【备战2023高考】物理总复习——5.1《开普勒定律万有引力定律及其应用》讲义（全国通用）

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【网络构建】
专题5.1开普勒定律 万有引力定律及其应用
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考点一 开普勒定律 万有引力定律的理解与应用
1．开普勒行星运动定律
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．
2．万有引力定律
公式F＝Geq \f(m1m2,r2)适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
考点二 万有引力与重力的关系
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al(2,自).
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝Geq \f(mM,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)
所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2).
考点三 中心天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”
(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．
(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．
考点四 应用开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题
1．相距最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)．
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)．
3.对于天体追及问题的处理思路
(1)根据eq \f(GMm,r2)＝mrω2，可判断出谁的角速度大；
(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解．
考点五 补偿法思想的应用
对于形状不规则、缺损或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、规律的适用条件，不能直接应用公式求解，此时需要用另外一个物体和原物体组合在一起成为一个完整或对称的简单、规范的物理模型，整体可以应用相关规律求解，同时“补”上的物体的相关物理量也很好求，待求的物理量可以利用整体去掉“补”上的部分求得。
高频考点一 开普勒定律 万有引力定律的理解与应用
例1、若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证 ( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【答案】B
【解析】设月球的质量为M月，地球的质量为M，苹果的质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝eq \f(GMM月,（60r）2)，苹果受到的万有引力为F＝eq \f(GMm,r2)，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律eq \f(GMM月,（60r）2)＝M月a月，eq \f(GMm,r2)＝ma，整理可得a月＝eq \f(1,602)a，故B正确；在月球表面处eq \f(GM月m′,req \\al(2,月))＝m′g月，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到的引力为F′＝eq \f(GmM月,req \\al(2,月))，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系，故D错误．
【变式训练】牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出速度一次比一次大，
落点一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．如图
所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是 ( )
地球的球心与椭圆的中心重合
B．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率
C．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度
D．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积
【答案】C
【解析】地球的球心与椭圆的焦点重合，选项A错误；根据卫星运动过程中机械能守恒(动能和引力势能之和保持不变)，卫星在近地点的动能大于在远地点的动能，根据动能公式，卫星在近地点的速率大于在远地点的速率，选项B错误；根据万有引力定律和牛顿运动定律，卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度，选项C正确；根据开普勒定律，卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，选项D错误．
高频考点二 万有引力与重力的关系
例2、宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B．eq \f(GM,（R＋h）2) C．eq \f(GMm,（R＋h）2) D．eq \f(GM,h2)
【答案】B
【解析】飞船受到的万有引力等于它在该处所受的重力，即Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝mg，得g＝eq \f(GM,（R＋h）2)，选项B正确．
【变式训练】近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T、引力常量为G.下列说法正确的是( )
A．如果该星体的自转周期T<2π eq \r(\f(R3,Gm))，则该星体会解体
B．如果该星体的自转周期T>2π eq \r(\f(R3,Gm))，则该星体会解体
C．该星体表面的引力加速度为 eq \f(Gm,R)
D．如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为 eq \r(\f(Gm,R))
【答案】 AD
【解析】 如果在该星体“赤道”表面有一物体，质量为m′，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需的向心力时，即Geq \f(mm′,R2)>m′Req \f(4π2,T2)时，有T>2πeq \r(\f(R3,Gm))，此时，星体处于稳定状态不会解体，而当该星体的自转周期T<2πeq \r(\f(R3,Gm))时，星体会解体，故选项A正确，B错误；在该星体表面，有Geq \f(mm′,R2)＝m′g′，所以g′＝Geq \f(m,R2)，故选项C错误；如果有质量为m″的卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，有Geq \f(mm″,R2)＝m″eq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(Gm,R))，故选项D正确．
高频考点三 中心天体质量和密度的估算
例3、2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为 ( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【答案】C
【解析】脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×（5.19×10－3）2)kg/m3≈5×1015 kg/m3.
【变式训练】为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万有引力常量为G，则下列计算不正确的是 ( )
彗星的半径为eq \f(vT,2π) B．彗星的质量为eq \f(v3T,4πG)
C．彗星的密度为eq \f(3π,GT2) D．卫星B的运行角速度为eq \f(2π,T\r(n3))
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知，卫星A绕彗星表面做匀速圆周运动，则彗星的半径满足：R＝eq \f(vT,2π)，故A正确；根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得M＝eq \f(v3T,2πG)，故B错误；彗星的密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，故C正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，eq \f(GMm,R2)＝mReq \f(4π2,T2)，r＝nR，则卫星B的运行角速度为eq \f(2π,T\r(n3))，故D正确．
高频考点四 应用开普勒定律及万有引力定律分析天体追及相遇问题
例4、当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
【答案】 B
【解析】次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq \f(2π,T1)，ω2＝eq \f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A错误，B正确；设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r，解得a＝eq \f(GM,r2)，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误．
【变式训练】如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】 AD
【解析】 根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对，B错；设图示位置ac连线与bc连线的夹角为θ高频考点五 补偿法思想的应用
例5、如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为eq \f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )
A．Geq \f(Mm,R2) B．0
C．4Geq \f(Mm,R2) D．Geq \f(Mm,2R2)
【答案】 D
【解析】 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力与挖去的小球体对质点的万有引力之差，挖去的小球体球心与质点重合，对质点的万有引力为零，则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力．以完整大球体球心为中心分离出半径为eq \f(R,2)的球，易知其质量为eq \f(1,8)M，则分离后的均匀球壳对质点的万有引力为零．综上可知，剩余部分对质点的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝Geq \f(\f(1,8)Mm,(\f(R,2))2)＝Geq \f(Mm,2R2)，故D正确．
【变式训练】如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为 eq \f(R,2) 的小球体，并在空腔中心O处放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0)( )
A. G eq \f(Mm,R2) B. 0
C. 4G eq \f(Mm,R2) D. G eq \f(Mm,2R2)
【答案】D
【解析】：若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对O处质点的引力等于完整大球体对O处质点的引力与挖去小球体对O处质点的引力之差，挖去的小球体球心与O处质点重合，对O处质点的万有引力为0，则大球体剩余部分对O处质点的万有引力等于完整大球体对O处质点的万有引力；将完整大球体分为以大球体球心为中心的半径为 eq \f(R,2) 的球以及剩余均匀球壳，可知半径为 eq \f(R,2) 的球的质量为 eq \f(1,8)M，剩余均匀球壳对O处质点的万有引力为0，故大球体剩余部分对O处质点的万有引力 F＝G eq \f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))\s\up12(2))＝G eq \f(Mm,2R2)，故D正确。近5年考情分析
考点要求
等级要求
考题统计
2022
2021
2020
2019
2018
开普勒定律 万有引力定律及其应用
Ⅱ
辽宁卷·T9
湖南卷·T8
广东卷·T2
山东卷·T6
乙卷·T14
浙江6月卷·T6
甲卷·T18
乙卷·T18
河北卷·T4
湖南卷·T7
卷Ⅰ·T15
Ⅱ卷·T15
山东卷·T7
Ⅱ卷·T14
Ⅲ卷·T25
卷Ⅰ·T20
人造卫星 宇宙速度
Ⅱ
浙江1月卷·T8
广东卷·T2
Ⅲ卷·T16
北京卷·T5
浙江7月卷·T7
江苏卷·T7
核心素养
物理观念:
万有引力定律，及天体运动规律
科学思维:
双星或多星模型
科学态度与责任：
万有引力定律在航天技术上的应用
命题规律
以我国航空航天技术的发展成果为背景，以中心天体为模型，具体考查开普勒行星运动定律、重力与万有引力的关系、求中心天体的质量和密度、第一宇审速度、卫星运行中的各种运动参量与卫星轨道半径的关系、卫星变轨时各参量的变化规律等热点问题。
备考策略
在天体运动复习过程中要特别注意培养学生构建模型、科学推理与科学论证的素养，培养学生的运算能力和估算能力。掌握用比例法分析问题的技巧。练习过程中要多关注航空航天的新进展，因为新信息常常被作为命题的背景。
质
量
的
计
算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
密
度
的计
算
利用天体表面
重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
－
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时
ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星
只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
—