人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.3 函数的奇偶性课文课件ppt

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3.1.3　函数的奇偶性
课前预习 课中探究 课堂评价
探究点一　利用函数奇偶性求解析式探究点二　奇偶性与单调性的简单应用探究点三　函数图像的对称性的证明及应用
第2课时　函数奇偶性的应用
1.掌握用奇偶性求解析式的方法;2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不等式.
知识点一　奇偶性与单调性的综合应用
1.对称区间内的单调性.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性　　　　,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性　　　　. 2.比较大小.两个因变量比较大小:对于偶函数,如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,那么①应利用图像的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后根据单调性判断;②根据在两个对称区间内的单调性情况,比较两个自变量的绝对值大小,即到y轴的距离大小,进而比较两个因变量的大小.
知识点二　证明函数图像的对称性
若函数f(x)满足f(x+a)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称,且函数f(x+a)为偶函数;若函数f(x)满足-f(x+a)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于点(a,0)对称,且函数f(x+a)为奇函数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0. (　 )(2)若函数y=f(x+1)为奇函数,则满足f(-x-1)+f(x+1)=0.(　 )(3)若函数y=f(x+1)为偶函数,则满足f(x+1)-f(-x+1)=0.(　 )
[解析] (1)f(-x)+f(x)=0⇔f(-x)=-f(x).
[解析] (2)由奇函数的定义知,若y=f(x+1)为奇函数,则应当满足f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x+1)+f(x+1)=0.
[解析] (3)同(2)分析可知(3)中结论正确.
例1 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在R上的解析式是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(x)=-x(x-2)B.f(x)=x(|x|-2)C.f(x)=|x|(x-2)D.f(x)=|x|(|x|-2)
探究点一　利用函数奇偶性求解析式
[解析] (1)f(x)是定义在R上的偶函数,当x0,f(-x)=x2+2x=-x(-x-2),所以当x0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的解析式为　　 　　　　　　　　. 
变式 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.
解:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=x2+x-2①,得f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2,即f(x)-g(x)=x2-x-2②.由①②得f(x)=x2-2,g(x)=x.
[素养小结]利用奇偶性求函数解析式的注意事项:(1)求哪个区间的解析式就设x在哪个区间内;(2)将问题转化代入已知区间的解析式;(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而求出f(x).
探究点二　奇偶性与单调性的简单应用
[解析] ∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-1)=f(1).又2>1>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(2)>f(1)>f(0),即f(-2)>f(1)>f(0),f(-2)>f(-1)>f(0).故选B.
例2 已知函数f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则下列各式成立的是(　 )A.f(-2)>f(0)>f(1)B.f(-2)>f(-1)>f(0)C.f(1)>f(0)>f(-2)D.f(1)>f(-2)>f(0)
f(3),f(1), f(-2)
[素养小结]利用函数的奇偶性与单调性比较大小,需要注意看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
[解析] (1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上单调递增,∴由不等式f(2x-1)-f(x)