23版新高考一轮分层练案(七)　函数的单调性与最值

这是一份23版新高考一轮分层练案(七)　函数的单调性与最值，共5页。
一轮分层练案(七)　函数的单调性与最值 A级——基础达标1．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)A．y＝在R上为减函数B．y＝|f(x)|在R上为增函数C．y＝－在R上为增函数D．y＝－f(x)在R上为减函数【答案】D　A错，如f(x)＝x3，则y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上不单调；B错，如f(x)＝x3，则y＝|f(x)|在R上不单调；C错，如f(x)＝x3，则y＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上不单调．故选D.2．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是(　　)A．(3，＋∞)    B．(1，＋∞)C．(－∞，1)    D．(－∞，－1)【答案】A　由已知易得即x>3，f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，其定义域为(3，＋∞)，令t＝(x＋1)(x－3)，则函数t在区间(3，＋∞)上单调递增，又0<0.5<1，∴f(x)在区间(3，＋∞)上单调递减．3．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，0)∪(0，1)    B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，1)    D．(0，1]【答案】D　因为f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上单调递减，所以a≤1，又因为g(x)＝在区间[1，2]上单调递减，所以a>0，所以0<a≤1.4．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，那么|f(x＋1)|<1的解集(　　)A．(－1，2)    B．(1，4)C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)    D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)【答案】A　由题意可得，f(0)＝－1，f(3)＝1，因为函数f(x)是R上的增函数，所以由|f(x＋1)|<1得－1<f(x＋1)<1，即f(0)<f(x＋1)<f(3)，因此0<x＋1<3，解得－1<x<2，即|f(x＋1)|<1的解集为(－1，2)，故选A.5．(多选)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则下列正确的是(　　)A．πe<3e    B．3e－2π<3πe－2C．logπe<log3e    D．πlog3e>3logπe【答案】CD　已知π为圆周率，e为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴>1，πe>3e，故A错误；∵0<<1，0<e－2<1，∴>，∴3e－2π>3πe－2，故B错误；∵π>3，∴logπe<log3e，故C正确；由π>3，可得log3e>logπe，则πlog3e>3logπe，故D正确．6．(多选)下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得＜0”成立的是(　　)A．f(x)＝－x2－2x＋1    B．f(x)＝x－C．f(x)＝x＋1    D．f(x)＝log(2x)＋1【答案】AD　根据题意，“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得＜0”，则函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，据此依次分析选项．对于选项A，f(x)＝－x2－2x＋1为二次函数，其对称轴为x＝－1，在区间(0，＋∞)上递减，符合题意；对于选项B，f(x)＝x－，其导数f′(x)＝1＋＞0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上递增，不符合题意；对于选项C，f(x)＝x＋1为一次函数，所以f(x)在区间(0，＋∞)上递增，不符合题意；对于选项D，f(x)＝log(2x)＋1，在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意．7．(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(　　)A．0＜a＜1    B．a＞1C．f(a＋2 019)＞f(2 020)    D．f(a＋2 019)＜f(2 020)【答案】AC　f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).设z＝|x－1|，可得函数z在区间(－∞，1)上单调递减；在区间(1，＋∞)上单调递增．当a＞1时，可得函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，可得函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误；由于0＜a＜1，可得1＜a＋2 019＜2 020，又f(x)在(1，＋∞)递减．则f(a＋2 019)＞f(2 020)，故C正确，D错误．8．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可得，存在正数x使a>x－成立．令f(x)＝x－，该函数在区间(0，＋∞)上单调递增，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．【答案】(－1，＋∞)9．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是________．解析：因为对任意x1≠x2，都有>0，所以函数f(x)在R上是增函数，所以解得≤a<2.故实数a的取值范围是.【答案】 10．探究函数f(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)的图象时，列表如下：x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…8.554.174.054.00544.0054.024.044.355.87.57… 观察表中y值随x值的变化情况，完成以下的问题：(1)求函数f(x)＝x＋(x>0)的递减区间及递增区间；(2)若对任意的x∈[1，3]，f(x)≥m＋1恒成立，试求实数m的取值范围．解：(1)由表中y值随x值的变化情况可得函数f(x)＝x＋(x>0)的递减区间是(0，2)，递增区间是(2，＋∞).(2)由表中y值随x值的变化情况可得当x∈[1，3]时，f(x)min＝f(2)＝4，所以要使对任意的x∈[1，3]，f(x)≥m＋1恒成立，只需f(x)min＝f(2)＝4≥m＋1，解得m≤3.B级——综合应用11．已知函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)A．[－2，2]    B．[－1，1]C．[0，4]    D．[1，3]【答案】D　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.12．在实数R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a；(2)对任意a∈R，a*0＝a；(3)对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c.则函数f(x)＝x*的单调递减区间是(　　)A．    B．C．    D．【答案】D　在(3)中，令c＝0，得a*b＝(a*b)*0＝0*(ab)＋(a*0)＋(b*0)－2×0＝ab＋a＋b，则f(x)＝x*＝＋＝－，易知函数f(x)的单调递减区间为.故选D.13．(多选)函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递减的充分不必要条件是(　　)A．<a<    B．≤a≤1C．≤a≤    D．≤a<【答案】AD　若函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递减，可得解得即≤a<，故当<a<或≤a<时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，故选A、D.14．已知函数f(x)＝2 021x－2 021－x＋1，则不等式f(2x－1)＋f(2x)>2的解集为________．解析：由题意知，f(－x)＋f(x)＝2，∴f(2x－1)＋f(2x)>2可化为f(2x－1)>f(－2x)，又由题意知函数f(x)在R上单调递增，∴2x－1>－2x，∴x>，∴原不等式的解集为.【答案】 15．设函数f(x)＝的图象过点(1，1).(1)求f(x)的值域；(2)若函数g(x)是二次函数，且函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，求函数g(x)的值域．解：(1)因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上变化时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．所以f(x)的值域为(－1，＋∞).(2)因为f(g(x))的值域为[0，＋∞)，且g(x)是二次函数，所以g(x)的值域是[0，＋∞).  C级——迁移创新 16．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，　所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，即f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．