专题四 三角函数 第一讲 三角函数的图像及性质 ——2023届高考数学大单元二轮复习串思路【新教材新高考】

这是一份专题四 三角函数 第一讲 三角函数的图像及性质 ——2023届高考数学大单元二轮复习串思路【新教材新高考】，共7页。
专题四 三角函数第一讲  三角函数的图像及性质（一）高考考点解读高考考点 考点解读三角函数的定义域、值域、最值1.求三角函数的值域或最值2.根据值域或最值求参数三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性2.根据单调性、奇偶性、周期性求参数三角函数的图像及应用1.考查三角函数的图象变换2.根据图象求解析式或参数（二）核心知识整合考点1：三角函数的定义域、值域、最值1.三角函数的图像函数图像定义域RR值域R最值当时，y取得最大值1当时，y取得最小值-1当时，y取得最大值1当时，y取得最小值-1无最值『解题技巧』1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域(最值)的三种求法(1)直接法：利用的值域．(2)化一法：化为的形式逐步分析的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(3)换元法：把或看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．提醒：求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域．[典型例题]1.函数在区间上的最大值是(   )A. B.1 C. D.[答案]：A[解析] ，，，.故选A. [变式训练]2.函数的最大值和最小值分别是(   )
A.2,-2 B.2, C.2, D.,2[答案]：B[解析] .
,,.故选B.考点2：三角函数的性质1.三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性函数最小正周期单调性在  上递增，在  上递减在 上递增，在 上递减在上递增 奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：提醒：要掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．[典型例题]1.设函数，则下列结论错误的是(   )A.的一个周期为B.的图象关于直线对称C.的一个零点为D.在上单调递减[答案]：D[解析] 的周期为，，故A中结论正确；，为的最小值，故B中结论正确；，，故C中结论正确；由于，为的最小值，，故在上不单调，故D中结论错误.故选D. [变式训练]2.函数的最小正周期为π，则(   )A. B.2 C.1 D.[答案]：C[解析]  ，的最小正周期，.故选C.考点3：三角函数的图像及性质1. 函数的图像(1)“五点法”作图设，令z＝0、、π、、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．(2)图象变换① ． ② ．3.三角函数的对称性(1)函数的图象的对称轴由解得，对称中心的横坐标由解得；(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解得；(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得．『解题技巧』1．求解函数的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程．②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0．2．求解三角函数的性质的三种方法(1)求单调区间的两种方法①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．(2)判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．(3)三角函数周期的求法①利用周期定义．②利用公式：和的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为．③利用图象．提醒：1.重要图象变换顺序在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2.忽视A，ω的符号在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω<0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的． [典型例题]1.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则(   )A. B. C. D.[答案]：B[解析] 本题考查三角函数图象的伸缩变换和平移变换、三角函数的解析式.根据题目条件逆向思维，把函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得，即.故选B.[变式训练]2.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为(   )A.1 B.2 C. D.5[答案]：D[解析] ，.又函数的图象关于y轴对称，则，，，.，当时，有最小值5，故选D.