专题27 轴对称 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

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技巧1：轴对称与轴对称图形的关系
技巧2：轴对称图形性质的应用
【题型】一、 轴对称图形的识别
【题型】二、 轴对称的性质
【题型】三、求对称轴条数
【题型】四、 镜面对称
【题型】五、 平面直角坐标系关于坐标轴对称点的坐标特征
【考纲要求】
1、通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.
2、理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系，探索轴对称现象共同特征.
3、探究在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标特点.
4、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形.
5、能根据坐标系中轴对称点的坐标特点解决简单的问题.
【考点总结】一、图形的轴对称
轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
轴对称的性质：
关于某条直线对称的两个图形是全等形。
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。
轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
轴对称与轴对称图形的联系与区别
画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：
找到关键点，画出关键点的对应点，
按照原图顺序依次连接各点。
用坐标表示轴对称：
1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；
【技巧归纳】
技巧1：轴对称与轴对称图形的关系
类型一：轴对称的作图
1．下列图形中，右边图形与左边图形成轴对称的是( )
2．如图，已知△ABC和直线MN，求作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．(不要求写作法，只保留作图痕迹)
(第2题)
类型二：轴对称图形的再认识
3．一张四边形纸片按图①，图②依次对折后，再按图③打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是( )
(第3题)
4．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有________个．
(第4题)
类型三：轴对称及轴对称图形的性质的应用
1、利用轴对称及轴对称图形的性质求面积(转化思想)
(第5题)
5．如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是△ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为12 cm2，则图中阴影部分的面积是________cm2.
2、利用轴对称求与坐标有关的问题
6．已知点M(2a－b，5＋a)，N(2b－1，－a＋b)．
(1)若点M，N关于x轴对称，试求a，b的值；
(2)若点M，N关于y轴对称，试求(b＋2a)2 016的值．
3、利用轴对称解决四边形中的折叠问题
7．把一张长方形纸片ABCD按图中的方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E，F两点均在BD上)，折痕分别为BH，DG.求证：△BHE≌△DGF.
(第7题)
4、利用轴对称的性质解决几何中的最值问题
8．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，OP＝10，点M，N分别在OA，OB上，求△PMN的周长的最小值．
(第8题)
参考答案
1．B
2．解：如图．
(第2题)
3．C 4.4
5．6 点拨：∵△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，∴△ABD与△ACD关于直线AD对称．∴S△ABD＝S△ACD＝eq \f(1,2)S△ABC.又∵点E，F是AD上的任意两点，∴△BEF与△CEF关于直线AD对称．∴S△BEF＝S△CEF.∴S阴影＝S△ABE＋S△BEF＋S△BDF＝S△ABD＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×12＝6(cm2)．
6．解：(1)∵点M，N关于x轴对称，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－b＝2b－1，,5＋a＝－（－a＋b），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－8，,b＝－5.))
(2)∵点M，N关于y轴对称，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－b＝－（2b－1），,5＋a＝－a＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝3.))
∴(b＋2a)2 016＝[3＋2×(－1)]2 016＝1.
7．证明：由折叠可知∠ABH＝∠EBH＝eq \f(1,2)∠ABD，∠CDG＝∠FDG＝eq \f(1,2)∠CDB，∠HEB＝∠A＝∠GFD＝∠C＝90°，AB＝BE，CD＝DF.∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.
∴∠EBH＝∠FDG.∵AB＝CD，∴BE＝DF.
在△BHE和△DGF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EBH＝∠FDG，,BE＝DF，,∠HEB＝∠GFD，))∴△BHE≌△DGF(ASA)．
点拨：用轴对称性质解决折叠问题的关键是折叠前后重合的部分全等，所以对应角相等、对应线段相等．
(第8题)
8．解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，OP1，OP2，此时△PMN的周长最小，△PMN的周长＝PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋NP2＝P1P2，∵∠P1OP2＝2∠AOP＋2∠BOP＝2∠AOB＝60°，OP＝OP1＝OP2，∴△OP1P2为等边三角形．
∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝10.
∴△PMN的周长的最小值为10.
技巧2：轴对称图形性质的应用
类型一：应用于求线段的长
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12 cm，则BC＝________.
(第1题)
2．如图，在△ABC中，AB>BC，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E.若△ABC的周长为41 cm，一边长为15 cm，求△BCE的周长．
(第2题)
类型二：应用于求角的度数
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．
(第3题)
类型三：应用于证线段相等(作垂线段法)
4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证：PC＝PD.(提示：四边形的内角和等于360°)
(第4题)
类型四：应用于证不等关系(截取法)
5．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线．求证：BE＋CF>EF.
(第5题)[来源:Z_xx_k.C
7．如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证：AC＝eq \f(1,2)AB.
(第7题)
参考答案
1．12 cm
2．解：因为△ABC的周长为41 cm，一边长为15 cm，AB＞BC，所以AB＝15 cm，所以BC＝11 cm.根据线段垂直平分线的性质可得BE＋CE＝AE＋CE＝AC，所以△BCE的周长＝BE＋CE＋BC＝26 cm.
3．解：∵∠1∶∠2＝2∶5，∴设∠1＝2x，则∠2＝5x.
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD.
∴∠B＝∠2＝5x.∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.
在△ADC中，2x＋10x＝90°，解得x＝7.5°，
∴∠ADC＝10x＝75°.
4．证明：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
(第4题)
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
又∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO＋∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠PCE＝∠PDF，,∠PEC＝∠PFD，,PE＝PF，))
∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.
5．证明：在DA上截取DH＝BD，连接EH，FH.
∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD＝DH.
∵DE平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE.
又∵DE＝DE，∴△BDE≌△HDE(SAS)．
∴BE＝HE.同理△CDF≌△HDF(SAS)，
∴CF＝HF.
在△HEF中，∵HE＋HF＞EF，∴BE＋CF＞EF.
【题型讲解】
【题型】一、 轴对称图形的识别
例1、围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【题型】二、 轴对称的性质
例2、将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和菱形位置基本一致的正方形，得到结论．
故选A．
【题型】三、求对称轴条数
例3、如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（ ）
A．2条B．4条C．6条D．8条
【答案】B
【提示】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．
【详解】解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有4条．
故选：B．
【题型】四、 镜面对称
例4、从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（ ）
A．21：05B．21：15C．20：15D．20：12
【答案】A
【提示】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称.
【详解】由图提示可得题中所给的“20∶15”与“21∶05”成轴对称，这时的时间应是21∶05，故答案选A.
【题型】五、 平面直角坐标系关于坐标轴对称点的坐标特征
例5、在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】
点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），故选：D．
轴对称（达标训练）
一、单选题
1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项正确；
B、是轴对称图形，本选项错误；
C、是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日~2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．
3．下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
4．如图是一些青岛学校的校徽图案，下列图案（不包括数字和学校名字）中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解．
【详解】解：选项，不能找到一条直线，使图形沿直线对折后两部分重合，故不是轴对称图性，不符合题意；
选项，不能找到一条直线，使图形沿直线对折后两部分重合，故不是轴对称图性，不符合题意；
选项，不能找到一条直线，使图形沿直线对折后两部分重合，故不是轴对称图性，不符合题意；
选项，能找到这样一条直线，沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图性，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义是解题的关键．
5．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据轴对称和中心对称的定义及性质直接判断即可．
【详解】解：A选项旋转 度后与原图不重合，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B选项不是轴对称图形，故B不符合题意；
C选项旋转度后与原图重合，是中心对称图形，同时也是轴对称图形，故C选项符合题意；
D选项旋转度后与原图不重合，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查轴对称和中心对称的判断，解题关键是熟知轴对称和中心对称定义及性质．
6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
7．如图，在的正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用轴对称图形的定义有3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，然后根据概率公式可计算出新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率．
【详解】解：共有13种等可能的情况，其中5处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，如图，
所以涂黑任意一个白色的小正方形(每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同)，使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率
故选：B
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数，也考查了轴对称图形．
8．点关于轴的对称点为，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．．
【答案】B
【分析】首先根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得P点坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：∵点P关于x轴的对称点的坐标是，
∴，
∴点P关于y轴的对称点的坐标为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
二、填空题
9．如图，在四边形中，平分，，，，则的长为______．
【答案】
【分析】把沿翻折得，作于点．根据轴对称的性质和线段垂直平分线的性质，分别求得和的长，根据勾股定理求得的长即可．
【详解】解：平分，
把沿翻折得，如图，
，，
作于点，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是巧妙构造辅助线来求解．
三、解答题
10．图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上．
(1)在图①中确定格点，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形．
(2)在图②中确定格点，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用中心对称图形和轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可；
（2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可．
【详解】（1）如图①所示：
四边形即为所求；
（2）如图②所示：
四边形即为所求．
【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握中心对称和轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
轴对称（提升测评）
一、单选题
1．下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．
2．如图，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）
A．2.4B．4C．4.8D．5
【答案】C
【分析】由题意可以把Q反射到AB的O点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．
【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，
∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，
∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，
∵，
∴CM=，即PC+PQ的最小值为 ，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，若将△ACB沿对角线AC翻折得到△ACE，连接ED，则图中与∠CAD度数一定相等（除∠CAD外）的角的个数有（ ）
A．2个B．4个C．5个D．7个
【答案】B
【分析】设AD与CE交于点O，由平行四边形的性质和折叠的性质得到证明△AOE≌△COD，△OAC和△OED都是等腰三角形即可得到答案．
【详解】解：设AD与CE交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠ODC，，BC=AD，
∴∠CAD=∠ACB，
由折叠的性质可得：AE=AB，∠B=∠AEO，BC=CE，
∴AE=CD，∠AEO=∠CDO，AD=CE，
又∵∠AOE=∠COD，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OD=OE，
∴OA=OC，
∴∠CAD=∠ACO，∠OED=∠ODE，
∵∠AOC=∠EOD，
∴∠OED+∠ODE=∠OAC+∠OCA，
∴∠CAD=∠ACO=∠OED=∠ODE，
∴与∠CAD度数一定相等的角的个数为4个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明出△AOE≌△COD是解题的关键．
4．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5．如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接现在有如下四个结论：；；③；其中结论正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】①正确．证明,得到，结合可得结果．
②错误．可以证明，不是等边三角形，可得结论．
③正确．证明，即可．
④错误．证明，求出的面积即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
由翻折可知：，，，，
，，，
∴，
，，
，故正确，
设，
在中，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
易知不是等边三角形，显然，故错误，
，
，
，
，，
，
，故正确，
，：：，
∴，
，故正确，
故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．如图，是的直径，，点在上，是的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据动点最值，将军饮马模型，如图所示，作点关于的对称点，连接交于，周长为，由对称性知周长为，根据两点之间线段最短可知周长的最小为，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：作点关于的对称点，则点在上，连接交于，
由对称性知，
周长为，
根据两点之间线段最短可知周长的最小为，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∵，
∴周长的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
7．如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（ ）
A．是等腰三角形，B．折叠后和一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．和一定是全等三角形
【答案】B
【分析】根据矩形及折叠得到，，，，即可得到，，即可判断A，B，C，D．
【详解】解：∵四边形是矩形，且沿对角线折叠，
∴，，，，
∴，
∴，
∴A，C，D正确，
故选B，
．
【点睛】本题考查矩形的折叠，等腰三角形的判定，三角形全等的判定，解题的关键是根据折叠得到全等．
8．如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接 并延长交于P，则此时，的值最大，且的最大值为，根据全等三角形的性质得到，，得到，过M作于N，得到四边形是矩形，得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在矩形中，，，
，
连接并延长交于，
则此时，的最大，且的最大值为，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴
过作于，
四边形是矩形，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
9．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连接，若，，，则的长是______．
【答案】2
【分析】利用折叠的性质，以及平行四边形的性质，得到，分别解，，，即可得解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∵将沿着所在的直线折叠得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形．熟练掌握平行四边形和折叠的性质，得到，是解决本题的关键．
三、解答题
10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；
(2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
(3)如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后的对应点的坐标．
【答案】(1)画图见详解，点坐标为：
(2)画图见详解，点坐标为：
(3)的坐标为：．
【分析】（1）利用关于轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出点坐标变化规律即可．
【详解】（1）如图所示：，即为所求，
点坐标为：；
（2）如图所示：，即为所求，
点坐标为：；
（3）如果点在线段上，经过的变化后的对应点的坐标：
【点睛】此题主要考查了轴对称变换、位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．