高中数学高考2 第2讲 函数的单调性与最值 新题培优练
展开[基础题组练]
1.下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( )
A.y=-x B.y=x2-x
C.y=ln x-x D.y=ex-x
解析:选A.对于A,y1=在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y′=ex-1,而当x∈(0,+∞)时,y′>0,所以函数y=ex-x在(0,+∞)上是增函数.
2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
解析:选D.由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-∞,-2)∪(4,+∞),注意到函数y=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).
3.函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是( )
A.(-∞,0) B.
C.[0,+∞) D.
解析:选B.y=|x|(1-x)==函数的草图如图所示.
由图易知原函数在上单调递增.故选B.
4.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( )
A. B.[-6,-4]
C.[-3,-2] D.[-4,-3]
解析:选B.由于f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数f(x)在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故-∈[2,3],即a∈[-6,-4].
5.已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f<f(1)的实数x的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:选C.由f(x)为R上的减函数且f<f(1),得即所以-1<x<0或0<x<1.故选C.
6.函数f(x)=-的值域为________.
解析:因为所以-2≤x≤4,
所以函数f(x)的定义域为[-2,4].
又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均为减函数,
所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数,
所以f(4)≤f(x)≤f(-2).
即-≤f(x)≤.
答案:[-,]
7.设函数f(x)=的图象过点(1,1),函数g(x)是二次函数,若函数f(g(x))的值域是[0,+∞),则函数g(x)的值域是________.
解析:因为函数f(x)=的图象过点(1,1),所以m+1=1,解得m=0,所以f(x)=画出函数y=f(x)的大致图象如图所示,观察图象可知,当纵坐标在[0,+∞)上时,横坐标在(-∞,-1]∪[0,+∞)上变化.
而f(x)的值域为[-1,+∞),f(g(x))的值域为[0,+∞),
因为g(x)是二次函数,
所以g(x)的值域是[0,+∞).
答案:[0,+∞)
8.若f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围是________.
解析:由题意知,解得
所以a∈.
答案:
9.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是________.
解析:由题意知g(x)=函数图象如图所示,其递减区间是[0,1).
答案:[0,1)
10.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
解:(1)证明:设x1<x2<-2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)设1<x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,
只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,
所以a≤1.综上所述,0<a≤1.
11.已知函数f(x)=x2+a|x-2|-4.
(1)当a=2时,求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=x2+2|x-2|-4==,
当x∈[0,2]时,-1≤f(x)≤0,当x∈[2,3]时,0≤f(x)≤7,
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7,最小值为-1.
(2)因为f(x)=,
又f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,
所以当x>2时,f(x)单调递增,则-≤2,即a≥-4.
当-1<x≤2时,f(x)单调递增,则≤-1.
即a≤-2,且4+2a-2a-4≥4-2a+2a-4恒成立,
故a的取值范围为[-4,-2].
[综合题组练]
1.(应用型)已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( )
A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0
解析:选B.因为函数f(x)=log2x+在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,所以当x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0;
当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0,
即f(x1)<0,f(x2)>0.故选B.
2.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( )
A.[-1,2] B.[-1,0]
C.[1,2] D.[0,2]
解析:选D.因为当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,所以a≥0.当x>0时,f(x)=x++a≥2+a,当且仅当x=1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2,
所以a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
3.(2019·西安模拟)已知函数y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,2]
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
解析:选C.要使y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则a>0且a-1≥0,所以a≥1.故选C.
4.(创新型)如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)=x2-x+是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为( )
A.[1,+∞) B.[0,]
C.[0,1] D.[1,]
解析:选D.因为函数f(x)=x2-x+的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,又当x≥1时,=x-1+,令g(x)=x-1+(x≥1),则g′(x)=-=,
由g′(x)≤0得1≤x≤,即函数=x-1+在区间[1,]上单调递减,故“缓增区间”I为[1,].
5.(应用型)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是__________.
解析:在同一直角坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得到函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示,不难看出函数f(x)在x=2处取得最大值6.
答案:6
6.已知函数f(x)=lg(x+-2),其中a是大于0的常数.
(1)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;
(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
解:(1)设g(x)=x+-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1-=>0.
因此g(x)在[2,+∞)上是增函数,
所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.则f(x)min=f(2)=ln .
(2)对任意x∈[2,+∞),恒有f(x)>0.
即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立.
所以a>3x-x2.
令h(x)=3x-x2,x∈[2,+∞).
由于h(x)=-+在[2,+∞)上是减函数,所以h(x)max=h(2)=2.
故a>2时,恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2,+∞).
高中数学高考第04讲 函数的单调性与最值 (练)解析版: 这是一份高中数学高考第04讲 函数的单调性与最值 (练)解析版,共7页。
高中数学高考第04讲 函数的单调性与最值 (练)原卷版: 这是一份高中数学高考第04讲 函数的单调性与最值 (练)原卷版,共3页。
高中数学高考第2章 §2 2 函数的单调性与最值: 这是一份高中数学高考第2章 §2 2 函数的单调性与最值,共15页。试卷主要包含了掌握函数单调性的简单应用.等内容,欢迎下载使用。