23版新高考一轮分层练案(六十二)　离散型随机变量的数字特征与正态分布

这是一份23版新高考一轮分层练案(六十二)　离散型随机变量的数字特征与正态分布，共8页。试卷主要包含了若离散型随机变量X的分布列为，设离散型随机变量X的分布列为，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一轮分层练案(六十二)　离散型随机变量的数字特征与正态分布

A级——基础达标
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P



则X的均值E(X)等于(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2或
C. D．1
【答案】C　由题意知，解得a＝1，所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C.
2．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X)＝(　　)
A．2 B．1
C. D.
【答案】C　每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服从二项分布，
即X～B，所以D(X)＝3××＝，故选C.
3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)
A. B．
C. D.
【答案】B　由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2＋2＝.若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝4)＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.
4．设离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
p1
p2
p3

则E(X)＝2的充要条件是(　　)
A．p1＝p2 B．p2＝p3
C．p1＝p3 D．p1＝p2＝p3
【答案】C　由离散型随机变量X的分布列知，当E(X)＝2时，
解得p1＝p3.
此时p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1.
E(X)＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2.
故E(X)＝2的充要条件是p1＝p3.
5．(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
【答案】ACD　由离散型随机变量X的分布列的性质得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选A、C、D.
6.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲类水果的平均质量为0.4 kg
B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．σ2＝1.99
【答案】ABC　由图象可知甲的正态曲线关于直线x＝0.4对称，乙的正态曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C正确；由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B正确；因为乙的正态曲线的峰值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．故选A、B、C.
7．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4
C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0＜x＜，则E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大
【答案】ABD　设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝C33＝，A正确；
∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x＝2.∵P(X＜4)＝0.9，∴P(0＜X＜4)＝0.8，∴P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，B正确；
E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故C不正确；
由题意可知，E(ξ)＝1－x，D(ξ)＝x(1－x)＝－x2＋x，由一次函数和二次函数的性质知，当0＜x＜时，E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大，故D正确．
8．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则P(ξ＝4)＝______，ξ的期望值为________．
解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
【答案】　1
9．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，又X的数学期望为E(X)＝3，则a－b＝________.
解析：已知P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，∴(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1　①.
又∵X的数学期望E(X)＝3，∴(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3　②.
由①②解得a＝，b＝0，∴a－b＝.
【答案】
10．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇2011～2020年梅雨季节的降雨量(单位：mm)的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：

(1)“梅实初黄暮雨深”，假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350 mm的概率；
(2)“江南梅雨无限愁”，在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元，而乙品种杨梅的亩产量m(单位：千克)与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知每千克乙品种杨梅的利润为32－0.01×m(单位：元)，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润ξ(万元)的期望更大？(需说明理由)
降雨量/mm
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500]
亩产量/kg
500
700
600
400

解：(1)江南Q镇在梅雨季节的降雨量超过350毫米的概率为50×0.003＋0.001×100＝0.25.
所以Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350毫米的概率为
C×2×＋C3＝＋＝.
(2)据题意，种植乙品种杨梅的总利润为20m(32－0.01m)元，其中m＝500,700,600,400.
所以随机变量ξ(万元)的分布列为
ξ
27
35
31.2
22.4
P
0.2
0.4
0.3
0.1
故种植乙品种杨梅的总利润ξ的数学期望E(ξ)＝27×0.2＋35×0.4＋31.2×0.3＋22.4×0.1＝5.4＋14.0＋9.36＋2.24＝31(万元)．
因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大．
B级——综合应用
11．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x