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专题33 概率 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用）
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这是一份专题33 概率 备战2024年中考数学一轮复习考点题型全归纳与分层精练（全国通用），文件包含专题33概率原卷版docx、专题33概率解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
技巧1：概率应用的四种求法
技巧2：利用概率判断游戏规则的公平性
【题型】一、判断事件发生可能性的大小
【题型】二、简单概率计算
【题型】三、用列举法求概率
【题型】四、判断游戏公平性
【题型】五、用频率估计概率
【考纲要求】
1.了解事件的有关概念及分类．
2.理解概率的概念，并会用列表、画树状图法求简单事件发生的概率．
3.学会用频率估计概率，并会用概率解决实际问题.
【考点总结】一、事件的有关概念
1．必然事件：
在现实生活中一定会发生的事件称为必然事件．
2．不可能事件：
在现实生活中一定不会发生的事件称为不可能事件．
3．不确定事件：
在现实生活中，有可能发生，也有可能不发生的事件称为不确定事件．
4．分类：事件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(确定事件\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(必然事件,不可能事件)),不确定事件))
【考点总结】二、用列举法求概率
1．在不确定事件中，一件事发生的可能性大小叫做这个事件的概率．
2．适用条件：
(1)可能出现的结果为有限多个；
(2)各种结果发生的可能性相等．
3．求法：
(1)利用列表或画树状图的方法列举出所有机会均等的结果；
(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；
(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．
【考点总结】三、利用频率估计概率
1．适用条件：
当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．
2．方法：
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
【考点总结】四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．
【技巧归纳】
技巧1：概率应用的四种求法
【类型】一：用公式法求概率
1．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于eq \f(1,3)，问至少取出了多少个黑球？
【类型】二：用列表法求概率
2．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成如下不完整的统计图表：
请根据以上信息回答下列问题：
(第2题)
(1)分别求出统计表中的x，y的值；
(2)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；
(3)从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树形图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．
【类型】三：用画树形图法求概率
3．体育课上，小明、小强、小华三人在踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
(1)如果从小强开始踢，经过两次踢球后，足球踢到了小华处的概率是多少？
(2)如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由．
【类型】四：用频率估算法求概率
4．一只不透明的袋子中装有4个球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个球上数字之和．记录后都将球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
答案
1．解：(1)P(摸出一个球是黄球)＝eq \f(5,5＋13＋22)＝eq \f(1,8).
(2)设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，由题意得eq \f(5＋x,5＋13＋22)≥eq \f(1,3)，解得x≥eq \f(25,3).∵x为正整数，∴x最小取9.
则至少取出了9个黑球．
2．解：(1)由题中图表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%＝50(人)，
则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%＝30(人)，所以x＝30－(12＋7)＝11，y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.
(2)由样本数据可知“优秀”档次所占的比例是eq \f(3＋1,50)＝0.08＝8%.
所以，估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数为400×8%＝32(人)．
(3)用A，B，C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读本数是9的学生，列表如下：
由列表可知，共有12种等可能的情况，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种．所以，抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率P＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
3．解：(1)画树形图如图：
[第3(1)题]
∴P(足球踢到小华处)＝eq \f(1,4).
(2)应从小明开始踢．理由如下，画树形图如图：
[第3(2)题]
若从小明开始踢，P(踢到小明处)＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4)，同理，若从小强开始踢，P(踢到小明处)＝eq \f(3,8)，若从小华开始踢，P(踢到小明处)＝eq \f(3,8).故应从小明开始踢．
4．解：(1)出现“和为7”的概率约为0.33；
(2)列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能的结果，由(1)可知，出现“和为7”的概率约为0.33，∴“和为7”出现的次数约为0.33×12＝3.96≈4.若2＋x＝7，则x＝5，符合题意，若3＋x＝7，则x＝4，不合题意．若4＋x＝7，则x＝3，不合题意．∴x＝5.
技巧2：利用概率判断游戏规则的公平性
【类型】一：利用概率判断摸球游戏的公平性
1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．
(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树形图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【类型】二：利用概率判断转盘游戏的公平性
2．如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等(若指针恰好落在分界线上则重转)．【导学号：89274041】
(1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转________度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；
(2)现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢(赢的一方先看)，游戏规则是：姐妹俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请利用树形图或列表法说明理由．
(第2题)
【类型】三：利用概率判断统计事件的公平性
3．近年来，我国持续的大面积的雾霾天气让环境和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中作了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级；A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
(第3题)
对雾霾天气了解程度的统计表：
请结合统计图表，回答下列问题：
(1)本次参与调查的学生共有________人，n＝________；
(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是________度；
(3)请补全条形统计图；
(4)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树形图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
答案
1．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
(2)画树形图如图：
(第1题)
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).
(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，
∴P(甲胜)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，P(乙胜)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).∴P(甲胜)＝P(乙胜)，
∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．
2．解：(1)90
(2)列表如下：
由表可知共有16种等可能的结果，且指针所指扇形上的数字之积为偶数的有12种，奇数的有4种，则指针所指扇形上的数字之积为偶数的概率是eq \f(12,16)＝eq \f(3,4)，指针所指扇形上的数字之积为奇数的概率是eq \f(4,16)＝eq \f(1,4)，则游戏不公平．
3．解：(1)400；35%
(2)126
(3)调查的结果为D等级的人数为：400×35%＝140，
故补全的条形统计图如图所示，
[第3(3)题]
(4)由题意可得，画树形图如图所示，
[第3(4)题]
∴P(数字和为奇数)＝eq \f(8,12)＝eq \f(2,3)，
P(数字和为偶数)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).
故游戏规则不公平．
【题型讲解】
【题型】一、判断事件发生可能性的大小
例1、下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和为540°
B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的
D．太阳从西方升起
【答案】C
【提示】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件．
【详解】
解：A．任意一个五边形的外角和等于540，属于不可能事件，不合题意；
B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件，不合题意；
C. 13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的，属于必然事件，符合题意；
D．太阳从西方升起，属于不可能事件，不合题意；
故选：C．
例2、下列事件中是不可能事件的是( )
A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨
【答案】C
【提示】
不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】
解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；
C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；
D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；
故选C.
【题型】二、简单概率计算
例3、一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】
解：摸到红球的概率为：．
故选D．
例4、四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【提示】
由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，
∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：．
故选：C．
例5、已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A．0.75B．0.625C．0.5D．0.25
【答案】A
【提示】
根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．
【详解】
解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为=0.75，
故选A.
例6、现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；
2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，
所以能构成三角形的概率是，
故选：B．
【题型】三、用列举法求概率
例7、不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】
先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．
【详解】
解：画树状图如下：
所以共4种情况：其中满足题意的有两种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是
故选C．
例8、将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为．
故选：A．
例9、现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】
解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为．
故选：B．
【题型】四、判断游戏公平性
例10、小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于，，，则小伟胜：若所得数值等于，，，则小梅胜
（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率
（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性
【答案】（1）P（小伟胜）＝，P（小梅胜）＝；（2）游戏不公平；修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．
【提示】
（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；
（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，利用差的绝对值的形式，使两人获胜的概率相等即可．
【详解】
解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，
∴P（小伟胜）＝＝，P（小梅胜）＝＝，
答：小伟胜的概率是，小梅胜的概率是；
（2）∵≠，
∴游戏不公平；
根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，
于是修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜，这样小伟、小梅获胜的概率均为．
【题型】五、用频率估计概率
例11、为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（ ）
A．0.25B．0.3C．25D．30
【答案】B
【提示】
先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．
【详解】
由图知，八年级（3）班的全体人数为：（人）
选择“5G时代”的人数为：30人
∴选择“时代”的频率是：
故选：B．
例12、为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32B．0.55C．0.68D．0.87
【答案】C
【提示】
先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】
解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
例13、如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】
假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得．
故选：B．
概率（达标训练）
一、单选题
1．下列所给的事件中，是必然事件的是（ ）
A．某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天．
B．正方形的对角线互相垂直
C．某抽奖活动的中奖概率是，那么连续抽10次，必然会中奖．
D．2023年的元旦顺德会下雪．
【答案】B
【分析】根据对必然事件的概念，即可求解．
【详解】解：A、某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直，是必然事件，故本选项符合题意；
C、某抽奖活动的中奖概率是，那么连续抽10次，必然会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、2023年的元旦顺德会下雪，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
2．县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为，下列理解正确的是（ ）
A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大
B．明天千岛湖镇有的地方会下雨
C．明天千岛湖镇全天有的时间会下雨
D．明天千岛湖镇一定会下雨
【答案】A
【分析】概率是表示事件发生可能性大小的量，据此解得此题即可．
【详解】解：千岛湖镇明天下雨概率是，表示千岛湖镇明天下雨的可能性很大，但不是将有的地方下雨，不是的时间下雨，也不是明天肯定下雨，
故选：A．
【点睛】此题考查概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
3．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水滴石穿D．百发百中
【答案】B
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；
D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．
4．如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光，下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合4个开关B．只闭合3个开关C．只闭合2个开关D．闭合1个开关
【答案】C
【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
【详解】解：A、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
B、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
C、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
D、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件的分类，正确判断小灯泡能否发光是解题的关键．
5．袋子中装有个红球、个绿球，从袋子中随机摸出一个球，是绿球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据概率公式直接计算即可求解．
【详解】解：袋子中装有个红球、个绿球，从袋子中随机摸出一个球，是绿球的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
6．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向红色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．
【详解】解：圆被等分成份，其中红色部分占份，
落在阴影区域的概率．
故选：B．
【点睛】此题考查几何概率问题，关键是根据概率相应的面积与总面积之比解答．
7．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有名同学报名参加．现从这名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：这名同学中随机选取一名志愿者，共有6种等可能出现的情况，其中被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学出现的情况共2种，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
8．宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题是排序古诗相当于简单随机事件中的“不放回”事件，求出总的可能为24，第一次调整可能占其中一种，第一次就调整正确的可能性大小是．
【详解】解：这首诗四句随机排列的顺序共有24种情况：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，④②③①，④③①②，④③②①因为这24种情况出现的可能性大小相等，正确的顺序只有一种④②①③，
故第一次就调整正确的可能性大小是．
故答案选：C
【点睛】本题是考查等可能概型的概率计算公式计算概率，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．当出现可能结果多种时，用树状图辅助列出所有可能出现的结果．
9．下列事件是随机事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放《中国机长》
B．白发三千丈，缘愁似个长
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．钝角三角形的内角和大于
【答案】A
【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可得到答案．
【详解】解：A、打开电视，正在播放《中国机长》，是随机事件，符合题意，选项正确；
B、白发三千丈，缘愁似个长，是不可能事件，不符合题意，选项错误；
C、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，不符合题意，选项错误；
D、钝角三角形的内角和大于，是不可能事件，不符合题意，选项错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解题关键．
二、填空题
10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是_______.（精确到0.01）
【答案】0.83
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.83左右即可得出结论．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83．
故答案为：0.83．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
11．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______
【答案】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果和能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种，
∴能让两灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
12．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．
(1)根据给出的信息，补全两幅统计图；
(2)该校九年级有名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会米比赛．预赛分别为三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
【答案】(1)图示见详解
(2)名
(3)
【分析】（1）根据良好的人数与百分比可求出总人数，合格人数，以及合格的百分比，优秀的百分比，由此即可求解；
（2）计算出良好及以上的百分比，由此即可求解；
（3）用树状图表示出所有可能的结果，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果，根据概率计算公式即可求解．
【详解】（1）解：调查的总人数为（人），
∴合格等级的人数为（人），
∴合格等级人数所占的百分比为，优秀等级人数所占的百分比为，
∴统计图如图所示，
（2）解：（名），
∴估计成绩达到良好及以上等级的有名．
（3）解：画树状图如下所示，
共有种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为，
∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．
【点睛】本题主要考查统计图，概率的计算的综合，掌握数据的统计中样本容量，样本百分比的关系，根据概率估算总体的知识，概率的计算方法是解题的关键．
13．某学校准备组织学生参加唱歌、舞蹈、书法、朗诵活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的总人数为______，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角的度数为______．
(2)若该校有1400名学生，估计选择参加“书法”的有多少人？
(3)学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中随机选取两人当正式活动的主持人，利用画树状图法或列表法求选取的两人恰为一男一女的概率．
【答案】(1)200人，
(2)人
(3)
【分析】（1）先求出抽样调查的总人数，再求出参加“舞蹈”的抽样学生的人数，即可求解；
（2）用总人数乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：抽样调查的总人数为，
参加“舞蹈”的抽样学生有（人），
扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角的度数为．
（2）解：选择参加“书法”的有（人）．
（3）解：记两名男生分别为，两名女生分别为，列表如下：
由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种，
∴选取的两人恰为一男一女的概率．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
概率（提升测评）
一、单选题
1．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．
【详解】解：设正六边形边长为a，过作于，过作于，如图所示：
正六边形的内角为，
在中，，则，
，
在中，，则，
则灰色部分面积为，
白色区域面积为，
所以正六边形面积为两部分面积之和为，
飞镖落在白色区域的概率，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．
2．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意列出树状图得出所有等情况数，符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下：
所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种，
所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是
故选B
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．如图，点D在的边上，连接，点P的位置如图所示，在图中随机选择一个三角形，则点P在选择的三角形内部的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先找到图中一共有3个三角形，再找到符合要求的三角形有2个，即可求出概率．
【详解】解：∵图干图形中，三角形有、、，则点P在、内部
∴P（点P在选择的三角形内部的概率）=
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．现有3包同一品牌的饼干，其中2包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，2包都过期的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把1包不过期的饼干记为A，2包已过期的饼干记为B、 C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，两包都过期的结果有2种，
∴两包都不过期的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：∵设正方形的边长为a，
∴⊙O的半径为，
∴S圆＝×（a）2，
S正方形＝a2，
∴在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）＝．
6．孔明给弟弟买了一些糖果，放到一个不透明的袋子里，这些糖果除了口味和外包装的颜色外其余都相同，袋子里各种口味糖果的数量统计如图所示，他让弟弟从袋子里随机摸出一颗糖果．则弟弟恰好摸到苹果味糖果的概率是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据条形统计图得到弟弟摸到的所有可能数和摸到苹果味糖果的可能数，然后运用概率公式计算即可．
【详解】解：弟弟摸到的所有可能数为3+3+5+4=15，摸到苹果味糖果的可能数4
所以弟弟恰好摸到苹果味糖果的概率是．
故选D．
【点睛】本题主要考查了统计与概率中概率的求法，确定弟弟摸到的所有可能数和摸到苹果味糖果的可能数是解答本题的关键．
7．在一个不透明的口袋中装有 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．1 个B．1 个C．1 个D．1 个
【答案】D
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴，
解得：，
经检验x=12是原方程的根，
故白球的个数为12个．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
8．4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设合格产品记为，，，不合格产品记为B，然后画树状图先找出所有等可能性的结果数，找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】设三件合格产品记为，，，不合格产品记为B，
画出树状图如下：
由上可得，一共有12种等可能性，其中抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的可能性有6种，
∴抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率为．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．
9．如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：D．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（ ）
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D．游戏者配成紫色的概率为
【答案】D
【分析】根据概率的意义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．
【详解】解：A．A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；
C．由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
D．画树状图如下：
由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
故选：D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
11．现有张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除了数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，将该卡片上的数字记为，放回后再洗匀并随机抽取一张，将该卡片上的数字记为，则满足方程的解是负数的概率为________．
【答案】
【分析】由列表法得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
∴共有种等可能性结果，其中满足方程的解是负数的有，，，，，共5种情况．
故满足方程的解是负数的概率为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法求概率．解题关键是得到所有情况后准确找到满足条件的情况．
12．如图，A、B是正方形网格中的两个格点，在格点上任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率是______．
【答案】##0.24
【分析】根据题意，找出恰好能使的面积为1的所有格点即可算出概率；
【详解】解：如图，恰好能使的面积为1的格点有6个；
∴在格点上任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查简单概率的计算，解题的关键在于找到恰好能使的面积为1的所有格点．
三、解答题
13．为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A.主题征文，B.书法绘画，C.红歌传唱，D.经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______；
(2)学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率．
【答案】(1)40，；
(2)．
【分析】（1）由C类型人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A类型人数所占比例即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）总人数（人），
A类型人数（人）
扇形统计图中A部分圆心角的度数为，
故答案为40，；
（2）将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4.
根据题意，列表如下：
如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种，
恰好选中2班和3班的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
14．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)①400；②图见解析③54
(2)参加组（阅读）的学生人数为980人
(3)恰好抽中甲、乙两人的概率为
【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可；
（2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【详解】（1）解：①（人）；
故答案为：；
②参加组的学生人数为：（人）；
参加组的学生人数为：（人）；
补全条形图如下：
③；
故答案为：54；
（2）解：（人）；
答：参加组（阅读）的学生人数为980人．
（3）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种，
∴；
答：恰好抽中甲、乙两人的概率为．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
阅读本数
n/本
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数/人
1
2
6
7
12
x
7
y
1
摸球总
次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出
现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出
现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
A
B
C
D
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
甲和乙
2
3
4
x
2
/
5
6
2＋x
3
5
/
7
3＋x
4
6
7
/
4＋x
x
x＋2
x＋3
x＋4
/
对雾霾天气的了解程度
百分比
A.非常了解
5%
B.比较了解
15%
C.基本了解
45%
D.不了解
n
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
黄
红
红
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
白
（黄，白）
（红，白）
（红，白）
身高
人数
60
260
550
130
射击次数
20
80
100
200
400
800
1000
射中九环以上次数
18
68
82
166
330
664
832
射中九环以上的频率
0.90
0.85
0.82
0.83
0.825
0.83
0.832
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
班级
1
2
3
4
1
2
3
4
甲
乙
丙
丁
甲
甲，乙
甲，丙
甲，丁
乙
乙，甲
乙，丙
乙，丁
丙
丙，甲
丙，乙
丙，丁
丁
丁，甲
丁，乙
丁，丙
技巧1：概率应用的四种求法
技巧2：利用概率判断游戏规则的公平性
【题型】一、判断事件发生可能性的大小
【题型】二、简单概率计算
【题型】三、用列举法求概率
【题型】四、判断游戏公平性
【题型】五、用频率估计概率
【考纲要求】
1.了解事件的有关概念及分类．
2.理解概率的概念，并会用列表、画树状图法求简单事件发生的概率．
3.学会用频率估计概率，并会用概率解决实际问题.
【考点总结】一、事件的有关概念
1．必然事件：
在现实生活中一定会发生的事件称为必然事件．
2．不可能事件：
在现实生活中一定不会发生的事件称为不可能事件．
3．不确定事件：
在现实生活中，有可能发生，也有可能不发生的事件称为不确定事件．
4．分类：事件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(确定事件\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(必然事件,不可能事件)),不确定事件))
【考点总结】二、用列举法求概率
1．在不确定事件中，一件事发生的可能性大小叫做这个事件的概率．
2．适用条件：
(1)可能出现的结果为有限多个；
(2)各种结果发生的可能性相等．
3．求法：
(1)利用列表或画树状图的方法列举出所有机会均等的结果；
(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；
(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．
【考点总结】三、利用频率估计概率
1．适用条件：
当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．
2．方法：
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
【考点总结】四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．
【技巧归纳】
技巧1：概率应用的四种求法
【类型】一：用公式法求概率
1．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于eq \f(1,3)，问至少取出了多少个黑球？
【类型】二：用列表法求概率
2．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成如下不完整的统计图表：
请根据以上信息回答下列问题：
(第2题)
(1)分别求出统计表中的x，y的值；
(2)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；
(3)从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树形图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．
【类型】三：用画树形图法求概率
3．体育课上，小明、小强、小华三人在踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
(1)如果从小强开始踢，经过两次踢球后，足球踢到了小华处的概率是多少？
(2)如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由．
【类型】四：用频率估算法求概率
4．一只不透明的袋子中装有4个球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个球上数字之和．记录后都将球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
答案
1．解：(1)P(摸出一个球是黄球)＝eq \f(5,5＋13＋22)＝eq \f(1,8).
(2)设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，由题意得eq \f(5＋x,5＋13＋22)≥eq \f(1,3)，解得x≥eq \f(25,3).∵x为正整数，∴x最小取9.
则至少取出了9个黑球．
2．解：(1)由题中图表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%＝50(人)，
则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%＝30(人)，所以x＝30－(12＋7)＝11，y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.
(2)由样本数据可知“优秀”档次所占的比例是eq \f(3＋1,50)＝0.08＝8%.
所以，估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数为400×8%＝32(人)．
(3)用A，B，C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读本数是9的学生，列表如下：
由列表可知，共有12种等可能的情况，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种．所以，抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率P＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
3．解：(1)画树形图如图：
[第3(1)题]
∴P(足球踢到小华处)＝eq \f(1,4).
(2)应从小明开始踢．理由如下，画树形图如图：
[第3(2)题]
若从小明开始踢，P(踢到小明处)＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4)，同理，若从小强开始踢，P(踢到小明处)＝eq \f(3,8)，若从小华开始踢，P(踢到小明处)＝eq \f(3,8).故应从小明开始踢．
4．解：(1)出现“和为7”的概率约为0.33；
(2)列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能的结果，由(1)可知，出现“和为7”的概率约为0.33，∴“和为7”出现的次数约为0.33×12＝3.96≈4.若2＋x＝7，则x＝5，符合题意，若3＋x＝7，则x＝4，不合题意．若4＋x＝7，则x＝3，不合题意．∴x＝5.
技巧2：利用概率判断游戏规则的公平性
【类型】一：利用概率判断摸球游戏的公平性
1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．
(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树形图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【类型】二：利用概率判断转盘游戏的公平性
2．如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等(若指针恰好落在分界线上则重转)．【导学号：89274041】
(1)图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转________度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；
(2)现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢(赢的一方先看)，游戏规则是：姐妹俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请利用树形图或列表法说明理由．
(第2题)
【类型】三：利用概率判断统计事件的公平性
3．近年来，我国持续的大面积的雾霾天气让环境和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中作了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级；A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
(第3题)
对雾霾天气了解程度的统计表：
请结合统计图表，回答下列问题：
(1)本次参与调查的学生共有________人，n＝________；
(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是________度；
(3)请补全条形统计图；
(4)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树形图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
答案
1．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
(2)画树形图如图：
(第1题)
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).
(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，
∴P(甲胜)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，P(乙胜)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).∴P(甲胜)＝P(乙胜)，
∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．
2．解：(1)90
(2)列表如下：
由表可知共有16种等可能的结果，且指针所指扇形上的数字之积为偶数的有12种，奇数的有4种，则指针所指扇形上的数字之积为偶数的概率是eq \f(12,16)＝eq \f(3,4)，指针所指扇形上的数字之积为奇数的概率是eq \f(4,16)＝eq \f(1,4)，则游戏不公平．
3．解：(1)400；35%
(2)126
(3)调查的结果为D等级的人数为：400×35%＝140，
故补全的条形统计图如图所示，
[第3(3)题]
(4)由题意可得，画树形图如图所示，
[第3(4)题]
∴P(数字和为奇数)＝eq \f(8,12)＝eq \f(2,3)，
P(数字和为偶数)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).
故游戏规则不公平．
【题型讲解】
【题型】一、判断事件发生可能性的大小
例1、下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意一个五边形的外角和为540°
B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的
D．太阳从西方升起
【答案】C
【提示】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件．
【详解】
解：A．任意一个五边形的外角和等于540，属于不可能事件，不合题意；
B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件，不合题意；
C. 13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的，属于必然事件，符合题意；
D．太阳从西方升起，属于不可能事件，不合题意；
故选：C．
例2、下列事件中是不可能事件的是( )
A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨
【答案】C
【提示】
不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】
解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；
C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；
D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；
故选C.
【题型】二、简单概率计算
例3、一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】
解：摸到红球的概率为：．
故选D．
例4、四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【提示】
由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，
∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：．
故选：C．
例5、已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（ ）
A．0.75B．0.625C．0.5D．0.25
【答案】A
【提示】
根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．
【详解】
解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为=0.75，
故选A.
例6、现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；
2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，
所以能构成三角形的概率是，
故选：B．
【题型】三、用列举法求概率
例7、不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】
先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．
【详解】
解：画树状图如下：
所以共4种情况：其中满足题意的有两种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是
故选C．
例8、将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为．
故选：A．
例9、现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】
解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为．
故选：B．
【题型】四、判断游戏公平性
例10、小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于，，，则小伟胜：若所得数值等于，，，则小梅胜
（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率
（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性
【答案】（1）P（小伟胜）＝，P（小梅胜）＝；（2）游戏不公平；修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．
【提示】
（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；
（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，利用差的绝对值的形式，使两人获胜的概率相等即可．
【详解】
解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，
∴P（小伟胜）＝＝，P（小梅胜）＝＝，
答：小伟胜的概率是，小梅胜的概率是；
（2）∵≠，
∴游戏不公平；
根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，
于是修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜，这样小伟、小梅获胜的概率均为．
【题型】五、用频率估计概率
例11、为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（ ）
A．0.25B．0.3C．25D．30
【答案】B
【提示】
先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．
【详解】
由图知，八年级（3）班的全体人数为：（人）
选择“5G时代”的人数为：30人
∴选择“时代”的频率是：
故选：B．
例12、为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32B．0.55C．0.68D．0.87
【答案】C
【提示】
先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】
解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
例13、如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】
假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得．
故选：B．
概率（达标训练）
一、单选题
1．下列所给的事件中，是必然事件的是（ ）
A．某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天．
B．正方形的对角线互相垂直
C．某抽奖活动的中奖概率是，那么连续抽10次，必然会中奖．
D．2023年的元旦顺德会下雪．
【答案】B
【分析】根据对必然事件的概念，即可求解．
【详解】解：A、某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直，是必然事件，故本选项符合题意；
C、某抽奖活动的中奖概率是，那么连续抽10次，必然会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、2023年的元旦顺德会下雪，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
2．县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为，下列理解正确的是（ ）
A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大
B．明天千岛湖镇有的地方会下雨
C．明天千岛湖镇全天有的时间会下雨
D．明天千岛湖镇一定会下雨
【答案】A
【分析】概率是表示事件发生可能性大小的量，据此解得此题即可．
【详解】解：千岛湖镇明天下雨概率是，表示千岛湖镇明天下雨的可能性很大，但不是将有的地方下雨，不是的时间下雨，也不是明天肯定下雨，
故选：A．
【点睛】此题考查概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
3．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水滴石穿D．百发百中
【答案】B
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；
D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．
4．如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光，下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合4个开关B．只闭合3个开关C．只闭合2个开关D．闭合1个开关
【答案】C
【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．
【详解】解：A、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
B、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
C、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
D、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件的分类，正确判断小灯泡能否发光是解题的关键．
5．袋子中装有个红球、个绿球，从袋子中随机摸出一个球，是绿球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据概率公式直接计算即可求解．
【详解】解：袋子中装有个红球、个绿球，从袋子中随机摸出一个球，是绿球的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
6．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向红色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．
【详解】解：圆被等分成份，其中红色部分占份，
落在阴影区域的概率．
故选：B．
【点睛】此题考查几何概率问题，关键是根据概率相应的面积与总面积之比解答．
7．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有名同学报名参加．现从这名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：这名同学中随机选取一名志愿者，共有6种等可能出现的情况，其中被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学出现的情况共2种，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
8．宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题是排序古诗相当于简单随机事件中的“不放回”事件，求出总的可能为24，第一次调整可能占其中一种，第一次就调整正确的可能性大小是．
【详解】解：这首诗四句随机排列的顺序共有24种情况：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，④②③①，④③①②，④③②①因为这24种情况出现的可能性大小相等，正确的顺序只有一种④②①③，
故第一次就调整正确的可能性大小是．
故答案选：C
【点睛】本题是考查等可能概型的概率计算公式计算概率，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．当出现可能结果多种时，用树状图辅助列出所有可能出现的结果．
9．下列事件是随机事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放《中国机长》
B．白发三千丈，缘愁似个长
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．钝角三角形的内角和大于
【答案】A
【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可得到答案．
【详解】解：A、打开电视，正在播放《中国机长》，是随机事件，符合题意，选项正确；
B、白发三千丈，缘愁似个长，是不可能事件，不符合题意，选项错误；
C、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，不符合题意，选项错误；
D、钝角三角形的内角和大于，是不可能事件，不符合题意，选项错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解题关键．
二、填空题
10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是_______.（精确到0.01）
【答案】0.83
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.83左右即可得出结论．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83．
故答案为：0.83．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
11．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______
【答案】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果和能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种，
∴能让两灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
12．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．
(1)根据给出的信息，补全两幅统计图；
(2)该校九年级有名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会米比赛．预赛分别为三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
【答案】(1)图示见详解
(2)名
(3)
【分析】（1）根据良好的人数与百分比可求出总人数，合格人数，以及合格的百分比，优秀的百分比，由此即可求解；
（2）计算出良好及以上的百分比，由此即可求解；
（3）用树状图表示出所有可能的结果，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果，根据概率计算公式即可求解．
【详解】（1）解：调查的总人数为（人），
∴合格等级的人数为（人），
∴合格等级人数所占的百分比为，优秀等级人数所占的百分比为，
∴统计图如图所示，
（2）解：（名），
∴估计成绩达到良好及以上等级的有名．
（3）解：画树状图如下所示，
共有种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为，
∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．
【点睛】本题主要考查统计图，概率的计算的综合，掌握数据的统计中样本容量，样本百分比的关系，根据概率估算总体的知识，概率的计算方法是解题的关键．
13．某学校准备组织学生参加唱歌、舞蹈、书法、朗诵活动，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的总人数为______，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角的度数为______．
(2)若该校有1400名学生，估计选择参加“书法”的有多少人？
(3)学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中随机选取两人当正式活动的主持人，利用画树状图法或列表法求选取的两人恰为一男一女的概率．
【答案】(1)200人，
(2)人
(3)
【分析】（1）先求出抽样调查的总人数，再求出参加“舞蹈”的抽样学生的人数，即可求解；
（2）用总人数乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：抽样调查的总人数为，
参加“舞蹈”的抽样学生有（人），
扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角的度数为．
（2）解：选择参加“书法”的有（人）．
（3）解：记两名男生分别为，两名女生分别为，列表如下：
由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种，
∴选取的两人恰为一男一女的概率．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
概率（提升测评）
一、单选题
1．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．
【详解】解：设正六边形边长为a，过作于，过作于，如图所示：
正六边形的内角为，
在中，，则，
，
在中，，则，
则灰色部分面积为，
白色区域面积为，
所以正六边形面积为两部分面积之和为，
飞镖落在白色区域的概率，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．
2．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意列出树状图得出所有等情况数，符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下：
所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种，
所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是
故选B
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．如图，点D在的边上，连接，点P的位置如图所示，在图中随机选择一个三角形，则点P在选择的三角形内部的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】先找到图中一共有3个三角形，再找到符合要求的三角形有2个，即可求出概率．
【详解】解：∵图干图形中，三角形有、、，则点P在、内部
∴P（点P在选择的三角形内部的概率）=
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．现有3包同一品牌的饼干，其中2包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，2包都过期的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把1包不过期的饼干记为A，2包已过期的饼干记为B、 C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，两包都过期的结果有2种，
∴两包都不过期的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：∵设正方形的边长为a，
∴⊙O的半径为，
∴S圆＝×（a）2，
S正方形＝a2，
∴在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）＝．
6．孔明给弟弟买了一些糖果，放到一个不透明的袋子里，这些糖果除了口味和外包装的颜色外其余都相同，袋子里各种口味糖果的数量统计如图所示，他让弟弟从袋子里随机摸出一颗糖果．则弟弟恰好摸到苹果味糖果的概率是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据条形统计图得到弟弟摸到的所有可能数和摸到苹果味糖果的可能数，然后运用概率公式计算即可．
【详解】解：弟弟摸到的所有可能数为3+3+5+4=15，摸到苹果味糖果的可能数4
所以弟弟恰好摸到苹果味糖果的概率是．
故选D．
【点睛】本题主要考查了统计与概率中概率的求法，确定弟弟摸到的所有可能数和摸到苹果味糖果的可能数是解答本题的关键．
7．在一个不透明的口袋中装有 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．1 个B．1 个C．1 个D．1 个
【答案】D
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴，
解得：，
经检验x=12是原方程的根，
故白球的个数为12个．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
8．4件外观相同的产品中只有1件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设合格产品记为，，，不合格产品记为B，然后画树状图先找出所有等可能性的结果数，找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】设三件合格产品记为，，，不合格产品记为B，
画出树状图如下：
由上可得，一共有12种等可能性，其中抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的可能性有6种，
∴抽到的两件产品中有一件产品合格而另一件产品不合格的概率为．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．
9．如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：D．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（ ）
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D．游戏者配成紫色的概率为
【答案】D
【分析】根据概率的意义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．
【详解】解：A．A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；
C．由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
D．画树状图如下：
由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
故选：D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
11．现有张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除了数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，将该卡片上的数字记为，放回后再洗匀并随机抽取一张，将该卡片上的数字记为，则满足方程的解是负数的概率为________．
【答案】
【分析】由列表法得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
∴共有种等可能性结果，其中满足方程的解是负数的有，，，，，共5种情况．
故满足方程的解是负数的概率为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法求概率．解题关键是得到所有情况后准确找到满足条件的情况．
12．如图，A、B是正方形网格中的两个格点，在格点上任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率是______．
【答案】##0.24
【分析】根据题意，找出恰好能使的面积为1的所有格点即可算出概率；
【详解】解：如图，恰好能使的面积为1的格点有6个；
∴在格点上任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查简单概率的计算，解题的关键在于找到恰好能使的面积为1的所有格点．
三、解答题
13．为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A.主题征文，B.书法绘画，C.红歌传唱，D.经典诵读．为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)参与此次抽样调查的学生人数是_______，扇形统计图中A部分圆心角的度数是_______；
(2)学校从1班，2班，3班，4班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中2班和3班的概率．
【答案】(1)40，；
(2)．
【分析】（1）由C类型人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A类型人数所占比例即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）总人数（人），
A类型人数（人）
扇形统计图中A部分圆心角的度数为，
故答案为40，；
（2）将1班，2班，3班，4班分别记为1，2，3，4.
根据题意，列表如下：
如表，所有可能发生的结果共有12种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中2班和3班的有2种，
恰好选中2班和3班的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
14．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角______度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)①400；②图见解析③54
(2)参加组（阅读）的学生人数为980人
(3)恰好抽中甲、乙两人的概率为
【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可；
（2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可；
（3）利用列表法求出概率即可．
【详解】（1）解：①（人）；
故答案为：；
②参加组的学生人数为：（人）；
参加组的学生人数为：（人）；
补全条形图如下：
③；
故答案为：54；
（2）解：（人）；
答：参加组（阅读）的学生人数为980人．
（3）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种，
∴；
答：恰好抽中甲、乙两人的概率为．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
阅读本数
n/本
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数/人
1
2
6
7
12
x
7
y
1
摸球总
次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出
现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出
现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
A
B
C
D
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
甲和乙
2
3
4
x
2
/
5
6
2＋x
3
5
/
7
3＋x
4
6
7
/
4＋x
x
x＋2
x＋3
x＋4
/
对雾霾天气的了解程度
百分比
A.非常了解
5%
B.比较了解
15%
C.基本了解
45%
D.不了解
n
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
黄
红
红
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
红
（黄，红）
（红，红）
（红，红）
白
（黄，白）
（红，白）
（红，白）
身高
人数
60
260
550
130
射击次数
20
80
100
200
400
800
1000
射中九环以上次数
18
68
82
166
330
664
832
射中九环以上的频率
0.90
0.85
0.82
0.83
0.825
0.83
0.832
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
班级
1
2
3
4
1
2
3
4
甲
乙
丙
丁
甲
甲，乙
甲，丙
甲，丁
乙
乙，甲
乙，丙
乙，丁
丙
丙，甲
丙，乙
丙，丁
丁
丁，甲
丁，乙
丁，丙
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