苏科版数学九年级上册期末专区-专题16 圆锥侧面最短路径

专题16 圆锥侧面最短路径

1．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把圆锥的侧面展开，易得展开图是一个半圆，在平面内求出线段BD的长，则此时便是最短路线长，这只要在直角三角形中应用勾股定理解决即可．

【详解】∵圆锥的底面周长为2π

∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为，如图

∴∠BAD=90゜

∵D为AC的中点

∴

在Rt△BAD中，由勾股定理得

即最短路线长为

故选：A

【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形弧长公式，本题体现了空间问题平面化，这是一种重要的数学思想方法．

2．如图，圆锥的底面半径R＝3，母线l＝5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB＝150°，D为VB上一点，VD＝．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（　　）

A．3 B．4 C． D．2

【答案】B

【分析】易得弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．

【详解】解：如图:

∵，

∴设弧所对的圆心角的度数为n，

∴，

解得，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．

3．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．20

【答案】A

【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．

【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，

连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6，

在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，

解得AS＝10．

∵A，S两点之间线段AS最短，

∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．

故选：A．

【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

4．一圆锥体形状的圣诞帽，母线长是30cm，底面圆的直径是15cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用（       ）厘米（接口处重合部分忽略不计）

A．30πcm B．30cm C．15πcm D．1 5cm

【答案】B

【详解】试题分析：根据题意可得圆锥的展开图的圆心角=×360°=90°，则展开图为等腰直角三角形，根据勾股定理可得斜边长为30cm.

考点：圆锥的性质.

5．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为，一只小虫在圆线底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号）

【答案】6

【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．

【详解】∵底面圆的半径为，

∴圆锥的底面周长为2×＝3，

设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．

∴，

解得n＝90°，

如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，

∵∠O=90°，OA′=OA=6，

∴AA′＝．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．

6．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________．

【答案】

【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可．

【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，

侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º，

C为AD的中点SD=2，

线段AC是小虫爬行的最短距离，

在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，

故答案为：．

【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．

7．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为_____．

【答案】3．

【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．

【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝6π，

以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，

设展开后的圆心角是n°，则，

解得：n＝180，

即展开后∠BAC＝×180°＝90°，

AP＝AC＝3，AB＝6，

则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，

由勾股定理得：BP＝，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

8．圆锥的底面周长为，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为______．

【答案】1．

【详解】解：如图，连接AA′，∵底面周长为，∴弧长==，∴n=60°即∠AOA′=60°，∴∠A=60°，∵OA=OA′，∴△AOA′是等边三角形，∴AA′=2，∵PP′是△OAA′的中位线，∴PP′=AA′=1，故答案为1．

三、解答题

9．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．

（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．

（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．

【答案】（1）90°；（2）4

【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解；

（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解．

【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°；

（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．

∴是等腰直角三角形，

∵AB＝4，

∴AD＝BD＝4÷=2，

∴AC＝2AD＝4，

即这只蚂蚁爬过的最短距离4．

【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键．

10．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展平，请画出所得侧面展开图．

【答案】详见解析．

【分析】利用圆锥的性质，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．

【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，

又因为蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，

如图所示：

．

【点睛】本题考查圆锥的性质，立意相对较新，考查了学生的空间想象能力，运用到两点间线段最短定理．

11．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长．

【答案】cm

【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．

【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π，

设展开后的圆心角是n°，则，

解得：n＝180°，

则∠BAC＝×180°＝90°，

AP＝AC＝3，AB＝6，

则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，

如图，

由勾股定理得：BP＝，

答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度．

12．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？

【答案】

【分析】结合题意进行曲面展开，通过在平面扇形图中计算最短路路径问题．

【详解】如图，沿过母线AB的轴截面展开得扇形，

此时弧的长为底面圆周长的一半，故，

由，，则，

作，此时即为蚂蚁爬行的最短路径，

在中，．

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决．

13．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

【答案】

【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解．

【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的

在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，

∴由勾股定理可得母线l==80cm，

而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=.

∴n=90°

即△SAA′是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：AA'==80cm．

∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm．

【点睛】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解．

14．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，

（1）求它的侧面展开图的圆心角．

（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长

【答案】（1）它的侧面展开图的圆心角为90°；（2）BB′＝8．

【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后求出n的值即可；

（2）连接BB′，如图，根据两点之间线段对短得到BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，然后利用△ABB′为等腰直角三角形得到BB′的长．

【详解】解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，

根据题意得2πr＝，

而l＝2r，

所以2πr＝，解得n＝90，

所以它的侧面展开图的圆心角为90°；

（2）连接BB′，如图，

此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，

∵r＝4，

∴l＝2r＝8，

∵∠BAB′＝90°，

∴△ABB′为等腰直角三角形，

∴BB′＝AB＝8．

【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决．

15．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．

（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；

（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？

【答案】（1）；（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖

【分析】（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π•1，求出n即可解决问题；

（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度．

【详解】解：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C，

设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π•1，

∴n=90°，

∵SA=SF，

∴是等腰直角三角形，

∴

又，

∴=﹣8=4π﹣8．

（2）在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC， AF=，AE=2，

∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．

16．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．

（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；

（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；

（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．

【答案】（1）cm（2）cm（3）

【详解】试题分析：（1）根据侧面展开图可知蚂蚁爬的路线是AB+BC,CC1，AC1构成的直角三角形，而斜边就是最短路线，根据勾股定理可求解；

（2）根据侧面展开图可知蚂蚁爬的路线是AB+BC,CC1，AC1构成的直角三角形，或由AA1，A1B1+B1C1，AC1构成的直角三角形，而斜边就是最短路线，根据勾股定理可求解，然后比较找到最短；

（3）根据圆锥的侧面展开图，最短距离是扇形展开图的弦，因此求出弦长即可.

试题解析：解：

（1）；

（2）画图分两种情况：

①当横向剪开时：，

②当竖向剪开时：，

∵，∴最短路程为cm．

（3）如图所示：

连接AA1，过点O作OD⊥AA1于点D，

在Rt△ADO和Rt△A1DO中，

∵OA=OA1，

∴AD=A1D，∠AOD=∠AOA1=60°，

∴AD=OAsin60°=4×=2，

∴AA1=2AD=4，

∴所求的最短的路程为AA1=．

考点：立体图形的侧面展开图的应用

17．如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．

（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．

（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？

【答案】（1）圆心角为900，表面积为500πcm2；（2）甲虫走的最短路线的长度是20cm．

【分析】（1）利用圆锥的弧长等于底面周长得到圆锥的侧面展开图的圆心角；圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长；

（2）最短路线应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．

【详解】解：（1）=2π×10，

解得n=90°．

圆锥表面积=π×102+π×10×40=500πcm2．

（2）如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．

在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，

∴AB=20（cm）．

∴甲虫走的最短路线的长度是20cm．

18．如图,已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.

（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；

（2）如果A是底面圆周上一点,从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根绳子的最短长度.

【答案】（1）∠ABC=120°；（2）这根绳子的最短长度是.

【分析】（1）根据勾股定理直接求出圆锥的高，再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中∠ABC的度数即可；

（2）首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可．

【详解】

(1)圆锥的高=

底面圆的周长等于：2π×2=，

解得：n=120°；          

(2)连结AC,过B作BD⊥AC于D,则∠ABD=60°.

由AB=6，可求得BD=3，

∴AD═，

AC=2AD=，

即这根绳子的最短长度是.

【点睛】此题主要考查了圆锥的计算、勾股定理、平面展开-最短路径问题．得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点．