【备战2023高考】数学总复习——专题02 概率统计、随机变量及四大分布（全国通用）

概率统计、随机变量及四大分布

难度：★★★★☆            建议用时： 30分钟              正确率 ：      /30

一、单选题

1．（2023·广东深圳·统考一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；

当分为3,1,1人时，有种实习方案，

当分为2,2,1人时，有种实习方案，

即共有种实习方案，

其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，

故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，

故选：D.

2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，

则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件，

所以，，，

所以，，

又因为，

所以，，

故选：B

3．（2023·广东佛山·统考一模）已知事件，，的概率均不为，则的充要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A：因为，由，

只能得到，并不能得到，故A错误；

对于B：因为，

，

由，只能得到，

由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故B错误；

对于C：因为，，

又，所以，故C正确；

对于D：由于不能确定，，是否相互独立，

若，，相互独立，则，，

则由可得，

故由无法确定，故D错误；

故选：C

4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（    ）

参考公式：

临界值参照表：

A．夜晚下雨的概率约为

B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为

C．有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关

D．出现“日落云里走”，有99%的把握判断夜晚会下雨

【答案】D

【解析】由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为，A正确；

未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确；

，因此有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确，D错误．

故选：D

5．（2023·陕西商洛·校考三模）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（    ）

A．12 B． C． D．7

【答案】B

【解析】由已知，，所以，

，，所以

，

由题意，满足线性回归方程为，所以，所以，

此时线性回归方程为，即，

可将此式子化为指数形式，即为，

因为模型为模型，所以，，

所以.

故选：B.

6．（2023·全国·模拟预测）两对孪生兄弟共4人随机排成一排，设随机变量表示孪生兄弟相邻的对数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】4人排成一排共有种不同的排法，

的所有可能取值为0，1，2，

所以，

，

，

所以.

故选：B.

7．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为随机变量满足，

所以，

也即，又因为是公差为的等差数列，

所以，则有，，，

所以，则，

，，

因为，所以，解得，

故选：.

8．（2023·上海·高三专题练习）袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ）

①取出的最大号码服从超几何分布；

②取出的黑球个数服从超几何分布；

③取出2个白球的概率为；

④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为

A．①② B．②④ C．③④ D．①③④

【答案】B

【解析】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；

对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；

对于③，取出2个白球的概率为，故③错误；

对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，

总得分最大的概率为，故④正确．

故选：B

9．（2023·全国·高三专题练习）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ）

A． B．随机变量服从二项分布

C．随机变量服从几何分布 D．

【答案】C

【解析】由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；

的取值分别为0，1，2，3，4，则，，

，，，

，

故A，D错误．

故选：C．

10．（2023秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】C

【解析】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，

对于A，，故A不正确；

对于B，，

，故B不正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，，故D不正确.

故选：C

11．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8

【答案】A

【解析】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为，则，则.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以在处取得最大值.所以.

故选：A

12．（2023·安徽合肥·统考一模）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（    ）

A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%

【答案】A

【解析】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为，

故选：A

二、填空题

13．（2023·上海·统考模拟预测）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为________.

【答案】

【解析】设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一个完成加强免疫接种，所以，

所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，

此人完成了加强免疫接种的概率为.

故答案为：

14．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得个的概率是_______．

【答案】

【解析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的事件分别为，

以为这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，

所以，，，

这三门科目考试成绩的结果互不影响，

则这位考生至少得2个的概率：

．

故答案为：．

15．（2023·全国·高三专题练习）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)

【答案】

【解析】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，

由可得，，

所以，解得：，故σ至多为．

故答案为：．

16．（2023秋·天津·高三统考期末）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则_______．

【答案】

【解析】的可能取值为，

，，

，则.

故.

故答案为：.