【期末总复习】人教A版(2019)高二数学选择性必修第二册——专题06 导数的概念、计算与几何意义（知识梳理）

专题06   导数的概念、计算与几何意义（知识梳理）

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重难点突破

考点一、导数的概念

定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作

例1．（1）、（2021·江苏·高二专题练习）函数在处的导数可表示为，即（    ）．

A． B．

C． D．

（2）、（2021·江苏·高二专题练习）设在处可导，则（    ）．

A． B．

C． D．

（3）．（2021·江苏·高二专题练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同

B．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同

C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同

D．在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同

（4）．（2021·陕西·西安市信德中学高二期中（理））已知函数在处可导，若，则________．

（5）．（2021·全国·高二课时练习）已知物体做自由落体的运动方程为，且无限趋近于0时，无限趋近于9.8m/s．那么关于9.8m/s正确的说法是（    ）．

A．物体在0~1s这一段时间内的速度

B．物体在这一段时间内的速度

C．物体在1s这一时刻的速度

D．物体从1s到这一段时间内的平均速度

【变式训练1-1】、（2021·江苏·高二课时练习）若，则（    ）

A．－4 B．4

C．－1 D．1

【变式训练1-2】、（2021·江苏·高二课时练习）（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练1-3】、（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））若函数，则________．

考点二、导数的概念

1．基本初等函数的导数公式

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则；

（5）若，则；

（6）若，则；

（7）若，则；

（8）若，则．

2．导数运算法则

（1）；

（2）；

（3）．

3．复合函数的导数

（1）复合函数的定义

一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作．

（2）复合函数的求导法则

复合函数的导数和函数，的导数间的关系为___________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

例2．（1）、（2021·全国·高二课时练习）设，则______．

（2）、（2021·全国·高二课时练习）（多选）以下运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

（3）．（2021·全国·高二课时练习）函数的导数为（    ）

A． B．

C． D．

（4）．（2021·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习（文））已知函数的导数为，且，则（    ）

A． B． C．1 D．

【变式训练2-1】、（2021·河北省唐县第一中学高二阶段练习）已知函数，则的值为______．

【变式训练2-2】、（2021·全国·高二课时练习）（多选题）下列求导运算不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练2-3】、（2021·全国·高二课时练习）若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【变式训练2-4】、（2021·广西河池·高二阶段练习（理））已知，则（    ）

A． B． C． D．

例3．（2021·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【变式训练3-1】、（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．

（1）

（2）

（3）；

（4）

（5）

（6）．

考点三、导数的几何意义

1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A.这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线.

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向不断接近，当与距离非常小时，观察直线是否稳定在一个位置上.

（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数在处的切线，与曲线有两个公共点.

（3）在定义中，点不断接近包含两个方向，点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如在处，通过观察图像可知，当左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，而当右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为，两个不同的方向极限位置不相同，故在处不含切线.

（4）由于点沿函数曲线不断向接近，所以若在处有切线，那么必须在点及其附近有定义（包括左边与右边）

2、函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：

（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.

（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子在处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：在处不可导.

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数.

例4．（1）、（2021·四川·高三阶段练习（理））若曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A．3 B． C．2 D．

（2）．（云南省三校2022届高三高考备考实用性联考（三）数学（理）试题）函数的图象在处的切线倾斜角为150°，则实数______．

（3）．（2021·全国·高三专题练习（文））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________.

【变式训练4-1】、（2021·天津蓟州·高三期中）曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练4-2】、（2021·四川雅安·模拟预测（文））函数在处的切线方程为___________.

【变式训练4-3】、（2021·江西·高安中学高二阶段练习（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．