专题二 函数 第一讲 函数概念与性质——2023届高考数学大单元二轮复习串思路【新教材新高考】

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专题二 函数 第一讲 函数概念与性质 （一）高考考点解读高考考点 考点解读函数的概念及其表示 1.求具体函数的定义域、值域2.以分段函数为载体考查求函数值或已知函数值求字母的值（或取值范围）等函数的图象及其应用 1.以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析式2.利用函数的图象研究函数的性质（特别是单调性、最值、零点）、方程解的问题及解不等式、比较大小函数的性质及其应用 1.确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值2.综合应用函数的性质求值（取值范围）、比较大小等，常与不等式相结合（二）核心知识整合考点1：函数概念及其表示1.函数的概念一般地，设A , B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.2.函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则.3.区间（1）研究函数时常会用到区间的概念.设a，b是两个实数，而且，我们规定：a.满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为；b. 满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；c. 满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为.（2）在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. （3）实数集R可以用区间表示为.（4） 把满足的实数x的集合，用区间分别表示为.4. 分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数.『解题技巧』1.函数定义域问题的3种类型①已知函数的解析式：定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建不等式（组）求解即可.②抽象函数：根据中的范围与中x的范围相同求解.③实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.2.函数值域问题的4种常用方法公式法、分离常数法、图象法、换元法.提醒：分段函数求解题时，要注意定义域，首先考虑定义域.[典型例题]1.若在定义域R上为减函数，则实数a的取值范围为(   )A. B. C. D.[答案]：C[解析]　因为在R上为减函数，所以时，单调递减，即①；时，单调递减，即②；且③.联立①②③，得.故选C.[变式训练]2.函数若实数a满足，则(   )A.2 B.4 C.6 D.8[答案]：D[解析] 由题意可得的定义域为.因为，所以解得，所以.故选D.考点2：函数的图像及其应用1.利用描点法作函数的图像（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性等）；（4）列表（尤其注意特殊点，零点，最大值与最小值，与坐标轴的交点）；（5）描点；（6）连线（用平滑的曲线连点）.2. 图像变换（1）平移变换（2）对称变换（3）伸缩变换（4）翻折变换3.函数图像的对称性（1）若满足，则的图像关于直线对称.（2）若满足，则的图像关于点中心对称.（3）函数的图像的对称轴为直线.（4）函数的图像关于点对称.4.函数图像的应用（1）作图常用描点法和图象变换法，图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.（2）识图从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.（3）用图在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究，但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错.『解题技巧』1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.提醒：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.[典型例题]1.已知函数的图象分别如图①②所示，方程，，的实根个数分别为a，b，c，则(   )A. B. C. D.[答案]：A[解析]  由方程，可得，此方程有4个根，所以方程有4个实根，则.由方程，可得或，所以方程有2个实根，则.由方程，可得或或或，这4个方程的实根的个数分别为0，4，2，0，则.故.故选A.[变式训练]2.函数的图象大致为(   ).A. B. C. D.[答案]：C[解析]  由解得，所以的定义域为，故A选项错误.，函数的图象开口向下，对称轴为直线，根据复合函数的单调性同增异减可知，在上单调递增，在上单调递减，且图象关于直线对称，故B，D选项错误，C选项正确.故选C.考点3：函数的性质及其应用1.函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性，判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.（1）函数在区间D上是增函数，，且.（2）函数在区间D上是减函数，且.2. 函数的最值（1）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最大值.（2）定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有；，使得.那么，我们称M是函数的最小值.3.函数的奇偶性（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.（3）对于偶函数而言，有.4.函数的周期性对f（x）定义域内任一自变量的值x：5.函数的对称性（1）若函数满足，即，则的图像关于直线对称；（2）若函数满足，即，则的图像关于点对称；（3）若函数满足，则的图像关于直线对称.『解题技巧』1.奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分（一半）区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(-x）= f(x).2. 单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.3. 周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.提醒：做题时，首先确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值, 综合应用函数的性质求值（取值范围）、比较大小等，常与不等式相结合.[典型例题]1.已知函数为奇函数，为偶函数，当时，.则(   )A.0 B. C.1 D.[答案]：D[解析]　因为为奇函数，所以，①
将①中的x替换为得.②
因为为偶函数，所以，③
由②③得，
则，所以是以4为周期的函数，
故.故选D. [变式训练]2.在区间上，函数与在处取得相同的最小值，那么在区间上的最大值是(   )A.12 B.11 C.10 D.9[答案]：B[解析]  因为，由基本不等式，得当时，取得最小值7，所以在处取得最小值7，所以，所以在区间上，当时，取得最大值11.故选B.