初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形第2课时教案

第2课时　等腰三角形的判定

教学目标

【知识与技能】

1.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明;

2.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用.

【过程与方法】

经历探索等腰三角形判定定理证明的过程;经历用反证法证明问题的过程,能够用反证法证明简单的命题.

【情感、态度与价值观】

通过等腰三角形判定定理的证明过程,培养学生的逆向思维能力.

教学重难点

【教学重点】

等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.

【教学难点】

理解并运用反证法.

教学过程

一、情境导入

问题1:等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的题设和结论分别是什么?

问题2:我们是如何证明上述定理的?

问题3:前面,我们改变问题条件,得出了很多类似的结论,这是研究问题的一种常用方法,除此之外,我们还可以“反过来”思考问题,这也是获得数学结论的一条途径.例如“等边对等角”,反过来成立吗?

二、合作探究

探究点1　等腰三角形的判定

典例1　如图,在ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F,FD∥AC交BC于点D.求证:△AEF是等腰三角形.

[解析]　∵FD∥AC,

∴∠PFD=∠E,∠FDB=∠C.

∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠FDB=∠B,

∴FB=FD.

又∵EP⊥BC,∴∠PFB=∠PFD.

∵∠PFB=∠AFE,∴∠PFD=∠AFE.

∵∠PFD=∠E,∴∠E=∠AFE,

∴AE=AF,即△AEF是等腰三角形.

探究点2　反证法

典例2　用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.

求证:在△ABC中,∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.

[解析]　假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°,于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.

这与三角形内角和定理相矛盾,

因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立,

所以一个三角形中不能有两个角是直角.

　　反证法也称归谬法,其证明问题的步骤是:(1)假定命题的结论不成立,而命题的反面成立(如果命题的反面不止一种情况时,要注意分类讨论);(2)进行严格的推理论证,并推出矛盾,即推出与已知条件矛盾或与公理、定理矛盾;(3)由于上述矛盾,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的;(4)确定原来命题的结论是正确的.

变式训练　如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内的一点,且∠APB>∠APC.

求证:PB<PC(反证法).

[解析]　假设PB≥PC.

如图,把△ABP绕点A逆时针旋转,使点B与点C重合.

∵PB≥PC,PB=CD,∴CD≥PC,

∴∠CPD≥∠CDP.

又∵AP=AD,∴∠APD=∠ADP,

∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP,即∠APC≥∠ADC.

又∵∠APB=∠ADC,∴∠APC≥∠APB,与∠APB>∠APC矛盾,

∴PB≥PC不成立,

∴PB<PC.

三、板书设计

等腰三角形的判定

等腰
三角
形的
判定

教学反思

在探索等腰三角形的判定定理时,通过让学生回忆性质与判定互逆的定理,猜测等腰三角形的判定,然后验证猜测,进而证明得出等腰三角形的判定定理.对于教材中的例题,属于文字表述的几何命题式的证明,首先要求学生写出已知和求证,独立思考后,再在小组内讨论,最后与教材中规范的证明过程对比,再小组交流、讨论,独立书写解题过程,这种学生自主学习的形式代替老师的讲解,能使学生的印象更加深刻.