2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年江苏省泰州市兴化市九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共6小题，共18分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图是“光盘行动”的宣传海报部分，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是(    )

A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 平行

4. 如图，是的直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 直线与抛物线的图象如图所示，若一次函数的值大于二次函数的值，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. 或

6. 已知二次函数，当时，对应的函数值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共30分）

7. 今年是中国共青团建团周年，据统计截止年月日，全国共有学生团员名，用科学记数法表示为______．
8. 分解因式：          ．
9. 不等式的解集是______．
10. 已知直径为，点到点距离为，则点在 ______填“上、内或外”
11. 已知正六边形的半径是，则这个正六边形的周长为______．
12. 在中，，，，则其外接圆的直径为______．
13. 如图，中，，点是的内心，则的度数为______．

14. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间的函数关系是，当飞行时间为______时，小球达到最高点．
15. 如图，在每个小正方形的边长均为的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交于点，则的长为______．

16. 如图，已知的直径，为上一点不与、重合，连接、弦平分，交于点，过点作于点，交于点，连接，若，则的度数为______．

三、解答题（本题共10小题，共102分）

17. 计算：；
    解方程：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，已知抛物线．
    若是该抛物线上一点，求的值；
    点，都在该抛物线上，若，试比较，的大小，并说明理由．

20. 如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．
    若与相切，求的度数；
    用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点不写作法，保留作图痕迹

21. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙墙长，另外三边用木栏围成，木栏长．
    若鸡场的面积为，求的值；
    为何值时，鸡场的面积有最大值？最大值是多少？

22. 如图，为的外接圆的直径，点为的内心，连接并延长交于点，连接．
    求的大小；
    若，求的值．

23. 如图，已知为的直径，点在上，给出下列信息：
    是的切线平分．
    请在上述条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论，组成一个正确的命题，你选择的条件是______，结论是______只要填写序号，并说明理由；
    如图，在的条件下，交于，若，，求的值．
     
24. 如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左边，交轴于点，且经过点．
    求的值；
    点为线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求的最大值；
    将抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部不包括的边界，求的取值范围．

25. 如图，已知扇形纸片，，半径．
    求扇形的面积及图中阴影部分的面积；
    如图，在扇形的内部，与，都相切，且与只有一个交点，此时我们称为扇形的内切圆，试求的面积；
    如图，在扇形纸片中，剪出一个扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的余料中，再剪出一个圆作为这个圆锥的底面，并使得这个圆锥的表面积最大，若能，请求出这个圆锥的表面积；若不能，请说明理由．
     
26. 已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为，点坐标为，点是对称轴与轴的交点．
    求二次函数的表达式；
    如图，是对称轴上一动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
    如图，、是对称轴上的两点位于轴上方，且，直线、的交点为点试判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
【解答】
解：的相反数是，故ABC错误，D正确．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：关于的方程的一个根为，
设另一根为，
则，
解得，
所以，
解得．
故选：．
利用根与系数的关系，设另一根为，则，解出，两根之和，解出的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，若二次项系数不为，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：．
直接利用直线与圆的位置关系的定义进行判断．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据交点个数直接判断是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据，可证得，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可．
本题考查了圆周角定理以及圆心角、弦、弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象可知，
当时，一次函数图象在二次函数图象上方，即一次函数的值大于二次函数的值．
故选：．
根据图象，如果一次函数的值大于二次函数的值，一次函数图象必须在二次函数图象上方，即可得出答案．
本题考查了二次函数与不等式，一次函数图象，解题的关键是熟练应用数形结合的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
当时，，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当时的函数取值范围，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
利用平方差公式分解即可．
本题考查了运用公式法因式分解，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：移项，得：，
系数化为，得：，
故答案为．
不等式移项，把系数化为，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

10.【答案】外 

【解析】解：根据题意得，，
，
点在外．
故答案为：外．
根据时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．依此即可求解．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若圆的半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，正六边形的半径与边长相等是需要熟记的内容．
根据正六边形的半径可求出其边长为，进而可求出它的周长．
【解答】
解：正六边形的半径为，则边长是，因而周长是．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：在中，
，，，
，
直角三角形的外心为斜边中点，
的外接圆的直径为．
故答案为：．
根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜边长，则可得出答案．
本题考查了直角三角形的外接圆与外心，勾股定理的运用．关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
点是的内心，
，
．
故答案为：．
根据，求出，再根据点是的内心，求出，根据三角形内角和定理求出的度数即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
当时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接、、，
，
是直径，
，
根据网格图形可知：，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
所对的圆心角是，
的长为以为直径的圆周长的，
即．
故答案为：．

连接、、，由，可知是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可．
本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：交于，如图，
的直径，
，
弦平分，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
交于，如图，根据圆周角定理得到，则，再证明，，则可判断≌，所以，接着证明，则根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理得到，最后利用互余可计算出的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
 

17.【答案】解：


；
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

．
当时，
原式． 

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：将代入得，
解得，，
的值为或．
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
． 

【解析】将点坐标代入解析式求解．
由抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，进而求解
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

20.【答案】解：与相切，为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
；

解：如图，点即为所求．
 

【解析】利用切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质解决问题即可；
作的角平分线交于点，则点即是劣弧的中点．
本题考查作图复杂作图，切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设米，米，
根据题意得：，整理得，
解得：，，
，
．
答：为．
设鸡场面积为，
则，
当时，鸡场面积最大为．
答：为时，鸡场的面积有最大值，最大面积是． 

【解析】设长为，则，由求解．
设鸡场面积为，通过配方法求解．
本题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握配方法求最值．
 

22.【答案】解：为的外接圆的直径，
，
为的内心，
，
．
如图
连接，
为的内心，
，，
，
，
，
，，
，
；
． 

【解析】根据内心定义，推出度数，进而根据得出的值；
连接，证即可．
本题考查了内心的定义、圆周角定理、等腰三角形判定和性质、正方形判定和性质和勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
 

23.【答案】   

【解析】解：选择的条件是、，结论是，
证明：连接，

，
．
切于，
．
，
．
，
，
平分．
故答案为：，；
连接、，过作，

是直径，
，
，
是切点，
，
，
，
四边形、四边形是矩形，
，
是的中点，
是的中点，是的中点，
，
，
，
连接，则，
平分平分，
，
∽，
，
，
，
或
而当时，，与矛盾，
．
连接，根据圆的性质可得再由平行线的性质及角平分线的定义可得结论；
连接、，过作，根据圆周角定理及切线性质可得，由矩形的判定与性质可得，连接，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

24.【答案】解：将点代入抛物线的解析式，
，
解得；
由知，抛物线的解析式为．
令，则，
解得或，
，，
令，则，
．
设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为：．
设点的横坐标为，
，，


，
，
当时，的最大值为．
，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点为．
对称轴与直线交于点，
当抛物线的顶点落在的内部时．
整理得，． 

【解析】将点代入抛物线的解析式可得出的值；
根据二次函数解析式求出点、、的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，可依次表达点和点的坐标，进而表达的长度与的函数关系式，再结合二次函数的性质可得出结论；
先求出与对称轴的交点坐标，再根据平移的性质确定出的取值范围即可．
本题是二次函数综合题型，主要待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式以及配方法，求出直线与对称轴的交点是解题的关键，作出图形更形象直观．
 

25.【答案】解：，半径，
，
，，
是等边三角形，
，
阴影部分的面积；
设与相切于点，连接，，
相切两圆的连心线必过切点，
、、三点共线，

，，
，
，
，
的半径．
；
设圆锥的底面圆的半径为，圆锥的表面积为，



，
又，
，
当时，有最大值． 

【解析】根据扇形和等边三角形的面积公式即可得到结论；
设与相切于点，连接，，根据相切两圆的性质得到、、三点共线，根据直角三角形的性质得到，根据圆的面积公式即可得到结论；
设圆锥的底面圆的半径为，圆锥的表面积为，根据圆的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了圆的综合题，扇形面积的计算，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
二次函数的表达式；

是对称轴上一动点，
故设点，
的垂直平分线恰好经过点，
，
即，
解得，
故点的坐标为或；

点在二次函数的图象上，理由：
设，
，
，
，
设的表达式为，
则，解得，
的表达式为；
设的表达式为
则，解得，
的表达式为；
直线，的交点坐标为，
则，解得，
，
当时，
，
点在二次函数的图象上． 

【解析】用待定系数法即可求解；
的垂直平分线恰好经过点，则，即可求解；
由直线，的交点坐标为，求出点的坐标，进而求解．
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，垂直平分线的性质，两点间距离公式及三角形面积公式等相关内容，根据题意得出对应的方程是解题关键．