专题三 导数的简单应用——2023届高考数学大单元二轮复习串思路【新教材新高考】

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专题三 导数的简单应用 （一）高考考点解读高考考点 考点解读导数的几何意义1.确定或应用过某点的切线的斜率（方程）利用导数研究函数的单调性1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性（区间）2.根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围.利用导数研究函数的极值和最值 1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值2.根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围（二）核心知识整合考点1：导数的几何意义1.基本初等函数的八个导数公式原函数导函数αxα－12. 导数的四则运算法则（1）；（2）；（3）.3.复合函数的求导公式设函数均可导，则复合函数也可导，且.即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）.4.切线的斜率函数在处的导数是曲线在点处的切线的斜率，因此曲线在点P处的切线的斜率，相应的切线方程为.『解题技巧』1.求曲线的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点，求在点P处的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k，求的切线方程：设切点，通过方程解得，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程．2.根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．[典型例题]1.已知函数是奇函数且其图象在点处的切线方程为，设函数，则的图象在点处的切线方程为(   ).A. B. C. D.[答案]：A[解析] 由已知得，，因为是奇函数，所以，，又因为，所以，，所以的图象在点处的切线方程为，即.故选A.[变式训练]2.已知函数，其导函数记为，则(   )A.2 B.-2 C.3 D.-3[答案]：A[解析] 由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.故选A.考点2：利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.『解题技巧』1.导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间．(2)函数在D上单调递增且在区间D的任何子区间内都不恒为零；函数在D上单调递减且在区间D的任何子区间内都不恒为零． 2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求．(2)将单调性转化为导数在该区间上满足的不等式恒成立问题求解． 提醒：在求函数单调区间时，要满足定义域优先原则，首先要考虑函数的定义域，以免单调区间求错.[典型例题]1.函数的单调递减区间是(   ).A. B. C. D.[答案]：D[解析] 函数的定义域为，，当时，，函数单调递减，故选D.[变式训练]2.已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列选项中正确的是(   )A. B. C. D.[答案]：C[解析]  由题图，可得当时，；当时，；当时，.因此，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，所以.故选C.考点3：利用导数研究函数的极值和最值1.函数的极值a.函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.b.求函数极值的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）. 2. 函数的最值（1）函数的最小值与最大值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值，如.（2）通过导数求数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数在内的导数；②求方程在内的根；③求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值；④比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.『解题技巧』1.利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤．①求定义域；②求导数；③解方程，研究极值情况；④确定时左右的符号，定极值．(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程根的大小或存在情况来讨论求解．(3)求函数在上最大值与最小值的步骤①求函数)在内的极值；②将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．提醒：（1）求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；（2）求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；（3）对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论．[典型例题]1.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为(   )A. B. C. D.[答案]：A[解析] 易知函数的导数，令，得，即.设，则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示.由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.故选A.[变式训练]2.函数的最小值为(   ).A.3 B. C. D.[答案]：A[解析] 令，则，，令，则，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，所以，故函数的最小值为3.故选A.