23版新高考一轮分层练案(三十)　等比数列及其前n项和

这是一份23版新高考一轮分层练案(三十)　等比数列及其前n项和，共6页。
一轮分层练案(三十)　等比数列及其前n项和 A级——基础达标1．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)A．    B．－C．    D．－【答案】B　当n＝1时，a1＝S1＝3＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n－1，所以3＋r＝，即r＝－，故选B.2．已知正项等比数列{an}的公比为q，若a1＝q≠1，且am＝a1a2a3…a10，则m＝(　　)A．19    B．45C．55    D．100【答案】C　∵正项等比数列{an}的公比为q，a1＝q≠1，∴an＝q×qn－1＝qn，∵am＝a1a2a3…a10，∴qm＝q×q2×q3×…×q10＝q1＋2＋3＋…＋10＝q55，∴m＝55.故选C.3．已知数列{an}的前n项和Sn＝p×2n＋1，则{an}为等比数列的充要条件(　　)A．p＝－1    B．0＜p＜1C．p＝－2    D．p＞1【答案】A　Sn＝p×2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝p×2＋1＝2p＋1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝p×2n＋1－(p×2n－1＋1)＝p×2n－1.∵{an}为等比数列，∴2p＋1＝p，∴p＝－1，故选A.4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为(　　)A．180里    B．170里C．160里    D．150里【答案】C　设该人第n天走an里路，则{an}是公比为的等比数列，由题意得S6＝＝315，解得a1＝160.故选C.5．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)A．数列{an}的公比为2    B．数列{an}的公比为8C．＝8    D．＝9【答案】AD　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9.故选A、D.6．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是(　　)A．2    B．4C．    D．【答案】ABD　依题意，数列{an}是正项等比数列，所以a3＞0，a7＞0，a5＞0，所以＝＋≥2 ＝，因为a5＞0，所以上式可化为a5≥2.故选A、B、D.7．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)A．数列是公比为q2的等比数列B．数列是公比为q的等比数列C．数列是公比为q的等比数列D．数列是公比为的等比数列【答案】AD　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选A、D.8. 已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝____．解析：数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，①则n≥2时，Sn－1＝3an－1－2(n－1)，②①－②，得an＝3an－3an－1－2，∴2an＝3an－1＋2，∴an＝an－1＋1，若{an＋λ}成等比数列，∴an＋λ＝(an－1＋λ)，解得λ＝2.【答案】29．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________．解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×＝＝×.【答案】an＝4×　×10．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)记bn＝－1，则＝＝＝＝＝，又b1＝－1＝－1＝，所以是首项为，公比为的等比数列．所以－1＝·，即an＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，－1＝·，即＝·＋1.所以数列的前n项和为Tn＝＋n＝＋n.B级——综合应用11．已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为(　　)A．5    B．7C．9    D．11【答案】A　根据题意，数列{an}为等比数列，设an＝a1·qn－1＝qn－1，又由数列{an}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q＝＝2，故Sn＝21＋10＝⇒2n－1＝31⇒n＝5.故选A.12．已知正项等比数列{an}中，a2＝1，a4＝，Sn表示数列{anan＋1}的前n项和，则Sn的取值范围是(　　)A．    B．C．    D．【答案】A　设正项等比数列{an}的首项为a1，公比为q，因为a2＝1，a4＝，所以解得所以an＝，故cn＝anan＋1＝，所以Sn＝<＝.由于数列{Sn}单调递增，当n＝1时，S1＝2，故Sn的取值范围是.故选A.13．(多选)在等比数列{an}中，公比为q，其前n项积为Tn，并且满足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下列选项中，结论正确的是(　　)A．0＜q＜1B．a99·a101－1＜0C．T100的值是Tn中最大的D．使Tn＞1成立的最大自然数n等于198【答案】ABD　对于A，∵a99a100－1＞0，∴a·q197＞1，∴(a1·q98)2·q＞1.∵a1＞1，∴q＞0.又∵＜0，∴a99＞1，且a100＜1.∴0＜q＜1，故A正确；对于B，∵a＝a99·a101，a100<1，∴0＜a99·a101＜1，即 a99·a101－1＜0，故B正确；对于C，由于T100＝T99·a100，而0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故C错误；对于D，T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)·…·(a99·a100)＝(a99·a100)99＞1，T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100＜1，故D正确．故选A、B、D.14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×＝.【答案】15．已知{an}是公差为1的等差数列，{bn}是正项等比数列，a1＝b1＝1，________，cn＝anbn(n∈N*).(1)在①b3＝a4，②a3＝3b3，③a2＝4b2这三个条件中任选一个，补充在上面横线处，判断{cn}是否是递增数列，并说明理由(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)；(2)若Sn＝，求数列{Sn}的前n项和Tn.解：∵{an}是公差为1，首项为1的等差数列，∴an＝1＋n－1＝n.设{bn}的公比为q(q>0).(1)若选①，由b3＝a4，得b3＝a4＝4，又b1＝1，∴q＝2，则bn＝2n－1，cn＝n·2n－1，由＝＝<1，得cn＜cn＋1，故{cn}是递增数列；若选②，由a3＝3b3＝3，得b3＝1，q＝1，bn＝1，cn＝n，则cn＝n＜cn＋1＝n＋1，故{cn}是递增数列；若选③，由a2＝4b2＝2，得b2＝，q＝，bn＝，∴cn＝，＝＝≥1，则cn≥cn＋1，故{cn}不是递增数列．(2)∵an＝n，Sn＝，∴Sn＝，∴Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝＋＋＋…＋＝＝.C级——迁移创新16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn，若an∈(0，2 020)，则称项an为“和谐项”，求数列{an}的所有“和谐项”的平方和．解：因为 an＋1＝Sn，所以 an＝Sn－1(n≥2)，则 an＋1－an＝Sn－Sn－1，即 an＋1－an＝an，an＋1＝2an，所以＝2(n≥2)，因为 a1＝2，所以 a2＝S1＝a1＝2，故an＝因为 an∈(0，2 020)，所以1≤n≤11，于是数列{an} 的所有“和谐项”的平方和为a＋a＋…＋a＋a＝4＋4＋42＋…＋410＝4＋＝4＋＝×411＋.