2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市赣榆区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将方程2x2+7=4x改写成ax2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为
( )
A. 2，4，7B. 2，4，−7C. 2，−4，7D. 2，−4，−7
2.如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0.若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数为
( )
A. −6B. 6C. −3D. 3
3.用配方法解方程x2−4x−1=0时，配方后正确的是
( )
A. (x+2)2=3B. (x+2)2=17C. (x−2)2=5D. (x−2)2=17
4.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为
( )
A. −9B. −94C. 94D. 9
5.如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长等于
( )
A. 3B. 5C. 2 3D. 2 5
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)连接CP.若∠B=120∘，则∠APC的度数可能为
( )
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 65∘
8.如图，P是⊙O外任意一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，OP与⊙O相交于点M.则点M是ΔPAB的
( )
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9.计算 45− 20= ．
10.关于x的方程kx2+4x−3=0是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
11.若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则2a2+4a的值是 ．
12.已知一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，则此直角三角形的内切圆半径r= ．
13.在ΔABC中，AB=AC，若以A为圆心AB长为半径作圆，则点C在⊙A (填“内”，“上”或“外”)．
14.为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2021年该学校用于购买图书的费用为5000元，2023年用于购买图书的费用是7200元，则2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率为 ．
15.如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50∘，∠C=10∘，则∠B= ∘．
16.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若ΔCDE的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为 cm．
17.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 (结果保留π)．
18.如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8.0分)
解方程：
(1)x2+x−1=0；
(2)x(x+2)=5(x+2)．
20.(本小题8.0分)
解不等式：x+12+x−13≤1．
21.(本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0,4)、B(−4,4)、C(−6,2).(1)在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出圆心M的坐标__；
(2)⊙M的半径为__；
(3)点O到⊙M上最近的点的距离为__．
22.(本小题8.0分)
如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
23.(本小题8.0分)
如图，ΔABC中，∠ABC=90∘，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
(1)求证：⊙D与AC相切；
(2)若AC=5，BC=4，试求AE的长．
24.(本小题8.0分)
为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
信息二
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
25.(本小题8.0分)
张师傅要在如图所示的钝角三角形铁片上截取一个面积最大的半圆形工件，如果要求半圆形工件的直径恰好在三角形铁片的最长边BC上．
(1)请你用直尺和圆规帮助张师傅作出符合条件的半圆形工件的示意图；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若半圆圆心记为O，其中∠B=30∘，∠C=45∘，BC=4，试求所作圆形工件的半径r.(结果保留根号)注：直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半．
26.(本小题8.0分)
某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量y(m3)与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系．
(1)求这51天内，y与x之间的函数关系式；
(2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．
27.(本小题8.0分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，设运动时间为t秒(0(1)当t=1时，⊙O的半径是__cm，⊙O与直线CD的位置关系是__；
(2)在点P从点A向点B运动过程中，当⊙O与矩形ABCD相切时，求t的值．
(3)连接PD，交⊙O于点E，如图2，当∠APD=∠QBE时，则t的值为__．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：2x2+7=4x可化为2x2−4x+7=0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，−4，7，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据a+b=0，A、B两点间的距离为6判断出点A、B分别表示的数即可．
【解答】解：∵a+b=0，
∴a、b互为相反数，
∵A、B两点间的距离为6，
∴点A、B分别在距离原点3的位置上，
∴点A表示的数为−3．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】【分析】先把−1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2−4x−1=0，
∴x2−4x=1，
∴x2−4x+4=1+4，
∴(x−2)2=5．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2−4ac，建立关于m的等式，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=(−3)2−4m=0，
解得m=94．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2即可求出答案．
【解答】解：设底面半径为R，则底面周长=2πR，圆锥的侧面展开图的面积=12×2πR×5=15π，
∴R=3．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=12OC=1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB=2AD=2 OA2−OD2=2× 22−12=2 3．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】【分析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60∘，再由∠APC为ΔPCD的外角求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180∘，
∵∠B=120∘，
∴∠D=180∘−∠B=60∘，
∵∠APC为ΔPCD的外角，
∴∠APC>∠D，只有D满足题意．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据切线的性质得到∠APO=∠BPO，PA=PB，根据等腰三角形的性质得到AB⊥OP，连接OA，AM，根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠APO=∠BPO，PA=PB，
∴AB⊥OP，
连接OA，AM，
则∠OAP=90∘，
∴∠PAM+∠OAM=∠BAM+∠AMO=90∘，
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠AMO，
∴∠PAM=∠BAM，
点M是ΔPAB的三个角的角平分线的交点，
故选：C．
9.【答案】 5
【解析】【分析】首先把 45和 20化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解： 45− 20
= 9×5− 4×5
=3 5−2 5
= 5．
故答案为： 5．
10.【答案】k≠0
【解析】【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程kx2+4x−3=0是一元二次方程，
∴k≠0，
故答案为：k≠0．
11.【答案】6
【解析】【分析】将a代入x2+2x−3=0，即可得出a2+2a=3，再把a2+2a=3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，
∴a2+2a−3=0，
∴a2+2a=3，
∴2a2+4a=2(a2+2a)=2×3=6，
故答案为：6．
12.【答案】2
【解析】【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是10，再根据其内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算．
【解答】解：根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是10．
根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是2．
故答案为：2．
13.【答案】上
【解析】【分析】AC和⊙A的半径比较即可得出结果．
【解答】解：∵在ΔABC中，AB=AC，
∵以点A为圆心，AB长为半径作圆，
∴点C在⊙A上，
故答案为上．
14.【答案】20%
【解析】【分析】设2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率为x，利用2023年该学校用于购买图书的费用=2021年该学校用于购买图书的费用×(1+2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率) 2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率为x，
根据题意得：5000(1+x)2=7200，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
∴2021年到2023年该校购书费用的年平均增长率为20%．
故答案为：20%．
15.【答案】60
【解析】【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=100∘，然后根据三角形内角和，利用∠B+∠A=∠BOC+∠C求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠A=50∘，
∴∠BOC=2∠A=100∘，
∵∠B+∠A=∠BOC+∠C，
∴∠B=100∘+10∘−50∘=60∘．
故答案为60．
16.【答案】26
【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由ΔCDE的周长为9cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵ΔCDE的周长13cm，
即CD+DE+EC=13cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)=2(BE+EC+CD)=2(DE+EC+CD)=2×13=26(cm)．
故答案为：26．
17.【答案】8−2π
【解析】【分析】根据S阴=SΔABD−S扇形BAE计算即可；
【解答】解：S阴=SΔABD−S扇形BAE=12×4×4−45⋅π⋅42360=8−2π，
故答案为8−2π．
18.【答案】2
【解析】【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可．
【解答】解：连接AM，
∵点B和M关于AP对称，
∴AB=AM=3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵AC= 32+42=5，AM=AB=3，
∴CM=5−3=2，
故答案为：2．
19.【答案】解：(1)x2+x−1=0，
x2+x=1，
x2+x+14=54，
(x+12)2=54，
x+12=± 52，
所以x1=−12+ 52，x2=−12− 52；
(2)x(x+2)=5(x+2)．
x(x+2)−5(x+2)=0，
(x+2)(x−5)=0，
x+2=0或x−5=0，
所以x1=−2，x2=5．

【解析】【分析】(1)利用配方法得到(x+1)2=2，然后利用直接开平方法解方程；
(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x−2=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可．
20.【答案】解：去分母得：3(x+1)+2(x−1)≤6，
去括号得：3x+3+2x−2≤6，
移项、合并同类项得：5x≤5，
系数化为1得：x≤1．

【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可．
21.【答案】解：(1)如图，点M为所作；点M的坐标为(−2,0)；
故答案为：(−2,0)；
(2)∵C(−6,2)，M(−2,0)，
∴MC= (−6+2)2+22=2 5，
即⊙M的半径为2 5，
故答案为：2 5；
(3)∵OM=2，
∴点O到⊙M上最近的点的距离为2 5−2．
故答案为：2 5−2．

【解析】【分析】(1)利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，利用垂径定理的推论可判断点M为经过A、B、C三点的圆的圆心；
(2)利用两点间的距离公式计算出MC即可；
(3)过O点的半径可得到点O到⊙M上最近的点，则点O到⊙M上最近的点的距离为2 5−2．
22.【答案】解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：(50−2x)(38−2x)=1260，
解得：x=4或40，
40不合题意，舍去，
所以x=4，
答：道路的宽应为4米．

【解析】【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面−所修路面积=草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
23.【答案】(1)证明：
过D点作DF⊥AC于F点，如图，
∵CD平分∠ACB，DB⊥CB，DF⊥CA，
∴DF=DB，
∴⊙D与AC相切；
(2)解：∵∠ABC=90∘，AC=5，BC=4，
∴AB= 52−42=3，
在和中，
C=CDDF=DB,
，
∴CF=CB=4，
∴AF=AC−CF=5−4=1，
设⊙O的半径为r，则AD=3−r，DF=r，
在中，12+r2=(3−r)2，
解得r=43，
∴AE=AB−BE=3−43×2=13．

【解析】【分析】(1)过D点作DF⊥AC于F点，如图，先根据角平分线的性质得到DF=DB，然后根据切线的判定方法得到结论；
(2)先利用勾股定理计算出AB=3，再证明得到CF=CB=4，所以AF=1，设⊙O的半径为r，则AD=3−r，DF=r，在中利用勾股定理得到12+r2=(3−r)2，则可方程求出r，然后计算AB−BE即可．
24.【答案】解：(1)根据题意得：1800x+300=1200x，
解得：x=600，
经检验，x=600是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为600；
(2)设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工(22−m)天，
根据题意得：(600+300)m+600(22−m)≥15000，
解得：m≥6，
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w=3600m+2200(22−m)，
即w=1400m+48400，
∵1400>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=6时，w取得最小值，最小值=1400×6+48400=56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．

【解析】【分析】(1)利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出x的值；
(2)设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工(22−m)天，根据22天完成的施工面积不少于15000m2，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，利用总费用=3600×甲工程队施工时间+2200×乙工程队施工时间，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
25.【答案】解：(1)如图所示；
(2)过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW=r，
∵∠B=30∘，∠C=45∘，
∴OB=2r，OC= 2r．
∵BC=4，
∴2r+ 2r=4，解得r=4−2 2．

【解析】【分析】(1)作∠BAC的平分线AD，交BC边于点O，过点O作OW⊥AC，以点O为圆心，OW为半径画半圆即可；
(2)过点O作OE⊥AB于点E，则OE=OW=r，再由∠B=30∘，∠C=45∘用r表示出OB及OC的长，再根据BC=4即可得出结论．
26.【答案】解：(1)由题意，当0≤x≤20时，设y=kx，
∴20k=960．
∴k=48．
∴y=48x．
当20∴20m+n=96040m+n=1660．
∴m=35n=260．
∴y=35x+260．
综上，所求函数关系式为y=48x,(0≤x≤20)35x+260,(20(2)由题意，令x=51，
∴y=35×51+260=2045．
又当x=20时，y=960，
∴每公顷小麦在整个灌浆期的需水量=2045−960=1085(m3)．

【解析】【分析】(1)依据题意，分0≤x≤20和20(2)依据题意，令x=51时求出需水总量，再减去前20天的需水量，即可得解．
27.【答案】解：(1)如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，AB//CD，
∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，
当t=1时，AP=3，CQ=4，
∵AB=6，BC=8，
∴PB=6−3=3，BQ=8−4=4，
∴PQ=5，
∴⊙M的半径为2.5cm，
∵MN//BQ，M是PQ的中点，
∴PN=BN，
∴MN是ΔPQB的中位线，
∴MN=12BQ=12×4=2，
∴MK=8−2=6>2.5，
M与直线CD的位置关系是相离；
故答案为：2.5，离；
(2)如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，
则BQ=8−4t，PB=6−3t，
∴PQ=10−5t，
∴PM=10−5t2=FM=5−52t，
ΔBPQ中，ME=12PB=3−32t，
∵EF=FM+ME，
∴5−52t+3−32t=6，
解得：t=12；
当⊙M与CD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥CD，EF⊥AB，
则BQ=8−4t，PB=6−3t，
∴PQ=10−5t，
∴PM=10−5t2=EM=5−52t，
∴MF=EF−ME=BQ2，
∴8−(5−52t)=8−4t2，
解得：t=29；
综上所述：当⊙M与矩形ABCD相切时t=29或12；
(3)如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，
∵∠APD=∠NBQ，∠NBQ=∠NPQ，
∴∠APD=∠NPQ，
∵∠A=90∘，DG⊥PG，
∴AD=DG=8，
∵PD=PD，
，
∴PG=AP=3t，
∵BQ=8−4t，PB=6−3t，
∴PQ=10−5t，
∴QG=3t−(10−5t)=8t−10，
∵DC2+CQ2=DQ2=DG2+QG2，
∴62+(4t)2=82+(8t−10)2，
∴3t2−10t+8=0，
(t−2)(3t−4)=0，
解得：t1=2(舍)，t2=43．
故答案为：43．

【解析】【分析】(1)先求出PB，BQ的长，根据勾股定理可得PQ的长，根据直角三角形的外接圆直径是斜边即可求解；
(2)如图3，根据切线的性质作辅助线EF，则EF⊥AD，EF⊥BC，由EF=FM+ME列方程即可求解；
(3)如图4，作辅助线，构建全等三角形，证明AP=PQ，AD=DQ，最后根据勾股定理列方程即可求解．
工程队
每天施工面积(单位：m2)
每天施工费用(单位：元)
甲
x+300
3600
乙
x
2200
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．