立？若成立，请说明理由；若没有成立，请写出AD、DH、AC之间存在的数量关系；
（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件没有变时，补全图形，并直接写出AD、DH、AC之间存在的数量关系.
图1 图2 图3
【正确答案】（1）证明见解析；（2）成立；（3）补图见解析，数量关系.
【详解】分析：（1）通过△ACD∽△DEH的对应边成比例得到，即=，则AD2=DH•AC；
（2）图（2）中，AD2=DH•AC仍然成立．易证△ACD∽△DEH，则该相似三角形的对应边成比例：，即=，则AD2=DH•AC；
（3）如图3，解题思路同（2）．易证△ACD∽△DEH，则该相似三角形的对应边成比例：，即=，则AD2=DH•AC．
详解：（1）∵四边形ADEF是菱形，∠DAF=60°，
∴AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，∴∠1=∠2．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∠ACD=∠E，∴△ACD∽△DEH，∴，即=，∴AD2=DH•AC；
（2）结论是：图（2）中，AD2=DH•AC仍然成立．
理由如下：如图2．
∵在菱形ADEF中，AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，∴∠ADC=∠DHE，∠DEF=120°．
又∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=120°，∴∠ACD=∠DEH，∴△ACD∽△DEH，∴，即=，则AD2=DH•AC；
（3）补全图形是如图3．数量关系AD2=DH•AC．理由同（2）．
点睛：本题考查了相似三角形的判断与性质，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．
24. 如图，已知抛物线A（-1,0）、B（4,5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标.
【正确答案】（1）数量关系（2） ；（3），，，.
【详解】试题分析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，根据勾股定理可求出AB的长，进而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO= ．
（3）设点M的坐标为（x，x2-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当点M在点N的上方时和当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形讨论求出符合题意的点M的横坐标即可．
（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c，得 ，
解得b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式：y=x2-2x-3．
（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．
在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，
∴AC=BC．
∴∠BAC=45°，AB= ．
如图，过点O作OH⊥AB，垂足为H．
在Rt△AOH中，OA=1，
∴AH=OH=OA×sin45°= ，
∴BH=AB-AH=，
在Rt△BOH中，．
（3）直线AB的解析式为：y=x+1．
设点M的坐标为（x，x2-2x-3），
点N坐标为（x，x+1），
①如图，当点M在点N的上方时，
则四边形MNCB是平行四边形，MN=BC=5．
由MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4，
解方程x2-3x-4=5，
得 或．
②如图，当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形，NM=BC=5．
由MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4，
解方程-x2+3x+4=5，
得 或．
所以符合题意的点M有4个，其横坐标分别为： ,,,．
考点：二次函数综合题.
2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
2. 把一元二次方程（x+2）（x﹣3）=4化成一般形式，得（ ）
A. x2+x﹣10=0 B. x2﹣x﹣6=4 C. x2﹣x﹣10=0 D. x2﹣x﹣6=0
3. 一元二次方程的根是（ ）
A. ﹣1 B. 2 C. 1和2 D. ﹣1和2
4. 抛物线y=-x2+3的顶点坐标是( )
A (0，3) B. (0，-3) C. (3，0) D. (-3，0)
5. 解下面方程：（1）（x﹣2）2=5，（2）x2﹣3x﹣2=0，（3）x2+x﹣6=0，较适当的方法分别为（ ）
A. （1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
B. （1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
C （1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
D （1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
6. 若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为
A. －1或 B. 1或 C. 1或 D. 1或
7. 已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则( )
A. y1
A. B. C. D.
9. 关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
A. ＜0 B. ＞0 C. ≥0 D. ≤0
10. 二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（ ）
A. 若y1=y2，则x1=x2 B. 若x1=﹣x2，则y1=﹣y2
C. 若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D. 若x1＜x2＜0，则y1＞y2
12. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各奉送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．
A. x（x+1）=182 B. x（x+1）=182×
C. x（x－1）=182 D. x（x－1）=182×2
二、填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是_____．
14. 已知二次方程x2+（t﹣2）x﹣t=0有一个根是2，则t=_____，另一个根是_____．
15. 若二次函数y=m的图象开口向下，则m=____
16. 已知x=a是方程x2﹣6x+5=0的一个根，那么a2﹣6a=______．
17. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
18. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
19. 已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是________．
20. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品连续两次降价后，由每盒150元下调至96元，求这种药品平均每次降价的百分率是_____．
三、解 答 题（共8小题，满分90分）
21. 解方程：
（1）x2+2x=1；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0；
（3）（x﹣2）2﹣27=0；
（4）3x2+1=2x．
22. 已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且点N（2，3），求此二次函数的解析式．
23. 画抛物线y=x2﹣2x﹣3的草图，并说出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．
24. 已知二次函数y=ax2（a≠0）与函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
25. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和没有可能等于48 cm2，你认为他的说确吗？请说明理由．
26. 已知关于x的方程.
（1）求证方程有两个没有相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
27. 为落实房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．
（1）求每年市政府的增长率；
（2）若这两年内建设成本没有变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？
28. 如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好x轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．
2022-2023学年广东省梅州市九年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的次数是2；二次项系数没有为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A．ax2+bx+c=0，当a=0时，没有是一元二次方程，故A错误；
B．+=2，没有是整式方程，故B错误；
C．x2+2x=x2﹣1，是一元方程，故C错误；
D．3（x+1）2=2（x+1），是一元二次方程，故D正确．
故选D．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的次数是2．
2. 把一元二次方程（x+2）（x﹣3）=4化成一般形式，得（ ）
A. x2+x﹣10=0 B. x2﹣x﹣6=4 C. x2﹣x﹣10=0 D. x2﹣x﹣6=0
【正确答案】C
【详解】先根据多项式乘多项式法则去括号，再移项，合并同类项即可．
，
，
故选C.
解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式是常数，且，其中a是二次项系数，b是项系数，c是常数项．
3. 一元二次方程的根是（ ）
A. ﹣1 B. 2 C. 1和2 D. ﹣1和2
【正确答案】D
【分析】先移项得到，然后利用提公因式因式分解，转化为两个一元方程，解方程即可.
【详解】
或
，x2=-1．
故选：D．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
4. 抛物线y=-x2+3的顶点坐标是( )
A. (0，3) B. (0，-3) C. (3，0) D. (-3，0)
【正确答案】A
【详解】本题考查二次函数的图象性质,根据二次函数图象性质顶点坐标是（0,3）.
5. 解下面方程：（1）（x﹣2）2=5，（2）x2﹣3x﹣2=0，（3）x2+x﹣6=0，较适当的方法分别为（ ）
A. （1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法
B. （1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法
C. （1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法
D. （1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
【正确答案】D
【详解】（1）形如 的方程，选用直接开平方法较为适当，所以此方程宜用直接开平方法；
（2）当判别式Δ>0且没有是有理数的平方数时，宜用公式法求解，此方程，所以宜用公式法求解；
（3）∵ ，∴此方程选用因式分解法比较适当.
故答案选D.
6. 若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为
A. －1或 B. 1或 C. 1或 D. 1或
【正确答案】B
【详解】本题考查一元二次方程的解法,根据题意可得: 2x2+1+4x2－2x－5=0,解方程可得:,.
7. 已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则( )
A. y1
【详解】本题考查二次函数图象性质, 二次函数y=x2的开口方向向上,对称轴是y轴,根据图象可知,二次函数上的点距离对称轴越远,函数值越大,因此可得y1
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上项系数一半的平方配成完全平方公式．
【详解】解：
移项得：
方程两边同时加上项系数一半的平方得：
配方得：．
故选：B．
此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上项系数一半的平方．
9. 关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
A. ＜0 B. ＞0 C. ≥0 D. ≤0
【正确答案】D
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，
∴
即 ，解得 .
故答案选D，
点睛：一元二次方程根的判别式与根的关系：
（1）当时方程有两个没有等实根；
（2）当时方程有两个相等实根；
（3）当时方程无实根.
10. 二次函数y＝x2＋1的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，图象找出答案即可．
【详解】解：二次函数y＝x2＋1中，
a＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图象是B．
故选B．
此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．
11. 已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（ ）
A. 若y1=y2，则x1=x2 B. 若x1=﹣x2，则y1=﹣y2
C. 若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D. 若x1＜x2＜0，则y1＞y2
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、若y1=y2，则x1=﹣x2；B、若x1=﹣x2，则y1=y2；C、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2；D、正确．故选D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
12. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各奉送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．
A. x（x+1）=182 B. x（x+1）=182×
C. x（x－1）=182 D. x（x－1）=182×2
【正确答案】C
【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．
【详解】解：每名同学所赠的标本为：（x-1）件，
那么x名同学共赠：x（x-1）件，
根据题意可列方程：x（x-1）=182，
故选C．
本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
二、填 空 题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
13. 如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是_____．
【正确答案】y=2（x+1）2+3．
【详解】原抛物线的顶点为（0，-1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，3）；
可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．
14. 已知二次方程x2+（t﹣2）x﹣t=0有一个根是2，则t=_____，另一个根是_____．
【正确答案】 ①. 0 ②. x=0
【详解】∵方程x2+（t﹣2）x﹣t=0有一个根2,
∴，
解得 ；
∴ 方程为 ，
，
∴ .
故（1）0，（2）x=0.
15. 若二次函数y=m的图象开口向下，则m=____
【正确答案】m=－1
【详解】本题考查二次函数性质和二次函数的概念,根据二次函数的概念可得:,解得,再由二次函数开口向下可得:m<0,因此m=－1.
16. 已知x=a是方程x2﹣6x+5=0的一个根，那么a2﹣6a=______．
【正确答案】-5．
【详解】解：∵x=a是方程x2﹣6x+5=0的一个根，∴a2﹣6a+5=0，∴a2﹣6a=-5．故答案为-5．
17. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
【正确答案】y＝x2＋1．
【详解】此题答案没有，只要二次项系数大于0，点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
18. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________．
【正确答案】12
【详解】试题分析：解方程，得，，
∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．
19. 已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是________．
【正确答案】10
【详解】试题分析：由二次函数的性质可知当x=（对称轴）时，函数有值y=9-18+m=1，因此m=10.
考点：二次函数的最值问题
20. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品连续两次降价后，由每盒150元下调至96元，求这种药品平均每次降价的百分率是_____．
【正确答案】20%
【详解】设这种药品平均每次降价的百分率是x,依题意得：
，
解得 （没有合，舍去），
∴
故答案为20%.
点睛：（1）两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2，
若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b ，
则 第1次增长后的量是，
第2次增长后的量是，
…… 第n次增长后的量是；
（2）两次降低后的量=原来的量(1-降低率)2，
若原来为a,平均降低率是x,降低后的量为b ，
则 第1次降低后的量是，
第2次降低后的量是 ，
……第n次降低后的量是；
即n次平均增长（降低）率公式.
三、解 答 题（共8小题，满分90分）
21. 解方程：
（1）x2+2x=1；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0；
（3）（x﹣2）2﹣27=0；
（4）3x2+1=2x．
【正确答案】（1）x=﹣1±；（2）x=3或x=1；（3）x=2±3（4）x=
【详解】解：（1）配方得：x2+2x+1=2，
即（x+1）2=2，
∴x=﹣1±；
（2）方程变形为：（x﹣3）（x﹣3+2）=0，
∴x﹣3=0，或x﹣3+2=0，
即 ，
（3）方程变形为：（x﹣2）2=27；
两边直接开平方得：x﹣2=±3
即x=2±3
（4）移项得：3x2﹣2x+1=0
即：（x﹣1）2=0
∴.
点睛：（1）解一元二次方程通法：公式法，可解一切一元二次方程，在没有掌握如何适当选取解法之前，须牢记此法：①把方程变为一般形式；②求判别式；③若，则 .
（2）形如（项系数为0） 或者的方程，选择用直接开平方法较为简便；
（3）形如（常数项为0）的方程，选择用提公因式分解因式求解较为简单；
（4）配方法也是解法，但要慎用，因为此法计算较为复杂，一般地，如果二次项系数为1，项系数是偶数，可考虑使用此法.
适当选择解法，一能使计算简便，二能提高计算的准确性.
22. 已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且点N（2，3），求此二次函数的解析式．
【正确答案】y=5（x﹣1）2﹣2
【详解】试题分析：因为已知顶点坐标，所以可设抛物线顶点式： ，仅有一待定系数a，故只需找出图象上一个已知点，代入即可得到一个关于a的一元方程，解之，得a值，即可得到所求解析式.
解：∵抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
∴设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把点（2，3）代入解析式，得：
，
解得 a =5，
∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．
点睛：（1）易错点：错误地把解析式设为；
（2）求函数解析式，一般都是选用待定系数法，先设出解析式：
①若已知顶点坐标，一般设为顶点式：（其中顶点为（h，k））；
②若已知t图象与坐标轴x轴的两个交点 ，则设为交点式： ；
③若已知点为一般点，则设为一般式：；
再根据所设待定系数的个数，在图象上找相应个数的已知点代入，得到跟待定系数有关的方程(或方程组)，解方程（组），就可得到所求解析式.
23. 画抛物线y=x2﹣2x﹣3的草图，并说出开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：
（1）画二次函数图象，至少要描出5个点，其中顶点坐标必取，与坐标轴的交点，如果有，建议取，所取点，尽量在对称轴两边对称选取，否则图象没有对称没有完整.
（2）a大小决定开口方向，而a=1>0，故开口向上；对称轴为直线 ，顶点为即（1，-4）； 令x=0，则y=-3，得与y轴交点（0，-3）；令y=0,得方程x2﹣2x﹣3=0，解之得 ，得与x轴两个交点（3,0），（-1,0）.
（3）列表后描点，然后用平滑曲线连接各点，就得所求作的图象.
（4）根据草图，增减性，最值就一目了然.
解：列表，如下：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
描点、连线，如图所示．
观察函数图象，可知：抛物线开口向上；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，﹣4）；当x＜1时，y随x增大而减小，当x＞1时，y随x增大而增大；抛物线y=x2﹣2x﹣3存在最小值，最小值为﹣4．
点睛：（1）函数图象画法步骤：列表，描点，连线；
（2）作二次函数图象，列表描点前，首先确定四要素：开口方向，对称轴，顶点坐标，与坐标轴交点，然后在对称轴两边对称取值列表求值得点；
（3）至少要描五个点，点越多，图象越准确.
24. 已知二次函数y=ax2（a≠0）与函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
【正确答案】3
【详解】试题分析：首先通过点A求出两个函数解析式，然后联立方程组，方程组的解就是两线的交点坐标；确定点B坐标后，再求直线与y轴交点G，就可用割补法求△OAB面积.
解：∵函数y=kx﹣2的图象过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1=﹣k﹣2，解得k=﹣1，
∴函数表达式为y=﹣x﹣2，
∴令x=0，得y=﹣2，
∴G（0，﹣2），
∵函数y=ax2图象过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1=a×（-1）2，解得a =﹣1，
∴二次函数表达式为y=﹣x2，
由函数与二次函数联立可得，
解得，，
∴B（2，-4）
∴
点睛：（1）本题解答有两个关键点，一是找到点B坐标，二是用割补法求三角形面积；
（2）线的交点一般通过联立方程组，解方程组得到，方程组的解即是交点坐标；
（3）在直角坐标系中，若三角形没有任一边落在坐标轴上或者与坐标轴平行，一般使用割补法求面积，补即是把三角形补充扩大为一个各边与坐标轴平行的矩形，这样三角形面积就转化为矩形与三个直角三角形面积的差，割即是沿着其中一个顶点做与y轴平行的直线，把三角形分割为有一个公共边的两个三角形，求这两三角形面积之和即可.本题使用割的方法.
25. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和没有可能等于48 cm2，你认为他的说确吗？请说明理由．
【正确答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说确，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，， ，∵， ∴该方程无实数解，也就是没有可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
26. 已知关于x的方程.
（1）求证方程有两个没有相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．
【正确答案】(1)证明见解析；（2），
【分析】（1）先计算出△=（m+2）2﹣4（2m﹣1），变形得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个没有相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，则原方程化为x2﹣5=0，然后利用直接开平方法求解．
【详解】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个没有相等的实数根；
（2）设方程的两个根为x1，x2，由题意得：
x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，
当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，
解得：x1=﹣，x2=．
根的判别式；根与系数的关系．
27. 为落实房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年的增长率相同．
（1）求每年市政府的增长率；
（2）若这两年内的建设成本没有变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？
【正确答案】（1）50%；（2）38（万平方米）．
【分析】（1）设市政府的年平均增长率为x，然后列出方程，解方程即可得到答案；
（2）找出关系，直接列式计算即可．
【详解】解：（1）设市政府的年平均增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x1.75=0，
解得x1=0.5，x2=3.5（舍去），
答：每年市政府的增长率为50%；
（2）到2021年底共建廉租房面积=9.5÷=38（万平方米）．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
28. 如图，四边形ABCD是菱形，点D坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好x轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．
【正确答案】（1）（1，0）、（3，0）、（2，）；（2）y=–（x–2）2+；（3）向上平移了5–=4个单位长度
详解】试题分析：（1）
过C作CE⊥AB于E，根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得△OAD≌△EBC，则OA=AE=BE，设OA=AE=BE=m，则菱形的边长为2m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A、B、C三点的坐标；
(2)根据(1)题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
(3)设出平移后的抛物线解析式，将D点坐标代入此函数的解析式中，即可求出平移后的函数解析式，与原二次函数解析式进行比较即可得到平移的单位.
解：（1）过C作CE⊥AB于E，由抛物线的对称性可知AE=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD//AB, AD=BC，
∴∠DCE=∠CEO=90°，
又∠DOA=90°， ∴四边形ODCE为矩形，
∴OD=CE,
Rt△AOD和Rt△BEC中，
∵OD=EC，AD=BC，
∴Rt△AOD≌Rt△BEC（HL），
∴OA=BE=AE，
设OA=AE=BE=m，则菱形的边长为2m，
∵D（0，）, ∴OD=CE= ,
在Rt△AOD中， ,
∴ m2+（）2=（2m）2，
解得m =1；
∴DC=2，OA=1，OB=3；
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）；
（2）由（1）知顶点C（2，），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+，
代入A点坐标可得 ，
解得a =﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+；
（3）设平移后的抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣2）2+k，
代入D（0，）可得 ，
解得k=5，
所以平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+5，
向上平移了5﹣=4个单位．
点睛：（1）此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、抛物线的对称性、勾股定理以及二次函数图象的平移，综合性较强，难度适中，三小问关系密切，前面一旦失误，后面皆错，因此计算要细心，审题要仔细；
（2）本题解题关键就是确定点A、B、C的坐标，为求点C坐标，必须要添加辅助线CE，问题转化成求线段OA,OB及CE长，通常都是利用方程思想，借助勾股定理建立方程求解；
（3）题目背景是菱形和抛物线，为此需要熟知两图的性质，找出等量，建立方程以求解.
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