人教版高中数学选择性必修第一册《圆锥曲线》基础练习卷(2份打包，教师版+原卷版)

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人教版高中数学选择性必修第一册《圆锥曲线》基础练习卷一              、选择题1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1        B.x2＋＝1    C.＋y2＝1        D.＋＝1【答案解析】答案为：B；解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.2.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)A.5         B.4        C.3         D. 1【答案解析】答案为：B解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.3.已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1                B.－＝1C.－＝1或－＝1      D.－＝1或－＝1【答案解析】答案为：C解析：因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.4.以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)A.＋＝1        B.＋＝1       C.＋＝1        D.＋＝1【答案解析】答案为：D解析：方程可化为－＝1，∴焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．从而椭圆方程中，a＝4，c＝2，∴b＝2.∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1.5.到定点A(2，0)与定直线l：x＝﹣2的距离相等的点的轨迹方程为(　　)A.y2＝8x           B.y2＝﹣8x         C.x2＝8y           D.x2＝﹣8y【答案解析】答案为：A；解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p＝4，焦点在x轴正半轴上，故选A.6.焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是(　　)A.y2＝20x         B.x2＝20y         C.y2＝x           D.x2＝y【答案解析】答案为：B；解析：由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.7.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是(　　)A.              B.             C.            D.【答案解析】答案为：D.解析：不妨令椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0).因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，所以2b＝，即a＝3b，则c＝＝2b，则该椭圆的离心率e＝＝.故选D.8.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)A.1﹣          B.2﹣         C.         D.﹣1【答案解析】答案为：D；解析：在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝m，又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)m，则离心率e＝＝＝＝﹣1.故选D.9.已知双曲线﹣＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)A．±          B．±          C．±           D．±【答案解析】答案为：D；解析：由m2＋16＝52，解得m＝3(m＝﹣3舍去)．所以a＝5，b＝3，从而±＝±，故选D．10.已知双曲线－＝1(b＞0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)A.2        B.2     C.6         D.8【答案解析】答案为：D解析：设双曲线的焦距为2c.由已知得＝b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，则该双曲线的焦距为8.11.已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)A.2       B.       C.       D.【答案解析】答案为：C解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4.又p＝1，所以x1＋x2＝3.所以点C的横坐标是＝.12.已知双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2，﹣1)，则双曲线的焦距为(　　)A.2          B.2            C.4          D.4【答案解析】答案为：B;解析：由解得由题得知解得又知＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝，∴焦距2c＝2.二              、填空题13.设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的值是________.【答案解析】答案为：或.解析：当k＞4 时，有e＝ ＝，解得k＝；当0＜k＜4时，有e＝ ＝，解得k＝.故实数k的值为或.14.已知P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________.【答案解析】答案为：.解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2﹣＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.15.已知双曲线经过点(2，1)，其一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的标准方程为________.【答案解析】答案为：－y2＝1.解析：设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，由题意可知：解得：则双曲线的标准方程为：－y2＝1.16.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于________.【答案解析】答案为：90°.解析：由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称.设A(-a,)，B(a,)，a＞0，S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4.所以 △AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.三              、解答题17.求经过点A(，﹣2)和点B(﹣2，1)的椭圆的标准方程.【答案解析】解法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).依题意有解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).依题意有解得因为a＜b，所以方程无解.故所求椭圆的方程为＋＝1.解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.18.已知点P为双曲线x2－＝1上的点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|＝24，求△PF1F2的周长.【答案解析】解：由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，又|PF1|·|PF2|＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝＝10.又因为|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋2.       19.若抛物线y2＝﹣2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为﹣9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标.【答案解析】解：由抛物线定义，设焦点为F.则准线为x＝，M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10.则﹣(﹣9)＝10，∴p＝2.故抛物线方程为y2＝﹣4x.将M(﹣9，y)代入抛物线方程得y＝±6.∴M(﹣9，6)或M(﹣9，﹣6).20.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值.【答案解析】解：(1)根据c＝及题设，知M(c,)，2b2＝3ac.将b2＝a2﹣c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝﹣2(舍去)，故C的离心率为.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②，得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. 21.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，﹣).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.【答案解析】解：(1)∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2﹣y2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，﹣)，∴16﹣10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2﹣y2＝6，即﹣＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(﹣2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝﹣.∵点M(3，m)在双曲线上，∴9﹣m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝﹣1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(﹣2，0)，F2(2，0)，＝(﹣2﹣3，﹣m)，＝(2﹣3，﹣m)，∴·＝(3＋2)×(3﹣2)＋m2＝﹣3＋m2，∵点M(3，m)在双曲线上，∴9﹣m2＝6，即m2﹣3＝0，∴·＝0.     22.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离.【答案解析】解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝﹣1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.23.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.【答案解析】证明：设kAB＝k(k≠0)，∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝﹣k(k≠0)，∵AB的方程是y＝k(x﹣4)＋2.联立方程组消去y后，整理得k2x2＋(﹣8k2＋4k﹣1)x＋16k2﹣16k＋4＝0.∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.∴4·xB＝，即xB＝，以﹣k代换xB中的k，得xC＝，∴kBC＝＝＝＝﹣.所以直线BC的斜率为定值.