苏科版数学九年级上册期末专区-专题05 配方法的应用

专题05 配方法的应用

类型一  配方法求字母的值

1．已知a、b、c满足，，，则_______．

【答案】3

【解析】

【分析】

题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值．

【详解】

解：题中三个等式左右两边分别相加可得：

，

即，

∴，

∴a=3,b=-1,c=1，

∴a+b+c=3-1+1=3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．

2．已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为______．

【答案】8

【解析】

【分析】

利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．

【详解】

，

，

，

，，

边长c的范围为．

边长c的值为奇数，

，

的周长为．

故答案为8．

【点睛】

本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．

3．如果x2－4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．

【答案】（xy）z=.

【解析】

【详解】

试题分析：

观察分析可知，原式可化为：，即：，由此可求得“三个未知数”的值，再代入式子：中计算即可.

试题解析：

∵，

∴，

∴，

∴ ，解得： ，

∴.

点睛：象本题这种一个方程中含有多个“未知数”的情形，通常需先把原方程转化为：几个非负数的和等于0的形式；然后根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”列出方程组就可求出未知数的值.

4．已知，，，求的值．

【答案】3

【解析】

【详解】

试题分析：把目标代数式改写成完全平方公式，把已知代入求值.

试题解析：

，

∵，，，

代入原式

．

5．阅读理解：已知，求m 、n的值．

解：∵

∴

∴

∴

∴．

方法应用：（1）已知，求a 、b 的值；

（2）已知 ．

①用含 y 的式子表示 x ：         ；

②若，求 的值．

【答案】（1）a=5，b=2；（2）①x=4-4y；②2．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由完全平方公式进行配方，结合非负数的性质进行计算，即可得到答案；

（2）①通过移项即可得到答案；

②把x换成4-4y，配方，利用非负数的性质求解即可．

【详解】

解：（1）∵a2+b2-10a+4b+29=0，

∴（a2-10a+25）+（b2+4b+4）=0，

∴（a-5）2+（b+2）2=0，

∴（a-5）2=0，（b+2）2=0，

∴a=5，b=-2；

（2）①∵x+4y=4，

∴x=4-4y；

故答案为：x=4-4y；

②∵xy-z2-6z=10，

∴y（4-4y）-z2-6z=10，

∴4y-4y2-z2-6z=10，

∴4y2-4y+z2+6z+10=0，

∴（2y-1）2+（z+3）2=0，

∴y＝，z=-3，

∴x=2，

∴yx+z的值=()2−3=2．

【点睛】

本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．

类型二  配方法求最值

6．代数式的最小值是（       ）

A．10 B．9 C．19 D．11

【答案】A

【解析】

【分析】

把代数式根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解即可．

【详解】

解：

∵

∴代数式的最小值是10．

故选：A．

【点睛】

本题考查的知识点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值，解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式．

7．多项式的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．

【详解】

2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51

=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15

=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15

=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15

∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，

∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．

故选：C．

【点睛】

本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解答本题的关键．

8．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为_______．

【答案】4

【解析】

【分析】

用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.

【详解】

∵

∴

∴

∴当x=-1时，x+y有最大值为4

故答案为4

【点睛】

本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.

9．已知x，y都是常数，且满足，则的最小值为（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

已知等式左边变形后，分解因式得到x+y=3或x+y=-4，表示出y代入所求式子中配方即可求出最小值．

【详解】

∵

∴

令，则

∵

∴ ，即，

∴或，

当时，，

当时，有最小值.

当时，

当时，有最小值.

因为，所以的最小值为，选D.

【点睛】

本题考查配方法的应用，二次函数的最值，解一元二次方程.在解时可用整体思想，令，解z的一元二次方程.计算出z即的值有两个，需分类讨论取最小值.

10．数学课上,老师展示了这样一段内容．

问题 求式子的最小值．

解:原式:

∵,

∴,

即原式的最小值是2．

小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？

（1）小丽写出了一些二次三项式:

①;       ②;       ③;

④;       ⑤;       ⑥．

经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;

（2）小明写出了如下 3 个二次多项式:

①;

②;

③．

请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．

说明:①②③的满分分值分别为 3 分､4 分､5 分;若选多个作答,则以较低分计分．

【答案】（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为,见解析

【解析】

【分析】

（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到: ,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;

（2）①进行探究,配方后得到,无法确定最值,②进行研究,配方后得到即可,③进行研究,配方后得到即可,选择一个作答即可．

【详解】

（1）①②③⑥

①   最小值为0

② ,

∵ ,

∴,即原式最小值5;

③ ,

∵ ,∴ ,

∴,即原式有最大值为4;

④,无法确定最值;

⑤,无法确定最值;

⑥ ,

∵ ,∴,

∴,即原式有最大值为;

（2）①   无最值

②   

∵,

∴,

即原式有最小值为1

③   

,

∵,,,

∴,

即原式有最小值为．

【点睛】

本题主要考查了类比的方法,解题的关键是需要学生认真审题,总结出配方的方法,然后再用类比的方法进行解答即可．

11．阅读下面的解题过程，求的最小值．

解：∵=，

而，即最小值是0；

∴的最小值是5

依照上面解答过程，

（1）求的最小值；

（2）求的最大值．

【答案】（1）2019；（2）5．

【解析】

【分析】

(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；

（2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可；

【详解】

（1）

∵，

∴，

∴的最小值为2019；

（2）

，

∵，

∴，

∴，

∴的最大值是5.

【点睛】

本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式和偶次方的非负性是解题的关键．

12．阅读如下材料，完成下列问题：

材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：

．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．

材料二：对于实数a，b，若，则．

完成问题：

（1）求的最小值；

（2）求的最大值；

（3）若实数m，n满足．求的最大值．

【答案】（1）-5；（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）按照材料一配方即可求最值；

（2）把原式化成，求最小值即可；

（3）根据已知得到，即或，代入求最值即可．

【详解】

解：（1），因为，所以，所以，当时，原式的最小值为-5．

（2），

当取最小值时，原式最大，

由（1）可知，最小值为2，

此时的最大值为；

（3）∵，

∴，

，

或，

或，

=，

最大值是，的最大值为；

或=，

最大值是，的最大值为；

综上，的最大值为

【点睛】

本题考查了配方法求最值，解题关键是熟练运用配方法求代数式的最值．

类型三  配方法在几何图形中的应用

13． 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）

A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）

【答案】D

【解析】

【详解】

∵B在直线y=-x上，∴设B坐标为（a，-a），

则

所以，当 a=即B（，）时，AB最短,故选D.

14．如图，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB为边长向外作等边△ABM，连CM，则CM的最大值为 ________________．

【答案】##

【解析】

【分析】

过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，设AB＝x，利用勾股定理表示出BC，利用解直角三角形表示出MD，BD，再利用勾股定理求得CM的长，根据配方法利用非负数的性质即可得到CM的最大值．

【详解】

如图，过点M作MD⊥BC，交BC的延长线于点D，

设AB＝x，则，

∵△ABM是等边三角形，

∴BM＝AB＝x，∠ABM＝60°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠MBD＝30°，

∵MD⊥BC，

，

，

在Rt△MDC中，

，

，

，

，

，

∴当x2＝18时，CM有最大值，

，

∴CM的最大值为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查勾股定理以及配方法，掌握配方法求出最值是解题的关键．

15．已知点P的坐标为（2，3），A、B分别是x轴、y轴上的动点，且，C为AB的中点，当OC最小时则点B的坐标为____．

【答案】

【解析】

【分析】

利用中点坐标公式将C点坐标表示出来后，运用勾股定理得到与的关系式，再将OC的长度用含有y的式子表示出来，利用配方法即可求出当OC最小时点B的坐标．

【详解】

解：设A点坐标为，B点坐标为，则中点C点坐标为；

∵

∴

∴

化简得：

∴

将代入上式得：

变形得：

∴当时，OC最小，此时B点坐标为．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查运用配方法求解动点问题，正确理解题意、熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键，属于综合类问题．