专题4 双变量存在恒成立与存在性问题-(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版+教师版)

双变量存在---恒成立问题

恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题.

1 恒成立问题

恒成立在上的；

恒成立在上的；

2 存在性问题

恒成立在上的；

恒成立在上的；

3双变量存在—恒成立问题

恒成立；

恒成立；

恒成立；

恒成立；

4 常见处理方法

方法1 直接构造函数法：求恒成立恒成立.

方法2 分离参数法：求 其中恒成立恒成立.

方法3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)；

方法4 数形结合法：求恒成立证明在的上方；

方法5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行求解；

方法6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的；

学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考.

【典题1】已知两个函数，其中为实数.

(1)对任意，都有成立，求的取值范围；

(2)存在，使成立，求的取值范围；

(3)对任意，都有，求的取值范围.

【解析】(1)设

问题转化为时，恒成立，故；

易得，由.

(2)据题意：存在，使成立

在有解，

易得，于是.

(3) 问题转化为，

易得，，

则.

【点拨】

① 第一问是恒成立问题，第二问是存在性问题，第三问是双变量成立问题；

② 第三问怎么确定，即到底是函数最大值还是最小值呢？

可把问题转化为第一、二问的问题，具体如下，

先把看成定值，那，都有，当然是要；

再把看成定值，那，都有，当然是；

故问题转化为.

其他形式的双变量成立问题同理.

【典题2】 已知函数，．若对，，使成立，则的取值范围是      .

【解析】(若要满足成立，则的值域包含的值域)

因为，，

所以，令，解得，

故在递增，在递减，故，

而时，，时，，

故，

因为，，

所以当时，，故在递增，

则，，

故，

若对，，使成立，

则，

故，解得：.

【典题3】 已知函数，，．

(1)求的最大值；

(2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；

(3)证明不等式其中是自然对数的底数)．

【解析】(1)过程略，当时取得最大值为；

(2)解：对，总存在，使得成立，

等价于成立，

由(1)知，， 则问题等价于，

因为，所以，

当时，，(利用三角函数的有界性)

①当时，若，，单调递减，，不合题意；

②当时，，使得，

若，，若时，，

即当，

则∃，使得，符合题意；

③当时，若，，单调递增，，

则∃，使得，符合题意，

综上可知，所求实数的范围是；

(3)证明：由(2)可知，当时，若，，

令，，

有，

再由(1)可得，

则，即，

，

则．

(放缩法证明，利用不等式和，要熟悉常见恒等式)

1(★★) 已知，函数，使得，则的取值范围　    　．

【答案】(1，4]

【解析】f′(x)=1，

令f′(x)=0，得x=±3，

所以在(1，3)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，

在(3，4)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，

f(1)=10，f(4)=6.25，f(3)=6，

若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f(x1)f(x2)≥80，

只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f(x1)f(x2)]max≥80，

而f(x1)max=f(1)=10，所以f(x2)max≥8，

过点B作BC⊥y轴，与函数f(x)的图象交于点C，

令x6.25，解得x=4或2.25，

所以当x∈[2.25，4]时，f(x)∈[6，6.25]，

所以x2∈(1，2.25)，

所以a∈(1，2.25)，才能使得x2∈[a，4]时，f(x2)max≥8，即f(a)≥8，

所以a8，解得a≥4(舍去)或a≤4，

所以1<a≤4，

所以实数a的取值范围为(1，4]，

故答案为：(1，4]．

2(★★)已知函数，，若任意，都存在，使得，则实数的取值范围是　 　．

【答案】

【解析】任意，都存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，⇔f(x1)min≥[g(x2)]min，，

x2∈[2，3]，

对于函数，x∈，f′(x)=10，

因此函数f(x)在x∈上单调递减，∴f(x)min=f(1)=5．

对于函数g(x)=2x+a，在x∈[2，3]单调递增，∴g(x)min=4+a．

∴5≥4+a，解得a≤1．

∴实数a的取值范围是(－∞，1]．

故答案为：．

3(★★★)已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为　   　．

【答案】

【解析】①a≥2时，当x≥a时，f(x)=－x(x－a)，当x<a时，f(x)=－x(a－x)，画出y=f(x)的图象(如右图)：

x1∈(2，+∞)时，f(x1)∈(－∞，0]，

而对任意的x1∈(2，+∞)，都存在x2∈(－1，0)，使得f(x1)•f(x2)=－4，

要求f(x2)∈(0，+∞)．而x2∈(－1，0)时，令f(－1)=a，则有f(x2)∈(0，a)，不符题意；

②a<2时，当x≥a时，f(x)=－x(x－a)，当x<a时，f(x)=－x(a－x)，画出y=f(x)的图象(如下图)：

当x1∈(2，+∞)时，f(x1)∈(－∞，f(2))，

即f(x1)∈(－∞，2a－4)，则f(x2)∈(0，)时，f(x1)f(x2)=－4成立才有可能；

x2∈(－1，0)，则f(x2)∈(0，f(－1))，f(－1)=a+1，需满足f(－1)，即1+a，

即(a+1)(2－a)≥2，a(a－1)≤0，解得0≤a≤1，

所以a的最大值为1．

故答案为：1．

4(★★★) 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值是　   　．

【答案】0

【解析】，，

恒成立，且x1，x2∈(0，+∞)，

∴x1x2+x22>0，x1+x2>0，

得k，

令t，g(t)=tlnt－lnt，(t>0且t≠1)，

则g′(t)=lnt+1，令g′(t)=0，得t=1．

∴当t∈(0，1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，

当t∈(1，+∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，

∴g(t)min>g(1)=0．

∴k≤0．

则实数k的最大值是0．

5(★★★) 设，．

(1)求在上的值域；

(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．

【答案】(1)   (2)

【解析】(1)法一：(导数法在上恒成立．

在上增，

值域．

法二：，用复合函数求值域．

法三：

用双勾函数求值域．

(2)值域，在上的值域．

由条件，只须．

．

6(★★★) 设函数在开区间内有极值．

(1)求实数的取值范围；

(2)若．求证：．

【答案】(1)   (2)略

【解析】(1)解：函数f(x)的定义域是(0，1)∪(1，+∞)，

f′(x)，

由f′(x)=0在(0，)内有解，

令g(x)=x2－(2－2a)x+1，

由g(0)=1>0，所以g(1<0，

解得：a，

即a的取值范围是；

(2)证明：由(1)f′(x)<0，

令g(x)=x2－(2－2a)x+1=(x－α)(x－β)，

不妨设0<α，则β>2，则αβ=1，α+β=2－2a，

故f′(x)<0⇔α<x<1，1<x<β，

由f′(x)>0⇔x<α或x>β，

得f(x)在(0，α)内递增，在(α，1)内递减，

在(1，β)内递减，在(β，+∞)递增，

由x1∈(0，1)，得f(x1)≤f(α)=lnαa，

由x2∈(1，+∞)，得f(x2)≥f(β)=lnβa，

所以f(x2)－f(x1)≥f(β)－f(α)，

因为αβ=1，α+β=2－2a，a，

所以f(β)－f(α)=lnβa－lnαa

=lnβ－ln2a•()≥2lnβ+β，

令h(β)=2lnβ+β(β>2)，

则h′(β)10，(β>2)，

所以h(β)在(2，+∞)上单调递增

故h(β)>h(2)=2ln2，

所以f(x2)－f(x1)>2ln2．