【备战2023高考】物理总复习——8.3《电容器与带电粒子在电场中的运动》讲义（全国通用）

第八章 静电场

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专题8.3 电容器与带电粒子在电场中的运动

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考点一  平行板电容器及其动态分析问题

1．分析思路

(1)先确定是Q还是U不变：电容器保持与电源连接，U不变；电容器充电后与电源断开，Q不变．

(2)用决定式C＝确定电容器电容的变化．

(3)用定义式C＝判定电容器所带电荷量Q或两极板间电压U的变化．

(4)用E＝分析电容器极板间场强的变化．

2．两类动态变化问题的比较

考点二  带电粒子在电场中的直线运动

1．用动力学观点分析

a＝，E＝，v2－v＝2ad

2．用功能观点分析

匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv

非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1

考点三  带电粒子在电场中的偏转运动

1．带电粒子在电场中的偏转规律

2．处理带电粒子的偏转问题的方法

(1)运动的分解法

一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动．

(2)功能关系

当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．

3.计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离的方法

(1)y＝y0＋Ltan θ(L为屏到偏转电场的水平距离)；

(2)y＝(＋L)tan θ(l为电场宽度)；

(3)y＝y0＋vy·；

(4)根据三角形相似＝.

考点四  带电粒子在交变电场中的运动

1．常见的交变电场

常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．

2．常见的试题类型

此类题型一般有三种情况：

(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．

(2)粒子做往返运动(一般分段研究)．

(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．

3．解答带电粒子在交变电场中运动的思维方法

(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，

求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件．

(2)分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系．

(3)注意对称性和周期性变化关系的应用．

粒子做直线往返运动

利用速度图象分析带电粒子的运动过程时的注意事项

(1)带电粒子进入电场的时刻；

(2)速度图象的切线斜率表示加速度；

(3)图线与坐标轴围成的面积表示位移，且在横轴上方所围成的面积为正，在横轴下方所围成的面积为负；

(4)注意对称性和周期性变化关系的应用；

(5)图线与横轴有交点，表示此时速度改变方向，对运动很复杂、不容易画出速度图象的问题，还应逐段分析求解．

粒子做偏转运动问题

交变电压的周期性变化，势必会引起带电粒子的某个运动过程和某些物理量的周期性变化，所以应注意：

(1)分过程解决．“一个周期”往往是我们的最佳选择．

(2)建立模型．带电粒子的运动过程往往能在力学中找到它的类似模型．

(3)正确的运动分析和受力分析：合力的变化影响粒子的加速度(大小、方向)变化，而物体的运动性质则由加速度和速度的方向关系确定．

考点五 带电体在电场、重力场中的运动

带电体在电场、重力场中运动的动力学问题

1．等效重力法

将重力与电场力进行合成，如图所示，

则F合为等效重力场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向．

2．物理最高点与几何最高点

在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题．小球能维持圆周运动的条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点．几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的最高点．而物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小(称为临界速度)的点．

带电体在电场、重力场中运动的动量和能量问题

动量、能量关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力．因此，通过审题，抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解．动能定理和能量守恒定律在处理电场中能量问题时仍是首选．

高频考点一  平行板电容器及其动态分析问题

U不变时电容器的动态分析

例1、一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上．若将云母介质移出，则电容器(　　)

A．极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大     B．极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大

C．极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变     D．极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变

【变式训练】利用电容传感器可检测矿井渗水，及时发出安全警报，从而避免事故的发生；如图所示是一种通过测量电容器电容的变化来检测矿井中液面高低的仪器原理图，A为固定的导体芯，B为导体芯外面的一层绝缘物质，C为导电液体(矿井中含有杂质的水)，A、C构成电容器．已知灵敏电流表G的指针偏转方向与电流方向的关系：电流从哪侧流入电流表则电流表指针向哪侧偏转．若矿井渗水(导电液体深度增大)，则电流表                            (　　)

A．指针向右偏转，A、C构成的电容器充电   B．指针向左偏转，A、C构成的电容器充电

C．指针向右偏转，A、C构成的电容器放电   D．指针向左偏转，A、C构成的电容器放电

Q不变时电容器的动态分析

例2、如图所示，平行板电容器充电后与电源断开，正极板接地，两板间有一个带负电的试探电荷固定在P点．静电计的金属球与电容器的负极板连接，外壳接地．以E表示两板间的场强，φ表示P点的电势，EP表示该试探电荷在P点的电势能，θ表示静电计指针的偏角．若保持负极板将正极板缓慢向右平移一小段距离(静电计带电量可忽略不计)，各物理量变化情况描述正确的是(　　)

A．E增大，φ降低，EP减小，θ增大          B．E不变，φ降低，EP增大，θ减小

C．E不变，φ升高，EP减小，θ减小          D．E减小，φ升高，EP减小，θ减小

【变式训练】如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地．在两极板间有一个固定在P点的点电荷，以E表示两板间的电场强度，Ep表示点电荷在P点的电势能，θ表示静电计指针的偏角．若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则(　　)

A．θ增大，E增大　　　　   B．θ增大，Ep不变      C．θ减小，Ep增大       D ．θ减小，E不变

平行板电容器中带电粒子的问题分析

例3、如图所示，一种β射线管由平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成．放射源O在A极板左端，可以向各个方向发射不同速度、质量为m的β粒子(电子)．若极板长为L，间距为d，当A、B板加上电压U时，只有某一速度的β粒子能从细管C水平射出，细管C离两板等距．已知元电荷为e，则从放射源O发射出的β粒子的这一速度为              (　　)

A.         B.            C.         D.

【变式训练】如图，一平行板电容器连接在直流电源上，电容器的极板水平；两微粒a、b所带电荷量大小相等、符号相反，使它们分别静止于电容器的上、下极板附近，与极板距离相等．现同时释放a、b，它们由静止开始运动，在随后的某时刻t，a、b经过电容器两极板间下半区域的同一水平面，a、b间的相互作用和重力可忽略．下列说法正确的是(　　)

A．a的质量比b的大                    B．在t时刻，a的动能比b的大

C．在t时刻，a和b的电势能相等        D．在t时刻，a和b的动量大小相等

高频考点二  带电粒子在电场中的直线运动

电容器中直线运动

例4、如图所示，电子由静止开始从A板向B板运动，到达B板的速度为v，保持两板间电压不变，则(　　)

A．当减小两板间的距离时，速度v增大    B．当减小两板间的距离时，速度v减小

C．当减小两板间的距离时，速度v不变    D．当减小两板间的距离时，电子在两板间运动的时间变长

【变式训练】如图所示，在真空中倾斜平行放置着两块带有等量异号电荷的金属板A、B，

板与水平方向的夹角为θ，一个电荷量q＝1.41×10－4 C、质量m＝1 g的带电小球，自A板上的孔P以水平

速度v0＝0.1 m/s飞入两板之间的电场，经0.02 s后未与B板相碰又回到孔P，g取10 m/s2，则(　　)

A．板间电场强度大小为100 V/m             B．板间电场强度大小为141 V/m

C．板与水平方向的夹角θ＝30°               D．板与水平方向的夹角θ＝45°

带电粒子在匀强电场中的直线运动

例5、如图所示，一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向左．不计空气阻力，则小球(　　)

A．做直线运动                  B．做曲线运动

C．速率先减小后增大           D．速率先增大后减小

【变式训练】如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点．由O点静止释放的电子恰好能运动到P点．现将C板向右平移到P′点，则由O点静止释放的电子(　　)

A．运动到P点返回                   B．运动到P和P′点之间返回

C．运动到P′点返回                   D．穿过P′点

带电粒子在交变电场中的直线运动

例6、如图(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，

并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是  (　　)

A．0＜t0＜　　    B.＜t0＜             C.＜t0＜T               D．T＜t0＜

【变式训练】如图甲所示，A板电势为0，A板中间有一小孔，B板的电势变化情况如图乙所示，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝时刻以初速度为0从A板上的小孔处进入两极板间，仅在电场力作用下开始运动，恰好到达B板．则(　　)

A．A、B两板间的距离为        B．粒子在两板间的最大速度为

C．粒子在两板间做匀加速直线运动

D．若粒子在t＝时刻进入两极板间，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最终打向B板

高频考点三 带电粒子在电场中的偏转运动

例7、如图所示，在竖直放置的平行金属板A、B之间加上恒定电压U，A、B两板的中央留有小孔O1、O2，在B的右侧有平行于极板的匀强电场E，电场范围足够大，感光板MN垂直于电场方向放置，第一次从小孔O1处从静止释放一个质子11H，第二次从小孔O1处从静止释放一个α粒子24He，关于这两个粒子在电场中运动的判断正确的是(　　)

A．质子和α粒子打到感光板上时的速度之比为2∶1      B．质子和α粒子在电场中运动的时间相同

C．质子和α粒子打到感光板上时的动能之比为1∶2    D．质子和α粒子在电场中运动的轨迹重叠在一起

【变式训练】如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速地飘入电场线水平向右

的加速电场E1之后进入电场线竖直向下的匀强电场E2发生偏转，最后打在屏上．整个装置处于真空中，不

计粒子重力及其相互作用，那么  (　　)

A．偏转电场E2对三种粒子做功一样多       B．三种粒子打到屏上时的速度一样大

C．三种粒子运动到屏上所用时间相同        D．三种粒子一定打到屏上的同一位置

高频考点四 带电粒子在交变电场中的运动

粒子做直线往返运动

例8、制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图甲所示．加在极板A、

B间的电压UAB做周期性变化，其正向电压为U0，反向电压为－kU0(k>1)，电压变化的周期为2τ，如图乙所

示．在t＝0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动．若整个运

动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑重力作用．若k＝，电子在0～2τ时间内不能到达极板A，求d应

满足的条件．

【变式训练】如图(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是                            (　　)

A．0＜t0＜　　    B.＜t0＜             C.＜t0＜T               D．T＜t0＜

粒子做偏转运动问题

例9、如图甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，0～时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出．微粒运动过程中未与金属板接触．重力加速度的大小为g.关于微粒在0～T时间内运动的描述，正确的是(　　)

甲　　　　　　　　　　　乙

A．末速度大小为 v0　 B．末速度沿水平方向

C．重力势能减少了mgd D．克服电场力做功为mgd

【变式训练】相距很近的平行板电容器，在两板中心各开有一个小孔，如图甲所示，靠

近A板的小孔处有一电子枪，能够持续均匀地发射出电子，电子的初速度为v0，质量为m，电荷量为－e，

在A、B两板之间加上如图乙所示的交变电压，其中0＜k＜1，U0＝；紧靠B板的偏转电压也等于U0，

板长为L，两极板间距为d，距偏转极板右端处垂直放置很大的荧光屏PQ，不计电子的重力和它们之间的

相互作用，电子在电容器中的运动时间可以忽略不计．

(1)试求在0～kT与kT～T时间内射出B板电子的速度各是多大？

(2)在0～T时间内，荧光屏上有两个位置会发光，试求这两个发光点之间的距离．(结果用L、d表示)

高频考点五 带电体在电场、重力场中的运动

带电体在电场、重力场中运动的动力学问题

例10、如图，光滑斜面倾角为37°，一质量m＝10 g、电荷量q＝＋1×10－6 C的小物块置于斜面上，当加上水平向右的匀强电场时，该物体恰能静止在斜面上，g取10 m/s2，求：

(1)该电场的电场强度；

(2)若电场强度变为原来的，小物块运动的加速度大小；

(3)在(2)前提下，当小物块沿斜面下滑L＝ m时，机械能的改变量．

带电体在电场、重力场中运动的动量和能量问题

例11、如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑绝缘轨道，MN水平且足够长，LM下端与MN相切．质

量为m的带正电小球B静止在水平面上，质量为2m的带正电小球A从LM上距水平面高为h处由静止释

放，在A球进入水平轨道之前，由于A、B两球相距较远，相互作用力可认为零，A球进入水平轨道后，A、

B两球间相互作用视为静电作用，带电小球均可视为质点．已知A、B两球始终没有接触．重力加速度为g.

求：

(1)A球刚进入水平轨道的速度大小；

(2)A、B两球相距最近时，A、B两球系统的电势能Ep；

(3)A、B两球最终的速度vA、vB的大小．