培优专题24 反比例函数与实际问题-【核心考点突破】2022-2023学年九年级数学精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题24 反比例函数与实际问题

◎类型一：图形类

1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地，边的长不超过墙的长度，在边上开设宽为1m的门（门不需要消耗篱笆）．设的长为（m），的长为（m）．

(1)求关于的函数表达式．

(2)若围成矩形劳动基地三边的篱笆总长为10m，求和的长度

(3)若和的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．

2．（2021·吉林白城·九年级阶段练习）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）

(1)求y关于x的函数解析式．

(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？

3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，李老师准备用篱笆围建一个面积为60m2的矩形花圃ABCD，其中一边AB靠墙．

（1）设AD的长为x米，DC的长为y米，求y与x之间的函数关系式；

（2）当矩形花圃ABCD的相邻两边之比是0.6时（接近黄金分割），花圃最美观．若围成矩形花圃ABCD的三边篱笆总长不超过24m，且为了美观，求此时篱笆AD的长．

4．（2022·广西·钦州市第四中学一模）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是．如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面和C面分别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？

◎类型二：表格类

5．（2022·山东烟台·八年级期末）汛期到来，下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间（单位：），表示水位高度（单位：），当时，达到警戒水位，开始开闸放水．

(1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点；

(2)求开闸放水前符合表中数据的函数关系式；

(3)求放水后符合表中数据的函数关系式；

(4)求出水库水位达到的时间．

6．（2022·江苏南京·八年级期末）某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值．

(1)求y与x的函数表达式；

(2)若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？

7．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：

(1)根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．

(2)如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．

8．（2022·浙江·松阳县教育局教研室二模）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：

(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式．

(2)2022年，按照这种变化规律：

①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．

②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．

◎类型三：几何类

9．（2022·江苏徐州·二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

(1)求这天的温度y与时间x的函数关系式；

(2)解释线段BC的实际意义；

(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

10．（2022·福建省福州屏东中学一模）“姹紫嫣红苗木种植基地”尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单价在第x天（x为整数）销售的相关信息，如图表所示：

(1)求出表中当时，m与x间的函数关系式；

(2)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”．试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？

11．（2022·江苏·滨海县教师发展中心二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：

(1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；

(2)求图中t的值；

(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？

12．（2022·四川成都·九年级期末）2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：

(1)分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式；

(2)当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月．

◎类型四：探究类

13．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：

(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

14．（2020·山西晋中·九年级阶段练习）函数是刻画事物运动变化过程和发展规律的数学模型，应用非常广泛．用图象的方法研究函数，形象直观．在现实生活中，我们常用图象的方法研究函数，例如，气温随着时间的变化、股票随着时间变化等，就常用图象法把函数关系表示出来，然后利用图象进一步分析它们的变化情况．

小明根据相关数据和学习函数的经验，对成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时），下表记录了6小时以内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况：

下面是小明的探究过程请补充完整

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；

（2）观察函数图象，写出一条该函数的性质：______．

（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：30能否驾车去上班？请说明理由．

15．（2021·河南开封·二模）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止：当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度，x（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）下表记录了16 min内9个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况：

m的值为__________．

（2）①当时，写出一个符合表中数据的函数解析式__________；当时，写出一符合表中数据的函数解析式__________．

②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度y随时间x变化的函数图象；

（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源__________min．

16．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律．类似地，反比例函数图象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的．下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平移规律进行了验证：

步骤①：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象；

步骤②：在此平面直角坐标系中，画出函数的图象；

步骤③：比较反比例函数与函数的图象，初步得出结论：反比例函数图象遵循“左加右减”的平移规律．

（1）完成步骤②（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线）．

（2）根据图象，回答下列问题：

①函数的图象是由反比例函数的图象向______平移______个单位长度后得到的．

②函数的图象的对称中心是______．（填点的坐标）

（3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数．