专题二 函数 第二讲 基本初等函数及函数与方程——2023届高考数学大单元二轮复习串思路【新教材新高考】

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专题二 函数 第二讲 基本初等函数及函数与方程 （一）高考考点解读高考考点 考点解读指数函数与对数函数 1.指数式与对数式的公式及互化2.指数函数与对数函数的图像与性质3. 指数函数与对数函数的性质应用幂函数1.各种类型的幂函数的图像及性质2.学会判断幂函数的类型函数与方程 1.利用零点存在性定理或者数形结合法确定函数的零点个数、零点存在范围，以及应用零点求参数的值（范围）2.常与函数的图像与性质的应用交汇命题（二）核心知识整合考点1：指数函数与对数函数1.指数与对数的七个运算公式（1）.（2）.（3）.（4）.（5）（6）（7） .2. 指数函数与对数函数的图像与性质 指数函数对数函数图像单调性0<a<1时，在R上单调递减；a>1时，在R上单调递增0<a<1时，在上单调递减；a>1时，在上单调递增  指数函数对数函数函数值性质0<a<1，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>10<a<1，当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1a>1，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0『解题技巧』1.指数函数与对数函数比较大小问题，要注意化成同底数比较，如若无法化成同底数，要巧用常数0或1.2.指数函数与对数函数的图像识别与性质，要熟记指数与对数相关性质.提醒：在对数运算和指数运算过程中，必须牢记公式，防止记混.[典型例题]1.若函数是在R上的奇函数，当时，，则的值域为(   )A. B. C. D.[答案]：A[解析] 本题考查利用函数的奇偶性求函数值域.当时，，因为是R上的奇函数，所以；当时，由于图象关于原点对称，故，所以.故选A.[变式训练]2.已知，，，则(   )A. B. C. D.[答案]：A[解析] 本题考查函数性质及比大小.，，，所以.故选A.考点2：幂函数的图像及其性质1.幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2.幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增在R上递增在(0，＋∞)上递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)幂函数在区间(0 , ＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．『解题技巧』1. 幂函数的判断方法（1）幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．（2）如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．2. 第一象限内图象类型规律：（1）n>1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增；（2）n=1时，过（0，0）、（1，1）的射线；（3）0﹤n﹤1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增；（4）n=0时，变形为y=1（x≠0）,平行于x轴的射线；（5）n﹤0时，过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近.提醒：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象；n=奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限；n=偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y轴对称；n=奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称.[典型例题]1.已知幂函数，其中，若函数在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则(   )A.2 B.3 C.4 D.5[答案]：A[解析]  因为函数为幂函数，所以，所以.因为函数在上是单调递增的，所以，所以.又因为，所以，1，2.当或时，函数为奇函数，不合题意，舍去；当时，，为偶函数，符合题意.故.所以.故选A.[变式训练]2.已知幂函数的图象过点,则下列结论正确的是(   )
A.的定义域为B.在其定义域上为减函数
C.是偶函数
D.是奇函数[答案]：B[解析]  设幂函数.
幂函数的图象过点，，，
，的定义域为，且在其定义域上是减函数，故选项A错误，选项B正确.函数的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C,D错误.故选B.考点3：函数与方程1.函数的零点（1）函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.（2）零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的一个根．2.函数与方程及应用（1）方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点 函数y=f（x）有零点.（2）思想方法：数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法．数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程．『解题技巧』1．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2.应用函数思想确定方程解的个数的两种方法(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解．提醒：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标；函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点，但存在零点时不一定满足该条件．即函数y＝f(x)在(a，b)内存在零点，不一定有f(a)f(b)<0．[典型例题]1.函数的零点是(   )A.1 B.1或-1 C.0 D.0，-1或1[答案]：A[解析] 本题考查零点的概念.令，得或-1，但当时，无意义，故只有一个零点.故选A. [变式训练]2.函数的零点所在的区间为(   ).A. B. C. D.[答案]：B[解析] 由题意知的定义域为，且在上单调递增，，，因为，所以，所以，所以在上存在唯一零点.故选B.