2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练20 勾股定理

这是一份2023年中考数学一轮复习考点归纳与分层精练20 勾股定理，共48页。
专题20 勾股定理
【专题目录】
技巧1：判定直角的四种方法
技巧2：巧用勾股定理解折叠问题
技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长
【题型】一、勾股定理理解三角形
【题型】二、勾股定理与网格问题
【题型】三、解直角三角形在实际中的应用
【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系
【题型】五、求梯子滑落高度
【题型】六、求旗杆高度
【题型】七、求蚂蚁爬行距离
【题型】八、求大树折断前的高度
【题型】九、求台阶上的地毯长度
【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等
【考纲要求】
1、了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．
2、掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.
【考点总结】一、直角三角形与勾股定理



直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
直角三角形性质
①直角三角形的两锐角互余;
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;
③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.
勾股定理概念
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明
方法一：，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证

勾股数
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
常见的勾股数：如；；；等
扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；
2）（为正整数）
3）（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
【技巧归纳】
技巧1：判定直角的四种方法
【类型】一、利用三边的数量关系说明直角
1．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长．

【类型】二、利用转化为三角形法构造直角三角形
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.

【类型】三、利用倍长中线法构造直角三角形
3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.

【类型】四、利用“三线合一”法构造直角三角形
4．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.
(1)求证：CM＋CN＝BD；
(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．

技巧2：巧用勾股定理解折叠问题
【类型】一、巧用全等法求折叠中线段的长
1．如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为(　　)
　
A. cm B．2 cm ]C．2 cm D．3 cm
【类型】二、巧用对称法求折叠中图形的面积
2．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．

【类型】三、巧用方程思想求折叠中线段的长
3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长．

【类型】四、巧用折叠探究线段之间的数量关系
4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；
(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．


技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长
【类型】一、构造直角三角形法求平面中最短问题
1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．

2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
(1)求A，C之间的距离．(参考数据：≈4.6)
(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)

【类型】二、用平移法求平面中最短问题
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬(　　)
A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm

4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．

【类型】三、用对称法求平面中最短问题
5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN＋MN的最小值．

6.高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．

【类型】四、用展开法求立体图形中最短问题
题型1：圆柱中的最短问题
7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．

题型2：圆锥中的最短问题
8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．

题型3：正方体中的最短问题
9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．

题型4：长方体中的最短问题
10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．

【题型讲解】
【题型】一、勾股定理理解三角形
例1、在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【题型】二、勾股定理与网格问题
例1、如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
【题型】三、解直角三角形在实际中的应用
例3、如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角为，然后在坡顶D测得树顶A的仰角为，已知斜坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比），斜坡，求树的高度．（结果精确到，参考数据：）

【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系
例4、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．

【题型】五、求梯子滑落高度
例5、如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．

【题型】六、求旗杆高度
例6、如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的长度为____．

【题型】七、求蚂蚁爬行距离
例7、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（　　）

A．13米 B．12米 C．5米 D．米
【题型】八、求大树折断前的高度
例8、“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　)

A．3 B．5 C． D．4
【题型】九、求台阶上的地毯长度
例9、一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）

A． B． C． D．
【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等
例10、如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．

A． B． C． D．

勾股定理（达标训练）
一、单选题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（    ）

A．8 B．15 C．16 D．24
2．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ）
A． B．
C． D．
3．如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（    ）

A．1 B． C．2 D．
4．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（  ）

A．10 B．13 C．15 D．26
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2，BC=4，则DF的长为（    ）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
二、填空题
6．在中，，于点，且，在上取点，使，连接，则 ______ ．

7．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为_______．

三、解答题
8．已知：△ABC的边长，，，且．

(1)判断三角形的形状，并说明理由；
(2)若，求的三边长．


勾股定理（提升测评）

一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，，则顶点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，E是BC中点，BF⊥AE于点M，交AD于点F，则AM长为（    ）

A．2 B． C． D．
3．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，，且，若平行四边形ABCD的面积为48，则AB的长为（    ）

A． B． C． D．
4．如图，中，，，，绕点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，在△ABC中，，平分，过作，垂足为，若，，，则=______．

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，点D为边AB上一个动点，将△CDB沿CD翻折，得到（其中C，D，，A在同一平面内），，则________．

三、解答题
7．在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．

(1)推理证明：如图1，若∠DAB＝120°，且∠D＝90°，求证：AD＋AB＝AC；
(2)问题探究：如图2，若∠DAB＝120°，试探究AD、AB、AC之间的数量关系，并说明理由；
(3)迁移应用：如图3，若∠DAB＝90°，AD＝2，AB＝4，求线段AC的长度．

【技巧归纳】
技巧1：判定直角的四种方法
【类型】一、利用三边的数量关系说明直角
1．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长．

【类型】二、利用转化为三角形法构造直角三角形
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.

【类型】三、利用倍长中线法构造直角三角形
3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.

【类型】四、利用“三线合一”法构造直角三角形
4．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.
(1)求证：CM＋CN＝BD；
(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．

参考答案
1．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，
∴△ABD为直角三角形，
且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.
在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，
∴CD＝＝＝15.
2．解：连接AC.在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2，
∴AC＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.
∴△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝×2×＋×3×4＝6＋.
3．证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，BE.
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD.
又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝13.
在△ABE中，AE＝2AD＝12，
∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.
又∵BE2＝132＝169，
∴AE2＋AB2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，
即AB⊥AD.

点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．
4．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.
∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，
∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD＝45°，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，
∴CM＝BN.∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC.
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，CD＝BD，∴BC＝BD.∴CM＋CN＝BD.
(2)解：CN－CM＝BD，如图②，连接CD，证法同(1)．

技巧2：巧用勾股定理解折叠问题
【类型】一、巧用全等法求折叠中线段的长
1．如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为(　　)
　
A. cm B．2 cm ]C．2 cm D．3 cm
【类型】二、巧用对称法求折叠中图形的面积
2．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．

【类型】三、巧用方程思想求折叠中线段的长
3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长．

【类型】四、巧用折叠探究线段之间的数量关系
4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；
(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．


参考答案
1．A
2．解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.
∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.
设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.
∴DE＝5.∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
解题策略：解决此题的关键是证得ED＝EB，然后在Rt△ABE中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．
3．(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°.
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.
又∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．
(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.
设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
∵E为CD的中点，
∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.
∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.
4．(1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD是长方形，故AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.
∴AE＝AF＝EC＝CF.
(2)解：由题意知，AE＝EC＝a，ED＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.
技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长
【类型】一、构造直角三角形法求平面中最短问题
1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．

2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
(1)求A，C之间的距离．(参考数据：≈4.6)
(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)

【类型】二、用平移法求平面中最短问题
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬(　　)
A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm

4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．

【类型】三、用对称法求平面中最短问题
5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN＋MN的最小值．

6.高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．

【类型】四、用展开法求立体图形中最短问题
题型1：圆柱中的最短问题
7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．

题型2：圆锥中的最短问题
8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．

题型3：正方体中的最短问题
9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．

题型4：长方体中的最短问题
10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．

参考答案
1．4
2．解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.
∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.
在Rt△CBE中，∵BC＝20 km，
∴BE＝10 km.
由勾股定理可得CE＝10 km.
在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400，
∴AC＝20≈20×4.6＝92(km)．

(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为＝1(h)，乘“武黄城际列车”所需时间约为＋＝1(h)．∵1>1，
∴选择乘“武黄城际列车”．

3．C　点拨：将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50 cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，所以AB＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.

4．10
5．解：如图所示，
∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND.
∴DN＋MN＝BN＋MN.
连接BM交AC于点P，
∵点N为AC上的动点，
∴由三角形两边之和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值为BM的长度．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，
∠BCM＝90°，
BM＝＝＝10.
即DN＋MN的最小值为10.

6．解：如图，作点B关于直线MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A，B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8 km，DC＝6 km.
∴AC＝＝10 km，
∴这个最短距离为10 km.

7．2　点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA′D′D，连接AC，如图．线段AC就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB＝×2π×＝2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC＝＝2.

8．解：(1)圆锥　(2)扇形
(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．
(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，
∴AC＝＝5.
故蜗牛爬行的最短路程为5.

9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.
(2)如图，AC′1＝AC1＝＝4.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4.
　
10．解：分为三种情况：
(1)如图①，连接EC，
在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝×30＝15(cm)．
由勾股定理，得EC＝＝25(cm)．
(2)如图②，连接EC.
根据勾股定理同理可求CE＝ cm>25 cm.
(3)如图③，连接EC.
根据勾股定理同理可求CE＝＝(cm)>25 cm.
综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm.　


【题型讲解】
【题型】一、勾股定理理解三角形
例1、在中，，如果，，那么的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用勾股定理可求出AB的长，根据正弦函数的定义即可得答案．
【详解】
∵，，，
∴AB==10，
∴sinA==，
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型．
【题型】二、勾股定理与网格问题
例1、如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【题型】三、解直角三角形在实际中的应用
例3、如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角为，然后在坡顶D测得树顶A的仰角为，已知斜坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比），斜坡，求树的高度．（结果精确到，参考数据：）

【答案】26m
【分析】
根据坡度求出，继而求得，∠ACD＝90°，根据平行线的性质可得∠FDC＝30°，继而得∠ADC＝60°，在中，解直角三角形可得AC，在中，解直角三角形可得AB的值．
【详解】
解：∵斜坡的坡度，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
在中，
∵，
∴．
答：大树的高度约为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的运用-仰角和俯角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，特殊的锐角三角函数值．
【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系
例4、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．

【答案】20
【提示】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【题型】五、求梯子滑落高度
例5、如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．

【答案】1.3
【提示】分别在两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即得．
【详解】解：由题意得：米，米
∴在中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2米，
∵BD=0.9米，
∴CD=2.4米．
∵
∴在中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，
∴EC=0.7米，
∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3米．
故答案为：1.3．
【题型】六、求旗杆高度
例6、如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的长度为____．

【答案】17
【提示】根据题意画出示意图，设绳子的长度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x−2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】设绳子长度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
绳子的长度为．
故答案为：17．

【题型】七、求蚂蚁爬行距离
例7、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（　　）

A．13米 B．12米 C．5米 D．米
【答案】A
【提示】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.
【详解】如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,

∵AB=13，CD=8，
又∵BE=CD，DE=BC，
∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,
∴
∴AD=13（负值舍去）,
故小鸟飞行的最短路程为13m,
故选A.
【题型】八、求大树折断前的高度
例8、“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　)

A．3 B．5 C． D．4
【答案】C
【提示】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：

x2+42=（10-x）2，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故选C．
【题型】九、求台阶上的地毯长度
例9、一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】如图所示，

∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：=+=，
解得：．
故选：B．
【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等
例10、如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处．
故选：．

勾股定理（达标训练）
一、单选题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（    ）

A．8 B．15 C．16 D．24
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AO=CO，∠AOE=∠COF,根据平行线的性质得出∠EAO=∠FCO,根据ASA推出△AEO≌△CFO，由全等得到OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形，根据垂直平分线的性质得出AF=CF，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】连接AF，CE，

∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
,
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE=x，DE=16-x，
在Rt△CDE中，,
，
解得，
∴AE=,
∵,
∴=10,
∴,
∴EF=2OE=15,
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形AECF是菱形是解题的关键．
2．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误．
【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k，
∵ ，
即 ，
∴三角形是直角三角形，
正确；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
即∠C=90°，
正确；
C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，
又三角形内角和定理得x+5x+6x=180,
解得6x=90,
故正确；
D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180，
5x=75,
故不是直角三角形，
错误；
故本题选择D．
【点睛】本题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、证明最大角是直角．
3．如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（    ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先根据等边三角形性质得到∠ADC = 90°，∠CAD= 30°，再设CD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理计算即可．
【详解】∵等边△ABC中，AD⊥BC，
∴∠ADC= 90°
∠CAD=∠BAD= 60°÷2= 30° ，
AB= AC，
设CD=x，则AC= 2x，
在Rt△ACD中，

解得：x=±1(舍负)，
∴AB= AC= 2．
故选C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，解题关键是熟练应用等边三角形的性质．
4．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（  ）

A．10 B．13 C．15 D．26
【答案】B
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面积为．
【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
即最大正方形E的面积为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2，BC=4，则DF的长为（    ）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理求出EF=BE=2，计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，
由勾股定理得：AB==6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，
∴∠ABF=∠EFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴EF=BE=2，
∴DF=DE-EF=1，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

二、填空题
6．在中，，于点，且，在上取点，使，连接，则 ______ ．

【答案】1
【分析】设BD=x，DE=y，则AD=3x，CE=2y，CD=3y，由勾股定理求得，，即可求得答案．
【详解】设BD=x，DE=y，
∵,,
∴AD=3x，CE=2y，
∴CD=CE+DE=3y,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，,
∴，
∴，
在Rt△BDE中，，
∴=1，
∴BE=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求得=1是解题的关键．
7．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为_______．

【答案】3
【分析】首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，进而求得答案．
【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，
∴AC=2OB=10，
∴CD=AB=，
∵M是AD的中点，
∴OM=CD=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．

三、解答题
8．已知：△ABC的边长，，，且．

(1)判断三角形的形状，并说明理由；
(2)若，求的三边长．
【答案】(1)是直角三角形
(2)，，

【分析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；
（2）根据，可得∠A=30°，从而得到，继而得到，即可求解．
（1）
解：是直角三角形，理由如下∶
∵，，，



，
∴
即是直角三角形；
（2）
解∶∵，，
∴∠A=30°，
∴，即，
∴，解得∶或（不合题意，舍去）
当时，，
，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键．


勾股定理（提升测评）

一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，，则顶点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作CD⊥AB于D，根据题意求出AB，根据等腰三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，得到答案．
【详解】解：作CD⊥AB于D，

∵点A，B的坐标分别是（0，4），（0．−2），
∴AB＝6，
∵BC＝AC＝5，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝3，
∴OD＝1，
由勾股定理得，CD＝，
∴顶点C的坐标为（4，1），
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，作坐标轴的垂线构造直角三角形，运用勾股定理是解题关键．
2．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，E是BC中点，BF⊥AE于点M，交AD于点F，则AM长为（    ）

A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE=5，再利用面积法求得BM=，在Rt△ABM中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵矩形ABCD中， AD=8，E是BC中点，
∴BE=4，∠ABE=90°，
∵BF⊥AE于点M，
∴∠BME=∠BMA=90°，
在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，
∴AE=5，
∵S△ABE=BE×AB=AE×BM，
∴BM=，
在Rt△ABM中，AB=3，BM=，
∴AM=，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．如图，平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，，且，若平行四边形ABCD的面积为48，则AB的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据平行四边形的性质，得AC=2OA，BD=2OB，再因为AC：BD=3：5，则OA：OB=3：5，设OA=3k，则OB=5k，AC=6k，由勾股定理，得AB=4k，再根据平行四边形面积公式求出k值，即可求解．
【详解】解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∵AC：BD=3：5，
∴OA：OB=3：5，
设OA=3k，则OB=5k，AC=6k，
∵，
∴由勾股定理，得AB=＝4k，
∵S平行四边形ABCD=ABAC=48，
∴4k6k=48,
解得：k=,
∴AB=4k=4,
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题词的关键．
4．如图，中，，，，绕点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，则线段的长度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得，，再求出OE，从而得到，过点O作于，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得，然后由代入数据计算，即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵绕顶点逆时针旋转到处，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
过点作于，如图，

，
解得：，
在Rt中，，
∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．

二、填空题
5．如图，在△ABC中，，平分，过作，垂足为，若，，，则=______．

【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，可得，，设，则，在中，，根据定理可得，建立方程，解得，进而求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，

∴，
∵，平分，
∴
∴
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，，
∴，
设，则
∴
∴
在中，
∴
∴
解得：
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，点D为边AB上一个动点，将△CDB沿CD翻折，得到（其中C，D，，A在同一平面内），，则________．

【答案】##
【分析】根据折叠的性质求得∠CDB=105°，∠BCD=45°，过点D作DE⊥BC于点E，设AD=x，则BD=，得到DE=，EB=，利用CE+ EB=BC，列式求解即可．
【详解】解：∵，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴，∠B=30°，
∵将△CDB沿CD翻折，得到，
∴∠CDB=∠=(360°150°) =105°，
∴∠BCD=180°−105°−30°=45°，
过点D作DE⊥BC于点E，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2，BC=，
设AD=x，则BD=，
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠B=30°，
∴DE=BD=，EB=DE=，
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，∠DCE=45°，
∴CE=DE=，
∴CE+ EB=BC，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，准确作出辅助线是解此题的关键．

三、解答题
7．在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．

(1)推理证明：如图1，若∠DAB＝120°，且∠D＝90°，求证：AD＋AB＝AC；
(2)问题探究：如图2，若∠DAB＝120°，试探究AD、AB、AC之间的数量关系，并说明理由；
(3)迁移应用：如图3，若∠DAB＝90°，AD＝2，AB＝4，求线段AC的长度．
【答案】(1)见解析
(2)AD＋AB＝AC，证明见解析
(3)

【分析】（1）利用角平分线的定义结合∠DAB的度数，可求出∠DAC=∠BAC=60°，由∠B+∠D=180°，∠D=90°，可求出∠B=90°，结合三角形内角和定理可求出∠ACD=∠ACB=30°，再利用在直角三角形中30度角所对应的边是斜边的一半，可得出AD，AB，将其相加后即可证出AD+AB=AC；
（2）AD+AB=AC，在图2中，过点C作CE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AB的延长线于点F，证△BFC≌∠DEC（AAS），利用全等三角形的性质可得出DF=BF，进而可得出AD+AB=AE+AF，再结合（1）的结论，即可得出AD+AB=AC；
（3）在图3中，过点C作CM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AD的延长线于点N，由（2）可得出△CDN≌△CBM，利用全等三角形的性质可得出DN=BM，进而可得出AD+AB=AN+AM，由∠DAB=90°，AC平分∠BAD，可得出△ACN，△ACM均为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得出AN=AM=CN=AC，进而可得出AD+AB=AC，再结合AD=2，AB=4，即可求出AC的长．
（1）
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵∠DAB＝120°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
又∵∠B＋∠D＝180°，
∠D＝90°，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝30°，
∴AD＝，                
AB＝，
∴AD＋AB＝AC ；
（2）
解：AD＋AB＝AC，
过点C作CE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AB的延长线于点F，

∵AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，
∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D＋∠ABC＝180°，
而∠ABC＋∠FBC＝180°，
∴∠D＝∠FBC，
在△BFC与△DEC中

∴△BFC≌△DEC ，               
∴DE＝BF，
∴AD＋AB＝AE＋DE＋AF-BF＝AE＋AF，
由（1）知AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC，
（3）
解：过点C作CM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AD的延长线于点N，

由（2）知：△CDN≌△CBM，
∴DN＝BM，
∴AD＋AB＝AN-DN＋AM＋BM＝AN＋AM，
而∠DAB＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠NAC＝∠MAC＝∠ACN＝45°，
∴AN＝AM＝NC＝，
∴AD＋AB＝AN＋AM＝，          
又AD＝2，AB＝4，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、含30°角的直角三角形、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．