专题14 反比例函数 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

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技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【题型】一、反比例的定义
【题型】二、反比例函数的图象
【题型】三、反比例函数的性质
【题型】四、求反比例函数解析式
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
【题型】七、实际问题与反比例函数
【考纲要求】
1、理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2、会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．
3、能用反比例函数解决某些实际问题.
【考点总结】一、反比例函数的概念
【考点总结】二、反比例函数的图象和性质
【注意】
反比例函数（k≠0）系数k的几何意义
从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：
【技巧归纳】
技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
【类型】一、利用反比例函数的定义求表达式
1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数表达式．
【类型】二、利用反比例函数的性质求表达式
2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的表达式．
【类型】三、利用反比例函数的图象求表达式
3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0，2)，OA＝OB，B是线段AC的中点．求：
(1)点A的坐标及一次函数表达式；
(2)点C的坐标及反比例函数表达式．
【类型】四、利用待定系数法求表达式
4．已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，若函数y＝y1＋y2的图象经过点(1，2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，求y与x的函数表达式．
【类型】五、利用图形的面积求表达式
5．如图，点A在双曲线y＝eq \f(1,x)上，点B在双曲线y＝eq \f(k,x)上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD的面积为6，求B点所在双曲线对应的函数表达式．
【类型】六、利用实际问题中的数量关系求表达式
6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．
(1)运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间有怎样的函数关系？
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
【类型】一、反比例函数的系数k与面积的关系
1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－eq \f(4,x)和y＝eq \f(2,x)的图象交于A点和B点，若C为x轴上的任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，P是反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )
A．y＝－eq \f(6,x) B．y＝eq \f(6,x) C．y＝－eq \f(3,x) D．y＝eq \f(3,x)

3．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝eq \f(6,x)在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为( )
A．36 B．12 C．6 D．3
4．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为( )
A．1 B．2 C． 3 D．4

5．如图，函数y＝－x与函数y＝－eq \f(4,x)的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，点A，C为反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＜0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为eq \f(3,2)时，k的值为( )
A．4 B．6 C．－4 D．－6
【类型】二、已知面积求反比例函数的表达式
题型1：已知三角形面积求函数表达式
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，已知S△AOB＝4.
(1)求该反比例函数的表达式和直线AB对应的函数表达式；
(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
题型2：已知四边形面积求函数表达式
8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝eq \f(k,x)在第二象限的图象的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3.
(1)求两函数的表达式；
(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．
【类型】三、已知反比例函数表达式求图形的面积
题型1：利用对称性求面积
9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y＝－eq \f(6,x)，y＝eq \f(6,x)，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？
题型2：利用点的坐标及面积公式求面积
10．如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝eq \f(k2,x)(x＜0)的图象相交于点A，点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.
(1)试确定反比例函数的表达式；
(2)求△AOC的面积．
题型3：利用面积关系求点的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A(eq \r(3)，1)在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上．
(1)求反比例函数y＝eq \f(k,x)的表达式；
(2)在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP＝eq \f(1,2)S△AOB，求点P的坐标；
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，点A，O的对应点分别为点E，D.直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【类型】一、反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象大致是( )
2．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k，b的取值范围是( )
A．k>0，b>0 B．k0 C．k0?
(2)求一次函数表达式及m的值．
(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
【题型讲解】
【题型】一、反比例的定义
例1、反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小
【题型】二、反比例函数的图象
例2、已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【题型】三、反比例函数的性质
例3、已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【题型】四、求反比例函数解析式
例4、已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
例5、如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
例6、如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）
B．或 C． D．或
【题型】七、实际问题与反比例函数
例7、南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
反比例函数（达标训练）
一、单选题
1．学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升，加热到时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温要从加热到，所需要的时间为（ ）
A．B．C．D．
2．如图是反比例函数的图象，当时，y的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限B．第一、三象限C．第三、四象限D．第二、四象限
4．若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．B．3C．-D．-3
5．若点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A．1B．6C．D．3
二、填空题
6．点，，，在函数的图像上，若，则__．（填“”、“”或“”）
7．当时，函数的值是______．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求点B的坐标．
(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．
反比例函数（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是( )
A．B．C．或D．
3．关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线D．y的值随x的值增大而减小
4．已知函数，当时，随增大而减小，则关于的方程的根的情况是( )
A．有两个正根B．有一个正根一个负根
C．有两个负根D．没有实根
5．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．如图，A、B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________．
7．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为________．（用“”连接）
三、解答题
8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式：
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积．
反比例函数的概念
反比例函数的定义
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
二次函数的图象及性质
图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
反比例函数的图象和性质
反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质
函数
图象
所在象限
性质
(k≠0,k为常数)
k>0
三象限
(x,y同号)
在每个象限内,y随x增大而减小
k