苏科版数学九年级上册期末专区-专题04 规律探究中的二次方程

专题04 规律探究中的二次方程

1．【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．

请观察思考并完成以下表格的填写：

【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式        ．

【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．

2．数学兴趣小组的李舒和林涵两位同学用棋子摆图形探究规律．若两人都按照各自的规律继续摆下去，请回答下列问题：

如图1李舒摆成的图形：

如图2林涵摆成的图形：

（1）填写下表：

（2）是否存在某个图形恰好含有76个棋子？若存在，请求出该图形序号，若不存在，请说明理由；

（3）哪位同学所摆的某个图形含有棋子个数先超过120个？请说明理由．

（4）两位同学所摆图形中，是否存在所需棋子数相同的图形，若存在，请直接写出该图形序号，若不存在，请说明理由．

3．问题提出：

如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成几部分？

问题探究：

为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．

探究一：

如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为．

探究二：

如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为．

探究三：

当在平面内画2条直线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相交（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面分成4部分，因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为，我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多

探究四：

当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图 5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3 部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多．所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．

探究五：

当在平面内画4条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3 个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为．

探究六：

在平面内面5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）

__________

问题解决：

如果在一个平面内画出条直线，最多可以把这个平面分成          部分．

应用与拓展：

（1）如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加2条直线，则该平面至多被分成       个部分．

（2）如果一个平面被直线分成了497部分，那么直线的条数至少有      条．

（3）一个正方体蛋糕切5刀，被分成的块数至多为      块．

4．【问题提出】在2020年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？

【模型构建】用点M1、M2、M3、…、M50分别表示第1、2、3、…、50名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：

【问题解决】

（1）填写如图中第5个图中S的值为 　   　．

（2）通过探索发现，通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为 　   　，则当n＝50时，对应的S＝　   　．

（3）若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生？

【问题拓展】

（4）若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信110条，则该班数学兴趣小组的人数是 　   　人．

5．【问题提出】如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成几部分？

【问题探究】为解决问题，我们经常采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进到复杂的情形，在探究的过程中，通过归纳得出一般性的结论，进而拓展应用．

探究一：如图1，当在平面内不画（0条）直线时，显然该平面只有1部分，可记为．

探究二：如图2，当在平面内画1条直线时，该平面最多被分成了2部分，比前一次多了1部分，可记为．

探究三：当在平面内画2条直线，若两条直线平行（如图3），该平面被分成3部分；若两条直线相交（如图4），交点将第2条直线分成2段，每一段将平面多分出1部分，因此比前一次多2部分，该平面被分成4部分．因此当在平面内画2条直线时，该平面最多被分成4部分，可记为．我们获得的直接经验是：直线相交时，平面被分成的部分多．

探究四：当在平面内画3条直线，若3条直线相交于一点（如图5），该平面被分成6部分；若3条直线的交点都不相同时（如图6），第3条直线与前两条直线有2个交点，该直线被2个交点分成了3段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出3部分，该平面被分成7部分．因此当在平面内画3条直线时，该平面最多被分成7部分，可记为．我们获得的经验是：直线相交的交点个数越多，平面被分成的部分就越多，所以直接探索直线交点个数最多的情况即可．

探究五：当在平面内画1条直线（如图7），第4条直线与前3条直线有3个交点，该直线被3个交点分成了4段，每段将平面多分出1部分，所以比前一次多出4部分，该平面被分成11部分．因此当在平面内画4条直线时，该平面最多被分成11部分，可记为．

(1)探究六：在平面内画5条直线，最多可以把这个平面分成几部分？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）．

(2)【问题解决】如果在一个平面内画出n条直线，最多可以把这个平面分成______部分．

【应用拓展】

(3)如果一个平面内的10条直线将平面分成了50个部分，再增加3条直线，则该平面至多被分成______个部分．

(4)如果一个平面被直线分成了466部分，那么直线的条数至少有______条．

(5)一个正方体蛋糕切7刀（不移动蛋糕的位置，切只能竖着切），被分成的块数至多为______块．

6．阅读下面内容，并按要求解决问题：

问题：“在平面内，已知分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，个点，其中任意三个点都不在同一条直线上经过每两点画一条直线，它们可以分别画多少条直线？”

探究：为了解决这个问题，希望小组的同学们，设计了如下表格进行探究：（为了方便研究问题，图中每条线段表示过线段两端点的一条直线）

请解答下列问题：

（1）请帮助希望小组归纳，并直接写出结论：当平面内有个点时，直线条数为______；

（2）若某同学按照本题中的方法，共画了28条直线，求该平面内有多少个已知点？

7．[问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．

（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1＝3个长方体．

（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2＝＝3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1＝9个长方体．

（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2＝＝3条线段，所以图中共有 　   　个长方体．

（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝＝3条线段，宽共有 　   　条线段，高共有 　   　条线段，所以图中共有 　   　个长方体．

[问题解决]

（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 　   　线段，所以图中共有 　   　个长方体．

[结论应用]

（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．

8．图1，图2是小明家厨房的效果图和装修平面图（长方形），设计师将厨房按使用功能分为三个区域，区域Ⅰ摆放冰箱，区域Ⅱ为活动区，区域Ⅲ为台面区，其中区域Ⅰ、区域Ⅱ为长方形．现测得FG与墙面BC之间的距离等于HG与墙面CD之间的距离，比EF与墙面AB之间的距离少0.1m．设AE为x（m），回答下列问题：

(1)用含x的代数式表示FG，则FG=　           　m．

(2)当AE为何值时，区域Ⅱ的面积能达到2.34m2？

(3)测得JF=0.35m，在（2）的条件下，在下列几款冰箱中选择安装，要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，则选择购买　     　款冰箱更合适．

9．探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半？”

(1)当已知矩形A相邻两边的长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B相邻两边的长分别是x和y，根据题意，得方程组消去y，化简得2x2﹣7x+6＝0．解得x1＝　   　，x2＝　   　，∴满足要求的矩形B存在．

(2)如果已知矩形A相邻两边的长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

(3)设矩形A相邻两边的长分别为m和n，若所求矩形B存在，请直接写出m和n满足的关系式．

10．（1）定义1：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的2倍，则称这个矩形是原矩形的“加倍矩形”

问题1：一个正方形是否存在一个“加倍正方形”？答______（填“是”或“否”）；

问题2：长为3，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______，宽为______；

（2）定义2：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的，则称这个矩形是原矩形的“减半矩形”．

问题3：长为4，宽为1的矩形的“减半矩形”是否存在？答______（填“是”或“否”）；

问题4：长为6，宽为1的矩形的“减半矩形”的长为______；

问题5：长为n，宽为1的矩形的“加倍矩形”的长为______；（用n的代数式表示）

问题6：长为n，宽为1的矩形的“减半矩形”的存在条件是______；（用含n的关系式表示）

（3）定义3：若一个矩形的周长和面积分别是另一个矩形周长和面积的k倍，则称这个矩形是原矩形的“k倍矩形”（注意，且k可以取小于1的数）

问题7：长为n，宽为1的矩形的“k倍矩形”的存在条件是______；（、，用含n、k的关系式表示）

11．实验与探究：

三角点阵前n行的点数计算

如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…

容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？

如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系

前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．

2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]

=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]

把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到

1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）

这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）

下列用一元二次方程解决上述问题

设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）

整理这个方程，得：n2+n﹣600=0

解方程得：n1=24，n2=25

根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．

请你根据上述材料回答下列问题：

（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

12．如图所示，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设地面，请观察图形，并求解．

（1）在第个图形中，每一横行共_____块瓷砖，每一竖列共有______块瓷砖（均用含的代数式表示）；

（2）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时的值；

（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，请通过计算说明理由．

13．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：

人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．

任务：

（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是       （从序号①②③中选择）．

（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）．