专题2 求数列的前n项和 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版+教师版)

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求数列的前项和求数列的前项和是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.     【方法一】公式法若已知数列是等差或等比数列，求其前项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下等差数列求和公式   等比数列求和公式 . 【典题1】求和式，先思考它是几项之和再求和.【解析】和式相当于数列的和，显然它是首项，公比的等比数列，设前项和为，故，而和式最后一项是，是第项，故和式只有项而已，则   (切勿想当然和式等于).  【点拨】求和式时特别要注意确定项数，以第一个数为首项，判断最后一项为第几项(第项、第项？)便可. 【典题2】已知等比数列前项和为，且．求数列的通项公式；若，求数列的前项和．【解析】(1)由于    ①，当时，，当时，     ②，①－②得，即数列为等比数列，，又，解得．故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．(2)，所以，(遇到绝对值，则可利用去掉绝对值，则求前项和时要注意分类讨论)当时，   ． (是等差数列，可由前项和公式得)当时，         ，．【点拨】当确保数列为等差数列或等比数列，便可直接使用对应的前项和公式，这需要明确等差数列通项公式形如，等比数列通项公式形如. 巩固练习1 (★★) 求和式. 【答案】【解析】.  2 (★★) 已知是等差数列，公差，，且成等比数列，求数列的前项和．【答案】【解析】数列是等差数列，公差，，且成等比数列，，解得或舍)，，，数列是首项为，公比为的等比数列，．3 (★★) 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，求等差数列的通项公式；若公差，求数列的前项和．   【答案】(1) 或  (2) 【解析】(1)由，得,所以，又得，即，所以或，即或；当公差时，，1)当时，，；设数列的前项和为，则，2)当时，，所以数列的前项和，．4 (★★★) 设是公比大于的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列．  求数列的等差数列．  令，求数列的前项和．【答案】(1)   (2) 【解析】由已知得：，解得，设数列的公比为，由，可得，，又，可知，即，解得，，由题意得，，，故数列的通项为．由于，，由得，，又为常数，为等差数列，，故，其中． 【方法二】 倒序相加(乘)法1 对于某个数列，若满足，则求前项和可使用倒序相加法.具体解法：设   ①把①反序可得 ②由①②得.2 对于某个数列，若满足，则求前项积可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法. 【典题1】 设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值为　 　．【解析】设，则．所以，，，，． 【点拨】课本中推导等差数列前项和的公式的方法就是倒序相加法.  【典题2】 求的值 【解析】设…………. ①  将①式右边反序得  …………..②    ①②得                                                               .【点拨】对于某个数列，若满足，则可使用倒序相加法.   【典题3】 设函数的图象上两点、，若，且点的横坐标为．(1)求证：点的纵坐标为定值，并求出这个定值；(2)求.【解析】(1)证：，是的中点 ．．． 解：由知，，，(即横坐标之和为，则对应的坐标之和为，则有，想到倒序相加法)由，，相加得 ，        ，．   巩固练习1 (★★) 设等差数列，公差为，求证：的前项和.【解析】 ①倒序得：  ②①+②得：又.2(★★) 设，求的值为　 　.【答案】11【解析】用倒序相加法：令    ①则也有   ②由可得：，于是由①②两式相加得，所以；3(★★) 设函数，求的值　　．   【答案】【解析】函数，，． 【方法三】 分组求和法1 若数列中通项公式，可分成两个数列，之和，则数列的前项和等于两个数列，的前项和的和.2 常见的是等差等比形式 3 等比数列的通项公式形如，等差数列的通项公式形如. 【典题1】求数列的前项和.【解析】设，(其中可知数列是等比数列，数列是等差数列)   (把等比项和等差项分别放在一组)  (确定好首项和公差、公比)         . 【典题2】已知等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【解析】(1)等差数列的前项和为，设公差为，，解得，故；(2)由于，，又数列满足，，则． 【典题3】 设数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的值．【解析】(1)数列满足，．，，当时，也符合上式，数列的通项公式为．(2) ，， (这里把数列分成数列和，再用公式法求解)，．巩固练习1 (★★) 已知数列的通项，若数列的前项和为，则　  　．   【答案】【解析】数列的通项，若数列的前项和为，则．则2 (★★) 数列，，，…，的前项和为　    　．   【答案】【解析】数列的前项和为．3 (★★★) 已知数列是等比数列，公比为，数列是等差数列，公差为，且满足：，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．   【答案】(1) (2) 【解析】(1)设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由题意知，由已知，有，即，解得．的通项公式为，的通项公式为；(2)由(1)知，，则．4(★★★) 已知公差不为0的等差数列的前项和，且第项、第项、第项成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．   【答案】(1) (2) 【解析】(1)设公差为，且的等差数列的前项和，且第项、第项、第项成等比数列．所以，整理得，解得，故．(2)由(1)得：数列满足，所以． 【方法四】 错位相减法当数列的通项公式,其中为等差数列, 为等比数列.   【典题1】 已知递增的等比数列满足，且是的等差中项．求数列的通项公式；令，，求．【解析】设数列的公比为，由题意可知， 即，解得或舍) .， (其中是等差数列，是等比数列，可用错位相减法) 得 ． (最后可用检验运算结果是否正确) 【典题2】 已知正项数列的前项和为，满足．求数列的通项公式；记数列的前项和为，若，求；求数列的最小项．【解析】由，得到，两式相减得：，整理得：，由于数列是正项数列，所以，当时，解得．故．由(1)得：，(其中是等差数列，是等比数列，可用错位相减法)        ①， ②①－②得：，化简得 ．，(做差法判断数列的单调性，从而求出最小项)当时，，当时，，故，故数列的最小值为． 巩固练习1 (★★★) 设等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．   【答案】(1)   (2) 【解析】(1)由题意，设等差数列的公差为，则，整理，得，解得，．(2)由题意，令，则，则，，两式相减，可得，，，，．2 (★★★) 正项数列的前n项和为，且．求，的值及数列的通项公式；记，数列前的和为，求证：．   【答案】(1) (2) 见解析【解析】时，，解得时，，解得(负值舍去)．①．②．①－②可得，，⇒或，⇒或(舍去)，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，故，，③，④，③－④可得4(，．3 (★★★) 已知等比数列满足，，正项数列前项和为，且．求数列和的通项公式；令，求数列的前项和；若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围．【答案】(1) (2)    (3) 【解析】设等比数列的公比为，由，，得，解得．．由，得，当时，，两式作差可得：，整理得：．，，即．又，．则；，．则．．；由知，．，数列为单调递减数列．的最大值为．时，对所有的正整数都有成立，，可得，而当时，，当且仅当时等号成立．．即的取值范围是．4(★★★) 已知数列满足：且，数列的前项和满足：．(1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；(2)若，数列的前项和为，对任意的，恒成立，求实数的取值范围．  【答案】(1) (2) 【解析】(1)证明：，．数列{}为等差数列，又，，公差为．，则；，①令，得，，②由②－①得：．．为等比数列，且．；．，①，②由①－②得：．．而，．恒成立，．令，．递增，则．故． 【方法五】 裂项相消法 常见裂项公式，；   ，. 【典题1】 设等差数列满足，，则数列的前项的和等于　　．【解析】，，又，，，，)     (因式分解裂项是关键)数列的前项的和为：.【点拨】本题是用了常见的裂项公式，，思考下以下各项怎么裂项：，，. 【典题2】数列的通项公式，则该数列的前项和等于     .【解析】       .【点拨】 ① 本题是用了常见的裂项公式，有些类似分母有理化，与互为“共轭根式”.② 思考下以下各项怎么裂项：，，. 【典题3】 等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为　　．【解析】由题意，可知，则， ．【点拨】① 本题的裂项需要一些技巧，可这么猜想中分母有与，往裂项的角度思考，那它是否等于(当然是分母小的减去分母大)呢？我们就看下通分后的结果与“目标”不相等，但是倍的关系，故可得.② 在裂项的技巧中，大胆猜想再小心验证便可.思考下以下各项怎么裂项：. 【典题4】 已知数列满足，，．(1)求证：是等差数列；(2)证明：．【解析】证明： 是以为首项，为公差的等差数列． 由知： ，(放缩法)    (裂项相消求和) ．【点拨】① 在数列中求证不等式，利用放缩法是常用的方法，但技巧性较高.② 要证明，用到放缩法的话，可考虑把“放大些”，则要把分母“缩小些”，缩小多少呢？那“消掉”常数项，对来说“影响较小”，并且放缩后还能裂项求和. 巩固练习1 (★★) 数列满足，其前项和为．若恒成立，则的最小值为　　．   【答案】【解析】)，可得其前项和))，由，可得，恒成立，可得，即的最小值为．2 (★★★) 已知正项数列的前项和为，对有，令，设的前项和为，则在中有理数的个数为　 　．   【答案】9【解析】，当时，，整理得：，又数列的每项均为正数，，又，即，数列是首项、公差均为的等差数列，，•，数列的前项和为，要使得为有理数，只需为有理数即可，即，，，即在中有理数的个数为个，故答案为：．3 (★★★) 已知数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：．   【答案】(1)  (2) 见解析【解析】(1)解：由题意，当时，，即，解得，当时，由，可得：，两式相减，可得：，整理，得，两边同时乘以，可得：1，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，．证明：由知，bn，则，，，，，．4(★★★) 已知数列满足，．证明：数列{}是等差数列，并求数列的通项公式；设，求数列{bn}前项和．   【答案】(1) (2) 【解析】证明：由，得，再由，得，数列{}是首项为，公差为的等差数列，，则；解：由，得，数列前项和．5 (★★★) 设数列的前项和为，已知，．求的通项公式；若数列满足，求的前项和．   【答案】(1) (2) 【解析】，则，两式相减得：，，，且，是以为首项，为公差的等差数列，．)．6 (★★★★) 设Sn为数列的前项和，且，．(1)求证：数列是等比数列；(2)若对任意为数列的前项和，求证：．   【答案】(1) 见解析 (2)见解析【解析】证明：(1)由，得，两式相减得，所以，即，又，且，解得，满足，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，(2)由(1)可知，即，令，则，所以．7(★★★★) 已知数列的前项和为，已知，，．求数列的通项公式；证明：．   【答案】(1)   (2)见解析【解析】依题意，当时，，解得，当时，由，可得：，两式相减，可得：，即，两边同时乘以，可得：，又，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，即，．证明：由题意及，可知：当时，，不等式成立，当时，，不等式也成立，当时，，)) ，综上所述，可知，对均成立．故得证．