2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练18 全等三角形

这是一份2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练18 全等三角形，共43页。
专题18 全等三角形
【专题目录】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
技巧3：证明三角形全等的四种思路
【题型】一、全等三角形的性质
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
【题型】六、全等三角形的判定（HL）
【题型】七、全等三角形综合问题
【题型】八、角平分线的判定定理
【考纲要求】
1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素
2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等
【考点总结】一、全等三角形及其性质
全等三角形及其性质
全等图形概念
能完全重合的图形叫做全等图形.
特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

【考点总结】二、全等三角形的判定
全等三角形的性质与判定
概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
性质
全等三角形的对应边、对应角分别相等．
判定
(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；
(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；
(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；
(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
角平分线
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
【技巧归纳】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
【类型】一、已知一边一角型
题型1：一次全等型
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．

题型2：两次全等型
2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.

【类型】二、已知两边型
题型1：一次全等型
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由．

题型2：两次全等型
4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.

【类型】三、已知两角型
题型1：一次全等型
5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC.

题型2：两次全等型
6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.


技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
【类型】一、翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.

【类型】二、构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.

【类型】三、旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．

【类型】四、平行线法
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.

【类型】五、倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

【类型】六、截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.


技巧3：证明三角形全等的四种思路
【类型】一、条件充足时直接用判定方法
1．(2014·武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.


【类型】二、条件不足时添加条件再用判定方法
2．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．

【类型】三、非三角形问题中构造全等三角形用判定方法
3．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1＝∠2，CA＝CB.求证：
(1)∠3＋∠4＝180°；
(2)OA＋OB＝2OM.

【类型】四、实际问题中建立全等三角形模型用判定方法
4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DG＝BD，延长ED到F，使DF＝ED，连接FG，并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．


【题型讲解】
【题型】一、全等三角形的性质
例1、如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　）

A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
例2、如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．

【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
例3、如图，已知，，．


求证：（1）；
（2）．
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
例4、如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．

【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
例5、如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.

【题型】七、全等三角形综合问题
例7、如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

【题型】八、角平分线的判定定理
例8、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
全等三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，平行四边形中，，点在上，且，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
2．如图，在Rt中，为上一点且于，连结，则（   ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，DE垂直平分BC，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
5．如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
6．如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB4，AO6，那么BC＝_____．

7．已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为______．

三、解答题
8．如图，在等边中，点是内一点，点是外一点，连接、、、、，其中，试判断的形状并证明你的结论．



全等三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，其中点D恰好落在BC边上，则∠ADE等于（   ）

A． B． C． D．
2．如图，在中，，，BE平分交AD于E，CF平分交AD于F，则EF等于（    ）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（    ）

A．∠ABC＝∠DCB B．BO＝CO
C．AO＝DO D．∠A＝∠D
4．如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（        ）

A． B． C． D．
5．如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（    ）

A．只有甲正确 B．只有乙错误
C．乙、丙都正确 D．只有丙错误

二、填空题
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点P；
③作射线BP，交边AC于D点．
则点D到AB的距离为_______．


三、解答题
7．如图，在四边形中，点在边上，，，作交线段于点，连接，求证：．


【技巧归纳】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
【类型】一、已知一边一角型
题型1：一次全等型
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．

题型2：两次全等型
2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.

【类型】二、已知两边型
题型1：一次全等型
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由．

题型2：两次全等型
4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.

【类型】三、已知两角型
题型1：一次全等型
5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC.

题型2：两次全等型
6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.


参考答案
1．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△DBE≌△DCF.
∴BD＝CD.∴D是BC的中点，即AD是△ABC的中线．
2．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N.∴∠M＝∠N＝90°.
∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.
在△ACM和△ADN中，
∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN.
在Rt△ABM和Rt△ABN中，
∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．
∴BM＝BN.∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.
3．解：BF⊥AE.理由如下：
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
又∵BC＝AC，BD＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．
∴∠CBD＝∠CAE.
又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
4．证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°.
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)．∴∠A＝∠B.
∵AE＝BF，∴AE－EF＝BF－EF，即AF＝BE.
在△ACF和△BDE中，
∴△ACF≌△BDE(SAS)．
5．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°.
∵AO平分∠BAC，∴∠DAO＝∠EAO.
在△ADO和△AEO中，
∴△ADO≌△AEO(AAS)．
∴OD＝OE.
又∵CD＝BE，∴CD－OD＝BE－OE，即OC＝OB.
6．证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(AAS)．∴AC＝DB.
又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.
在△FAC和△FDB中，
∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴CF＝BF.
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
【类型】一、翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.

【类型】二、构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.

【类型】三、旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．

【类型】四、平行线法
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.

【类型】五、倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

【类型】六、截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.


参考答案
1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.

2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.

∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，
∴△BDF≌△BGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．
3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.
在△ABH和△ADF中，
∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.
∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在△AEH和△AEF中，

∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠HAF＝45°
点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.
4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，
∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.
∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.
易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.
∴OD＝OQ，AD＝AQ.
又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.
又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.
∴过点D作DM⊥BQ，∴∠DMB＝∠DMO＝90°.
又∵DM＝DM，∴△DMB≌△DMO.
∴BD＝OD.∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.
∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.
∴∠BOP＝∠APB，过点B作BN⊥OP，
∴∠BNO＝∠BNP＝90°，
又∵BN＝BN，∴△BNO≌△BNP.
∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.
5．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.
∴AC＝EB.
∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.
(2)解：∵AB－BE