专题1 分类讨论含参函数的单调性-(人教A版2019选择性必修第二、三册) (学生版+教师版)

分类讨论含参函数的单调性

1 导数与函数单调性的关系

在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；

若，则函数在这个区间内单调递减．

2 对含参函数单调性的分析思路

(1) 如何分析原函数的单调性？

答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性.

(2) 那如何分析导函数的正负性呢？。

答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图).

(导函数看“零点”，原函数看单调性)

(3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？

答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题：

① 导函数是否存在零点；

② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？

③ 零点是否在定义域内？

(4) 怎么做到准确的分类讨论呢？

答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准；

② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”.

3 各模型分类讨论的标准

分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据.

“一次函数”型：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小；

“二次函数”型：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小；

“指数函数”型：是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论.

【题型一】原函数图象与导函数图象间的转化

【典题1】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是(　　)

A．        B．

C．         D．

【解析】由的图象可知，函数的增区间为，；

减区间为，；观察选项可知，只有选项符合题意；故选：．

【点拨】导函数的零点才影响到导函数的正负性，从而影响到原函数单调性，而没影响！充分理解导函数的穿线图与原函数的趋势图之间的关系.

1 (★) 函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是 (　  )

【答案】D

2 (★) 已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，

则的图象可能是(　　)

【答案】 B

【题型二】 “一次函数”型

【典题1】求函数的单调区间.

【解析】的定义域是，(优先讨论函数定义域)

，

(通分，，则的正负性等价于的正负性)

(判断的函数类型，分和)

(1)当时，，在上递增；

(2)当时，令，解得，

(一次函数的斜率正数还是负数会影响导函数的正负性，分和讨论；同时注意零点与定义域端点的比较，结合图像就容易理解)

  ①当时，，在上，，递增；

  ②当时，，

 在上，，递增；在上，，递减；

综上所述，

当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减.

【点拨】

① 本题分类讨论的思考：

；

② “一次函数”型要注意的是：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小！

③ 本题对于导函数的分类讨论，您还可以有两个角度:

(1)从代数角度，，则时，而时有零点；

(2) 看成分式函数上下平移得到，则时图象与轴相离且，而时与轴相交，即有零点.故分类的角度可以多样的，要灵活处理.

1 (★★) 求函数的单调区间.

【答案】若，在上为增函数；

若，则在上为减函数，在上为增函数；

若，则在上为增函数，在上为减函数.

【解析】

　令，即　(这里需要对方程的类型讨论)

(1)若时，，在上为增函数，

(2)若时，则由得 (这里需要对的斜率讨论)

① 若时，

当时，，递减；当当时，，递增；

② 当时，

当时，，递增；当时，，递减；

综上所述：若，在上为增函数；

若，则在上为减函数，在上为增函数；

若，则在上为增函数，在上为减函数.

2 (★★) 已知是实数，求函数的单调区间.

【答案】当时，在递增；

当时，在递减，在递增.

【解析】函数的定义域为，

，由得.

(考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论)

(1)当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为.

(2)当时，由，得；由，得.

因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为.

综上所述

当时，在递增；

当时，在递减，在递增.

3 (★★)求函数的单调区间.

【答案】若时，在上递增；

若时，在上递增，在递减.

【解析】；(求导后通分)

的定义域是，

与的符号是一致的.

(那我们只需要在各区间符号问题，注意数形结合)

(1)若时，在上递增；(判断的函数类型)

(2)若时，令，得；

①若时，当时，，递增；

②若时，

当时，，递增；当时，，递减；

综上所述

若时，在上递增；

若时，在上递增，在递减.

 (该题把导函数看成反比例函数的图像进行更容易些)

【题型三】 “二次函数”型

【情况1】讨论开口方向

已知函数， 当时，讨论函数的单调性.

【解析】的定义域为，

，

(因为，所以的正负性等价于的正负性；先确定函数类型，分和)

(1)若时，，故在单调递增；

(2)若时，

(抛物线的开口方向会影响导函数的正负性，分和)

①若时，，故在单调递增；

  ②若时，令，解得，

 则当时，，递增；当时，，递减.

综上所述

当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减.

【点拨】

① 本题分析函数的正负性，先确定是否二次函数，再确定二次函数开口方向.

② 从代数的角度，也可知当时，时有零点，分和

两种情况讨论便可.

【情况2】 讨论判别式

求函数的单调性.

【解析】，其判别式为，

 (不一定能在实数内因式分解，故思考导函数是否存在零点，由判别式决定，分和讨论)

(1)若，即时，在上递增；

(2)若，即或时，

令，解得或，其中，

当时，递减；当或时，递增.

综上所述，当时，在上递增；

当或时，在上递减，

在递增.

【点拨】对于“二次函数”型，求导后要思考下能否可以因式分解，若不能，则对判别式进行讨论，确定导函数零点存在情况！

【情况3】 讨论零点大小

求函数的单调区间.

【解析】的定义域为

(求导后通分、因式分解，确保有零点存在)

令，得，

(对导函数零点与定义域端点三者比较大小，先比较与的大小，分和)

(1)若时，

当时，，递减；当时，，递增；

(2)若时，

(判断导函数零点的大小，分、、三种情况)

 ①时，

  ，递增；(不要遗忘零点相等的情况)

②时，

  当或时，，递增；当时，，递减；

③时，

   当或时，，递增；当时，，递减.

综上所述

当时，递减区间为，递增区间为；

当时，递增区间为；

当时，递增区间为或，递减区间为；

当时，递增区间为或，递减区间.

【点拨】

① 求导后能够因式分解，说明导函数存在零点；

② 若函数存在零点，需要注意零点的大小比较，并且零点是否在定义域范围内，结合图象会更容易得到分类讨论的标准！

【综合题型】

讨论的单调性.

【解析】的定义域为，(注意函数的定义域)

，(通分，因式分解)

令，此时与符号相同.

(第一步：讨论函数类型)

(1)当时，

 当时，，即，函数单调递增；

 当时，，即，函数单调递减；

(2)当时，由，解得；

(第二步：讨论开口方向)

  ①当时，抛物线开口向下，

由于     留意导函数零点和定义域的大小)

    时，，即，函数单调递增；

 时，，即，函数单调递减.

②当时，抛物线开口向上，

(第三步：比较导函数零点大小)

  ⅰ 当时，，恒成立，即，函数在上单调递增；

 ⅱ 当时，，，

   或时，，即，函数单调递增；

   时，，即，函数单调递减；

   ⅲ 当时，

      或时，，函数单调递增；

   时，，即，函数单调递减；

    ⅳ 当时，，

      时，，即，函数单调递减；

时，，即，函数单调递增；

综上所述：

 当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减；

 当时，函数在上单调递增；

 当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减，

                 在上单调递增，

    当时，函数在单调递减，在单调递增；

当时，函数在单调递减；在单调递增.

【点拨】

①求导后，通分，因式分解是个好习惯，能因式分解说明不需要讨论.

② 分类讨论思路

③“二次函数”型，经常分类讨论的标准有：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端点的大小；

④分类讨论的次序不是固定的，本题中也可以先讨论零点大小，再讨论零点与定义域端点的大小；

⑤在讨论繁琐时，建议以思维导图形式，画“导函数穿线图和原函数趋势图”梳理思路.

1 (★★) 讨论函数的单调性.

【答案】当时，在上递增；当时，在上递减；

 当时，在上递增，在上递减．

【解析】的定义域为，.

(1)当时，，在上递增；

(2)当时，

①若，，在上递增；

②若

ⅰ若，，在上递减；

ⅱ若，令，解得，

则当时，；当时，；

故在上单调递增，在上单调递减．

综上所述；

当时，在上递增；

当时，在上递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

2 (★★★) 若函数，求函数的单调区间.

【答案】时，的递减区间为，

           递增区间为：；

  时，递减区间为，递增区间为；

  时，的减区间为，增区间为.

【解析】的定义域,，

设,，

(1)当时，，

,,即，所以在单调递减；

,，即，所以在单调递增；

(2)当时，因为,，

①若,即时，在上即，

所以在单调递减.

②若时，令得，此时

当或时，，递减；

当时，，递增.

(3)当时，因为,，

所以有一正一负两根，解得,

当时，，递减；

当时，，递增.

综上所述：

时，的减区间为,增区间为：;

时， 递减区间为，递增区间为;

时， 的减区间为，增区间为.

3 (★★★★) ，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】.

【解析】的定义域为,

设

设

(求导后因式分解，最好用十字相乘法，只要判别式一定不小于，那就一定可以因式分解，比如本题，若判别式是完全平方式最好了.)

令，和的符号保持一致)

(第一：对函数类型的讨论)

(1)若, ，则，

所以在上为增函数，，不符合要求；

(2)若,令，得，

(第二：对开口方向进行讨论，同时注意对两零点的大小，定义域的端点的大小)

①当时，，不满足题意；

注意到了，能避免很多讨论)

②当时，

，在上，，，所以在上为增函数，

若要满足题意只需要，解得；

综上所述：的取值范围为.

【题型四】 “指数函数”型

【典题1】举一个与导函数的正负性一致的导函数：      .

【解析】导函数由和相乘，

而，的正负性分别与，的正负性一致，

则导函数的正负性与的正负性一致，

在为负，在为正.

【点拨】若能把“指数函数”型转化为“二次函数”型，那在画“导函数穿线图”上会显得更简单.

【典题2】已知函数求函数的单调区间.

【解析】，

若时，在上递增；

若时，令，解得

当时，递增；当递减.

综上所述：

若时，在上递增；

若时，在递增，在递减.

【点拨】

①导函数的图象可以看成是由上下平移而来，当时，图象向上平移，不产生零点；当时，图象向下平移，存在一个零点.

②不要一开始就令，误认为导函数一直存在零点，其实看下，也可知当时，才有意义！

【典题3】求函数其中的单调性.

【解析】由题意得，

(求导因式分解，知道存在零点，那要分析的正负性)

(1)若时，

 当时，，递减；当时，，递增；

(2)若时，令⇒或；

(比较两个零点的大小，此时正负性等价于的正负性)

  ①当时，，，在上递增；

  ②若时，，

  当时，，递减；

  当或时，，递增.

 ③若时，，

    当时，，递减；

    当或时，，递增.

综上所述

当时，在递减，在递增；

当时，在上递增；

当时，，在递减， 在递增；

   当时，在递减， 在递增.

【点拨】

① 求导后的因式分解很重要，从而确定零点个数；

② 当时，导函数正负性转化为二次函数

的正负性，转为熟悉模型，更容易分析！

1. (★) 以下哪个导函数的正负性与导函数的正负性一致 (    )

【答案】 D

2. (★★) 求函数的单调性.

【答案】当时，在上单调递增；

 当时，时单调递减，时单调递增；

 当时，时单调递减，时单调递增．

【解析】，

(1)若时，，此时在上单调递增； 

(2)若时，令，解得，

   当时，，单调递减；

   当时，，单调递增；

(3)若时，令，解得，

   当时，，单调递减；

   当时，，单调递增； 

综上，当时，在上单调递增；

当时，时，单调递减，时单调递增；

当时，时，单调递减，时单调递增．

3. (★★★) 求函数的单调性.

【答案】当时，在递减；在递增；

 当时，在上递增；

 当时，在，递增，在递减；

 当时，在，递增；在递减．

【解析】，

(1)若时，  

  当时，，递减；当时，，递增；

(2)若时，由，解得或，

①若时，,，在上递增；

②若时，

   当时，，递减；

   当或时，，递增.

③若时，,

   当时，，递减；

   当或时，，递增.

综上：当时，在递减；在递增；

当时，在上递增；

当时，在，递增，在递减；

若时，在，递增；在递减．

4 (★★★★) 讨论函数的单调性.

【答案】当时，在递减，在递增；

  当时，在上递减；

当时，在递增， 在递减；

  当时，在递增， 在递减.

【解析】．

(1)若时，,

   当时，，递减；当时，，递增;

(2)若时，

令，解得

①若时，，，在内单调递减;

②若时，，

   当或时，，递减；

   当时，，递增.

则函数f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，x0)内单调递增，在(x0，+∞)内单调递减．

③若时，，

   当或时，，递减；

   当时，，递增.

综上所述

当时，在递减，在递增；

当时，在上递减；

当时，在递增, 在,递减；

  当时，，在递增, 在,递减.

【题型五】 “二次求导”型

【典题】求的单调性.

【解析】 ，

令，故，

当时，，故在上单调递增，

(要注意三角函数有界性)

(此时，分析导函数是否有零点，分和讨论.)

①当时，，即，

故在上单调递增；

②当时，，且，

故存在，使得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上先减后增.

【点拨】

① 当一次求导后的导函数不属于前面三种情况，形式比较复杂，若能分析出的图象，分析其正负性时就容易些，那函数可以“二次求导”分析的单调性、最值从而得到函数图象.

② 解题思考图如下

③ 解题的整体思想还是数形结合，有些复杂题型可能还要三次求导.

1(★★) 求函数，，的单调区间.

【答案】的单调递减区间是，没有单调递增区间．

【解析】根据题意，，则．

令 ，，则 ．

所以在区间上单调递减，

因为 ，所以，即 ，

所以的单调递减区间是，没有单调递增区间．

2(★★★) 求函数的单调性．

【答案】当时，在递增；当时在上先增后减再增.

【解析】的定义域是，，

令，则

令，解得．

当时，，递减；当时，，递增；

,

① 若，即时，则，即，递增．

② 若，即时，，．

所以，使得；

且当时，，即，递减；

当时，，

综上所述，当时，在递增；当时在上先减后增.