专题2 导数中的二次求导-(人教A版2019选择性必修第二、三册) (学生版+教师版)

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导数中的二次求导1 二阶导数的概念如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数在处的二阶导数，记为.Eg 若函数，则，.2二阶导数的意义二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性.若在内，则在内为凹函数；若在内，则在内为凸函数；Eg ，其二次导数，为凹函数；，其二次导数，为凸函数；了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩.3 二次求导的运用① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号.② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用，使用场景：某些函数一次求导后，解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)，则需要进行”二次求导”.思考：若能知道的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来?求导便可画图拉，分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤；解题步骤：设，对求导，求出和的解，便可得到的单调性，进而求其最值，不难得到的正负性，由图可知原函数的单调性.若也很难求解呢？那就要三次求导.  【题型一】判断函数的凹凸性【典题1】判断以下几个超越函数的凹凸性                     【解析】，，故在上凸，在上凹；(2) ，，故在上凸，在上凹；(3) ，，故在上凹；【点拨】对于常见的超越函数，需要了解下它们的图象，特别是凹凸性，日后会经常见到它们的踪影，比如二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等. 1(★) 判断以下几个超越函数的凹凸性               【答案】1 (1) 在上凸，在上凹     (2) 在上凸，在上凹     (3) 在上凸，在上凹【题型二】 二次求导与函数的单调性【典题1】若函数，，设，试比较的大小.【解析】(要比较的大小，显然想到单调性) ，设，(要知道原函数的单调性，则分析的正负性，而它不太好分析，可构造函数二次求导，分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性)则当时，，即在上递减，，(此时得到函数的草图，正负性便确定)，在上递减，当，，即.【点拨】① 要研究函数的单调性，则需要分析导函数的正负性；② 当一次求导后，发现导函数不太“友善”(不能转化为常见的“一次型导数”， “二次型导数”，“指数型导数”或其混合型等)，则可考虑构造新函数进行二次求导. 【典题2】求函数的单调性.【解析】 的定义域是，，设，(导函数的正负性与一致，不能因式分解，函数较为复杂，要判断它的正负性，若能知道它的图象就好了，便想到二次求导)则，(此时要分析的正负性，也不容易，则可再次求导分析单调性、最值得到它的图象从而分析正负性)令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；在处有最大值，而，(注意到，的零点)函数在上是单调递减，当时，， 递增；当时，， 递减；(注意到，事情就这么巧，分析出正负性了)的单调增区间是递减区间是.【点拨】① 本题的思路是② 本题中作了“次求导”；当导函数形式较为复杂，利用导数画出导函数的趋势图，数形结合便较容易得到它的正负性了，此时也要注意一些特殊点，比如. 【典题3】求的单调性.【解析】，令，(构造函数二次求导)故，当时，，故在上单调递增，(注意三角函数的有界性)(此时，分析正负性要确定导函数是否有零点，分和讨论.)①当时，，即，故在上单调递增；②当时，，且，故存在，使得，(这取点较难，而当，，也可知零点的存在)当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上先减后增.【点拨】本题是二次求导在处理含参函数单调性中的运用，在分析导函数正负性，要确定是否存在零点，有时要分类讨论. 1 (★★) 求函数的单调性.【解析】 ，令，则令，则，在递增，，即，在递增，，即,在递增. 2 (★★) 求函数在区间的单调性.【解析】   ① 当时，，单调递增；② 当时，设则，在内单调递减，又，在内存在唯一的，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，在内先增后减. 3(★★★) 求函数在的单调性.【解析】，设，则，在上递增，；① 当时，，即，在区间上单调递增，② 当时，，当时，则存在使得，当时，，即，递减；当时，，综上所述，当时，在递增；当时在上先减后增.  【题型三】​二次求导与不等式证明【典题1】已知函数， 若，求的取值范围； 证明.【解析】，，题设等价于．(分离参数法)令，则当，；当时，，是的最大值点，，综上，的取值范围是．方法1 要证，只须证明时，；当时，即可(即需要了解函数的图像)由(1)可知， (该函数正负性有些难判断，想到可二次求导)令，则，显然当时，，当时，，即在上为减函数，在上为增函数，，即在为增函数，由于  (这点关键，解题中多注意“特殊点”，由于要“了解函数的图像”和“证明”的思路也不难想到)则时，；当时，.方法2 由知，，即．当时，；当时，， (这步提出有些“巧妙”)令，，所以当时，0 恒成立，所以当时，，即时，，所以当时，，综上，．【点拨】比较第二问两种方法，还是方法一的“二次求导”的思路来得自然些，当一次求导后感觉到“解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)”，则可尝试下“二次求导”.在整个过程中，数形结合的思想“如影随形”，不管是原函数还是导函数的图像. 【典题2】设函数， 求的单调区间  若，求证：在时，．【解析】(1①当时，在上恒成立，在上是单调减函数，②当时，令，解得，当时，0，单调减，当时，0，单调增，综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为．(2)证明：当时，要证，即证，令，只需证， (求解很难，得不到的正负性，故想到二次求导)令，则，函数在单调递增，又，在内存在唯一的零点，(这是“隐零点问题”，得到零点的取值范围较为关键)即在上有唯一零点，设的零点为 ，则，即， 当时，，为减函数，当时，，为增函数，当时，，又，，(对勾函数可知)．即在时，. 1(★★★) 证明当时，.【证明】设， 则 令，则令， 则仅在处当时，单调递增，从而有，即，当时，单调递增，,即当时，；当时，单调递增，，即. 2 (★★★) 已知函数，，为实常数，(1)设，当时，求函数的单调区间；(2)当时，直线与函数的图像共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形，求证：.【答案】(1) 的单调递增区间为，无单调递减区间．   (2) 见解析【解析】(1，其定义域为而，当时，，故的单调递增区间为，无单调递减区间．                       (2)证明：因为直线与平行，故该四边形为平行四边形等价于且．当时，，则．令，则 ，故在上单调递增；                                      而，故时，单调递减；时，单调递增；而，故，或，所以． 3(★★★★) 已知函数，且，求   证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】(1)   (2) 见解析【解析】因为，则等价于，求导可知．则当时，即在上单调递减，所以当时，，矛盾，故．因为当时、当时，所以，又因为，所以，解得；由可知，，令，可得，记，则，令，解得，所以在区间(0，上单调递减，在，+∞)上单调递增，所以，又，所以在上存在唯一零点，所以有解，即存在两根，且不妨设在上为正、在上为负、在上为正，所以必存在唯一极大值点，且，所以，由可知；由可知，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；综上所述，存在唯一的极大值点，且．