高中数学高考2 第2讲　函数的单调性与最值　新题培优练

[基础题组练]

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)

A．y＝－x　　　 B．y＝x2－x

C．y＝ln x－x D．y＝ex－x

解析：选A.对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．

2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

解析：选D.由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．

3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)

A．(－∞，0) B.

C．[0，＋∞) D.

解析：选B.y＝|x|(1－x)＝＝函数的草图如图所示．

由图易知原函数在上单调递增．故选B.

4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A. B．[－6，－4]

C．[－3，－2] D．[－4，－3]

解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．

5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1，1) B．(0，1)

C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C.由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.

6．函数f(x)＝－的值域为________．

解析：因为所以－2≤x≤4，

所以函数f(x)的定义域为[－2，4]．

又y1＝，y2＝－在区间[－2，4]上均为减函数，

所以f(x)＝－在[－2，4]上为减函数，

所以f(4)≤f(x)≤f(－2)．

即－≤f(x)≤.

答案：[－，]

7．设函数f(x)＝的图象过点(1，1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．

解析：因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．

而f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)，

因为g(x)是二次函数，

所以g(x)的值域是[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞)

8．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．

解析：由题意知，解得

所以a∈.

答案：

9．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．

解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．

答案：[0，1)

10．已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2)设1＜x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，

只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，

所以a≤1.综上所述，0＜a≤1.

11．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.

(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；

(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝，

当x∈[0，2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7，

所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.

(2)因为f(x)＝，

又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，

所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.

当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.

即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，

故a的取值范围为[－4，－2]．

[综合题组练]

1．(应用型)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)<0，f(x2)<0　　　 B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0

解析：选B.因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)<f(2)＝0；

当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，

即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.

2．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　)

A．[－1，2] B．[－1，0]

C．[1，2] D．[0，2]

解析：选D.因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，

所以a的取值范围是0≤a≤2.故选D.

3．(2019·西安模拟)已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，1] B．[1，2]

C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)

解析：选C.要使y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a＞0且a－1≥0，所以a≥1.故选C.

4．(创新型)如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)

A．[1，＋∞) B．[0，]

C．[0，1] D．[1，]

解析：选D.因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，

由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，]．

5．(应用型)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是__________．

解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得到函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2处取得最大值6.

答案：6

6．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．

(1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；

(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

解：(1)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0.

因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，

所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x)min＝f(2)＝ln .

(2)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.

即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．

所以a>3x－x2.

令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．

由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2.

故a>2时，恒有f(x)>0.

因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．