2023-2024学年江苏省泰州市兴化市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市兴化市九年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一组数据3，5，4，5，8的众数是（ ）
A．3B．4C．5D．8
2．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠A＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．70°B．80°C．100°D．110°
3．抛物线y＝2（x+3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
4．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
6．将一根长为a的铁丝首尾相接围成矩形，则该矩形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是 ．
8．一组数据7，﹣5，4，2，9的极差是 ．
9．正十二边形的外角和为 ．
10．将二次函数y＝﹣5x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 ．
11．有甲、乙两组数据，如表所示：
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 s乙2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．二次函数y＝2x2﹣4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 ．
13．直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c≤0的解集为 ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两点A和B，顶点为C，连接AC、BC，当∠ACB＝90°时，b2﹣4ac＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，3）、，点C是第一象限内AB右上方的一动点，且满足∠ACB＝60°．若点C坐标为（a，b），则a+b的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．兴化市某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了九年级（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求学生捐款数目的中位数、众位数；
（3）若该校有学生2000人，估计该校学生共捐款多少元？
18．（8分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求点O到CD的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
19．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点D是二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，连接BD、BC、CD，并求△BCD的面积．
20．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a．
（1）试证明二次函数图象与x轴始终有两个交点；
（2）若二次函数图象的顶点在直线y＝﹣2x+3上，求出该二次函数函数表达式．
21．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，BD交OC于点H．
（1）判断OC与BD的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCB＝130°，CH＝2，BD＝8时，求劣弧BC的长度．
24．某主题公园装修后重新开业，试营业期间统计发现，公园每天售出的门票张数y（元/张）与门票售价x（元/张）之间满足一次函数的关系：y＝﹣x+120（50≤x≤80，x是整数），若公园每天运营成本为1200元，设公园每天的利润为P（元）（利润＝门票收入﹣运营成本）．
（1）试求P与x的函数表达式；
（2）公园的门票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？
25．（12分）已知△ABC内接于⊙O．
（1）如图1，过点B作BD⊥AC于点N，交⊙O于点D，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点M，试探究AM与AD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OH⊥BC于点H，试证明：AM＝2OH；
（3）如图3，作∠BAC的角平分线AD交圆O于点D，若点P为劣弧BC上一动点，连接PB、PC，过点D作DH⊥PC于点H，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
26．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）（p、q为实数），记顶点为G．
（1）直接写出G点坐标（用p、q的代数式表示）；
（2）记该函数图象与y轴交于点H，直线HG与y轴所夹的角为45°，当0＜p＜q时，求p+q的值；
（3）若该二次函数的图象经过点（0，a）、（2，b），记W＝a⋅b，当0＜p＜q＜2时，试探究W的取值范围．
2023-2024学年江苏省泰州市兴化市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．一组数据3，5，4，5，8的众数是（ ）
A．3B．4C．5D．8
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．
解：这组数据中5出现的次数最多，所以众数为5．
故选：C．
【点评】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，众数就是这多个数据．
2．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠A＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．70°B．80°C．100°D．110°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3．抛物线y＝2（x+3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
解：∵抛物线的解析式为：y＝2（x+3）2﹣1，
∴其顶点坐标为：（﹣3，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，此时顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
4．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题．
解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
【分析】根据平均数、众数、方差、中位数的概念判断．
解：去掉一个最高分和一个最低分，平均分、众数、方差可能发生变化，
中位数一定不发生变化，
故选：D．
【点评】本题考查的是平均数、众数、方差、中位数的概念，掌握它们的概念是解题的关键．
6．将一根长为a的铁丝首尾相接围成矩形，则该矩形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】设围成的矩形的一边长为x，围成的矩形面积为S，则另一边长为，根据矩形面积公式可得S与x 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
解：设围成的矩形的一边长为x，围成的矩形面积为S，则另一边长为，根据题意，得：
，
∴当时，．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7．若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是 圆外 ．
【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案．
解：∵⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，
∴点A在⊙O外，
故答案为：圆外．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
8．一组数据7，﹣5，4，2，9的极差是 14 ．
【分析】求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，从而可得答案．
解：这组数据的最大值为9，最小值为﹣5，
所以这组数据的极差为：9﹣（﹣5）＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，熟练掌握极差的定义是解答本题的关键．
9．正十二边形的外角和为 360° ．
【分析】根据多边形的外角和定理求解．
解：正十二边形的外角和是：360°．
故答案为：360°．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
10．将二次函数y＝﹣5x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 y＝﹣5（x+2）2﹣5 ．
【分析】根据二次函数图象平移的法则解答即可．
解：∵二次函数y＝﹣5x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
∴所得图象的函数表达式为y＝﹣5（x+2）2﹣5．
故答案为：y＝﹣5（x+2）2﹣5．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
11．有甲、乙两组数据，如表所示：
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2 ＞ s乙2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
解：＝×（11+12+13+14+15）＝13，
s甲2＝×[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
＝×（12+12+13+14+14）＝13，
s乙2＝×[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，
∵2＞0.8，
∴s甲2＞s乙2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12．二次函数y＝2x2﹣4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 ．
【分析】求出顶点（1，3m﹣2），再由题意可得3m﹣2＝0，即可求m的值．
解：∵y＝2x2﹣4x+3m＝2（x﹣1）2﹣2+3m，
∴顶点（1，3m﹣2），
∵顶点在x轴上，
∴3m﹣2＝0，
∴m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
13．直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 1 ．
【分析】连接OD、OE、OF、OA、OC、OB，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式得出关于R的方程，求出即可．
【解答】
解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
连接OD、OE、OF、OA、OC、OB，
设⊙O的半径是R，则OE＝OD＝OF＝R，OD⊥BC，OF⊥AB，OE⊥AC，
由三角形面积公式得：×3×4＝×5×R+×3×R+×4×R，
R＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形面积公式，三角形的内切圆，勾股定理的应用，关键是能得出关于R的方程．
14．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c≤0的解集为 ﹣3≤x≤﹣1 ．
【分析】先得到函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c的图象与x轴的交点为﹣1，1，再利用数形结合的方法解题即可．
解：∵由函数y＝ax2+bx+c图象可知，当1≤x≤3时，函数图象在x轴的下方（包括交点），
∴函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c的图象与x轴的交点为﹣1，1，（把x+2作为一个整体，代入上面的函数中，）
∴不等式a（x+2）2+b（x+2）+c≤0的解集为﹣1≤x+2≤1，即﹣3≤x≤﹣1．
故答案为：﹣3≤x≤﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两点A和B，顶点为C，连接AC、BC，当∠ACB＝90°时，b2﹣4ac＝ 4 ．
【分析】先证明△ABC为等腰直角三角形，可得AB＝2|yC|，从而可得答案．
解：设二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点A和B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），
则，
∴，
∵∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AB＝2|yC|，
∴该函数顶点C的坐标为：，
∴，
解得：Δ＝b2﹣4ac＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，3）、，点C是第一象限内AB右上方的一动点，且满足∠ACB＝60°．若点C坐标为（a，b），则a+b的最大值为 ．
【分析】如图，作等边三角形AMB，及两条高ML，BN，交于点K，则C在以K为圆心，BK为半径的优弧上运动，不包括A，B，求解圆心，设m＝a+b，可得C在直线y＝﹣x+m上，而m最大，直线y＝﹣x+m与⊙K相切，切点为C，再建立方程组解题即可．
解：如图，作等边三角形AMB，及两条高ML，BN，交于点K，则C在以K为圆心，BK为半径的优弧上运动，不包括A，B，
∵点A、B的坐标分别为（0，3）、，
∴，，
∴∠OBA＝60°，
∵∠ABM＝60°＝∠AMB，
∴AM∥OB，
∴，BN＝OA＝3，，
∴圆心，
设m＝a+b，
∴b＝﹣a+m，而C（a，b），
∴C在直线y＝﹣x+m上，
而m最大，
∴直线y＝﹣x+m与⊙K相切，切点为C，
∴T（0，m），
由半径为2可得：①，
由HK2+TH2＝TK2＝CK2+TC2可得：
②，
而m＝a+b③，
联立①②③解得：，，
∴，
即a+b的最大值为：；
故答案为：．
【点评】本题考查的是坐标与图形，等边三角形的性质，一次函数的几何应用，三角形的外接圆的圆心的确定，锐角三角函数的应用，圆的切线的性质，勾股定理的应用，本题难度很大，确定C的位置是解本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．兴化市某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现抽查了九年级（1）班全班同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图：
（1）m＝ 40 ，n＝ 30 ；
（2）求学生捐款数目的中位数、众位数；
（3）若该校有学生2000人，估计该校学生共捐款多少元？
【分析】（1）把表格中的数据相加得出本次接受随机抽样调查的学生人数；利用50元，100元的捐款人数求得占总数的百分比得出m、n的数值即可；
（2）利用众数、中位数的意义和求法分别得出答案即可；
（3）求出平均数，乘总人数得出答案即可．
解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为4+12+9+3+2＝30（人）．
12÷30＝40%，9÷30＝30%，
所以扇形统计图中的m＝40，n＝30；
故答案为：40，30；
（2）∵在这组数据中，50出现了12次，出现的次数最多，
∴学生捐款数目的众数是50元；
∵按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是50，
∴中位数为50元；
（3）这组数据的平均数＝（20×4+50×12+100×9+150×3+200×2）÷30＝2430÷30＝81（元）．
根据题意得：2000×81＝162000（元），
答：估计该校学生共捐款162000元．
【点评】此题考查扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数的意义与求法，理解题意，从图表中得出数据以及利用数据运算的方法是解决问题的关键．
18．（8分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为4．
（1）求点O到CD的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
【分析】（1）连接连接OC、OD，作OH⊥CD于H，根据余弦的定义计算即可；
（2）根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算．
解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵半径OC＝4，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝．
【点评】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键．
19．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点D是二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，连接BD、BC、CD，并求△BCD的面积．
【分析】（1）根据已知得出点C（0，3），进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得D（1，4），待定系数法求得直线BC的解析式，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，则E（1，2），进而根据三角形的面积公式即可求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．
∴OC＝OB＝3，
即C（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（0，3）代入得，
﹣3a＝3
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
如图所示，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y＝kx+3，将（3，0）代入得0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴E（1，2），
∴DE＝4﹣2＝2，
∴．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a．
（1）试证明二次函数图象与x轴始终有两个交点；
（2）若二次函数图象的顶点在直线y＝﹣2x+3上，求出该二次函数函数表达式．
【分析】（1）无论a为何值，二次函数的图象与x轴总有两个交点即ax2﹣2ax﹣3a＝0有两个不相等的实数根，直接根据根的判别式计算即可；
（2）由顶点坐标为（1，﹣4a），先将（1，﹣4a）代入y＝﹣2x+3，从而可得答案．
解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象与x轴相交，即y＝0，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝0，
由题意，可得：Δ＝4a2﹣4×a×（﹣3a）＝16a2，
∵a≠0，则16a2＞0，
∴Δ＞0恒成立，
∴二次函数的图象与x轴总有两个交点．
（2）由二次函数的性质可知对称轴为直线，
设顶点坐标为（1，﹣4a），
∵二次函数图象的顶点在直线y＝﹣2x+3上，
∴﹣2×1+3＝﹣4a，
解得：，
∴二次函数为．
【点评】本题考查了根的判别式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，求解二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴的交点情况的确定是解本题的关键．
21．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB．
（1）求阴影部分面积；
（2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【分析】（1）AB是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积；
（2）求出AB的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径．
解：（1）连接AB，OC，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆O的直径，
∴点A、O、B三点共线，
∴OB＝OC＝OA，
又∵AC＝BC，
∴AO⊥BC，
∵圆的直径为2，
则，
故．
∴；
（2）AB的长，
则，
解得：．
故该圆锥的底面圆的半径是．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径，正确记忆相关知识点是解题关键．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，BD交OC于点H．
（1）判断OC与BD的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCB＝130°，CH＝2，BD＝8时，求劣弧BC的长度．
【分析】（1）先证明∠ADB＝90°，再证明∠DAC＝∠OCA，可得OC∥AD，可得OC⊥BD；
（2）先求解∠DAB＝50°，证明∠COB＝∠DAB＝50°，设半径为r，则OH＝r﹣2，由r2＝（r﹣2）2+42，可得：r＝5，再利用弧长公式计算即可．
解：（1）OC⊥BD，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∴OC⊥BD；
（2）∵∠DCB＝130°，
∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，
∵OC∥AD，
∴∠COB＝∠DAB＝50°，
设半径为r，则OH＝r﹣2，
∵BD＝8，OC⊥BD，
∴BH＝4，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴劣弧BC的长度＝．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键．
24．某主题公园装修后重新开业，试营业期间统计发现，公园每天售出的门票张数y（元/张）与门票售价x（元/张）之间满足一次函数的关系：y＝﹣x+120（50≤x≤80，x是整数），若公园每天运营成本为1200元，设公园每天的利润为P（元）（利润＝门票收入﹣运营成本）．
（1）试求P与x的函数表达式；
（2）公园的门票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“利润＝票房收入﹣运营成本”可得函数解析式；
（2）将函数解析式配方成顶点式，由50≤x≤80，且x是整数，结合二次函数的性质求解可得．
解：（1）根据题意，得：
P＝（﹣x+120）x﹣1200＝﹣x2+120x﹣1200；
∴P与x之间的函数关系式为P＝﹣x2+120x﹣1200；
（2）∵P＝﹣x2+120x﹣1200＝﹣（x﹣60）2+2400，
而50≤x≤80，
∴当x＝60时，P取得最大值，最大值为2400．
答：公园的门票售价定为每张60元时，每天获利最大，最大利润是2400元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质．
25．（12分）已知△ABC内接于⊙O．
（1）如图1，过点B作BD⊥AC于点N，交⊙O于点D，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点M，试探究AM与AD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OH⊥BC于点H，试证明：AM＝2OH；
（3）如图3，作∠BAC的角平分线AD交圆O于点D，若点P为劣弧BC上一动点，连接PB、PC，过点D作DH⊥PC于点H，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【分析】（1）利用等角的余角相等求得∠D＝∠BME，即可证明AM＝AD；
（2）过点C作直径CF，连接BF，利用等角的余角相等求得∠BCF＝∠ABD，推出AM＝BF，再根据垂径定理证明OH是△CBF的中位线，据此即可证明AM＝2OH；
（3）在CH上截取CN＝PB，证明△PBD≌△NCD（SAS），推出DP＝DN，由等腰三角形的性质求得PH＝NH，推出PB+PC＝2CH，据此即可求解．
【解答】（1）解：AM＝AD，理由如下，
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠AND＝∠BEM＝90°，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠CAD＝90°﹣∠CBD＝∠BME，
∴AM＝AD；
（2）证明：过点C作直径CF，连接BF，如图2，
∵CF是直径，
∴∠CBF＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠BNA＝90°，
∵＝，
∴∠F＝∠BAC，
∴∠BCF＝∠ABD，
∴＝，
∴BF＝AD，
由（1）得AM＝AD，
∴AM＝BF，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵CO＝OF，
∴OH是△CBF的中位线，
∴，即AM＝2OH；
（3）解：的值是定值，定值为2，
在CH上截取CN＝PB，连接DB，DC，DP，DN，
∵＝，
∴∠PBD＝∠NCD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴△PBD≌△NCD（SAS），
∴DP＝DN，
∵DH⊥PC，
∴PH＝NH，
∴PB+PC＝PN+CN+PC＝2HN+2CN＝2CH，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
26．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）（p、q为实数），记顶点为G．
（1）直接写出G点坐标（用p、q的代数式表示）；
（2）记该函数图象与y轴交于点H，直线HG与y轴所夹的角为45°，当0＜p＜q时，求p+q的值；
（3）若该二次函数的图象经过点（0，a）、（2，b），记W＝a⋅b，当0＜p＜q＜2时，试探究W的取值范围．
【分析】（1）把函数解析化为顶点式即可求解；
（2）先求出H的坐标，然后结合条件画出草图，过G作GM⊥y轴于M，可判断△GHM是等腰直角三角形，则HM＝GM，得出关于p，q的等式，再化简即可；
（3）先把（0，a）、（2，b）代入函数解析式，求出a，b，从而求出w关于pq的解析式，然后根据0＜p＜q＜2求解即可．
解：（1）y＝（x﹣p）（x﹣q）
＝x2﹣（p+q）x+pq
＝，
∴顶点G的坐标为，即；
（2）当x＝0时，y＝pq，
∴H（0，pq），
∵直线HG与y轴所夹的角为45°，且0＜p＜q，
∴二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）的草图如图，
过G作GM⊥y轴于M，
则△GHM是等腰直角三角形，
∴HM＝GM，
∴，
化简得（p+q）2＝2（p+q），
又0＜p＜q，
∴p+q＞0，
∴p+q＝2；
（3）∵二次函数的图象经过点（0，a）、（2，b），
∴a＝pq，b＝（2﹣p）（2﹣q）＝4﹣2（p+q）+pq，
由（2）知：p+q＝2，
∴b＝4﹣2×2+pq＝pq，
∴W＝a⋅b
＝（pq）2，
∵0＜p＜q＜2，
∴0＜pq＜4，
∴0＜（pq）2＜16，
∴0＜W＜16．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数与特殊三角形等，掌握二次函数的性质是解题的关键．平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
捐款（元）
20
50
100
150
200
人数（人）
4
12
9
3
2
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
捐款（元）
20
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人数（人）
4
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