2019-2020学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）
1．（2分）点A（﹣3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C．﹣1 D．6
2．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，经过测试，平均成绩均为9.2环，方差如下表所示：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.75
2.93
0.50
0.40
则在这四个选手中，成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2分）下表为某校八年级72位女生在规定时间内的立定投篮数统计，
投进的个数
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
人数
3
7
6
10
11
8
13
7
1
4
2
若投篮投进个数的中位数为a，众数为b，则a+b的值为（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
6．（2分）关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a＞0 B．a≠0 C．a≠1 D．a＝1
7．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3
8．（2分）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
9．（2分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
10．（2分）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2分）如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，则这座大楼的地基面积最大值是（　　）

A．1000米2 B．2000米2 C．3000米2 D．4000米2
12．（2分）爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）
13．（3分）某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动，从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是　 　．
14．（3分）如果反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
15．（3分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　 　人．
16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝　 　．
17．（3分）+tan30°＝　 　．
18．（3分）如图，已知△ABC中D为AC中点，AB＝5，AC＝7，∠AED＝∠C，则BE＝　 　．

19．（3分）已知方程x2﹣10x+24＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为　 　．
20．（3分）若代数式x2﹣2x+b可化为（x+a）2+2，则a＝　 　，b＝　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）
21．（8分）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　 　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　 　次；
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　 　次；
（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
22．（10分）在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题．
（1）这次调查获取的样本容量是　 　．（直接写出结果）
（2）这次调查获取的样本数据的众数是　 　，中位数是　 　．（直接写出结果）
（3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．

23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点，交x轴于点C．
（1）求m、n的值；
（2）请直接写出不等式kx+b＜的解集；

24．（12分）如图，已知平行四边形ABCD，点E是边AB的延长线上一点，DE与BC交于点F，BE＝AB．
（1）求证：△ADE∽△CFD；
（2）若△BEF的面积为1，求四边形ABFD的面积．

25．（12分）下图为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC＝30m．现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC＝h，太阳光线与水平线的夹角为α．
（1）用含α的式子表示h；
（2）当α＝30°时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每小时增加10°，几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？


2019-2020学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）
1．（2分）点A（﹣3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣ C．﹣1 D．6
【分析】根据点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，此题得解．
【解答】解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣3）×2＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上所有点的坐标均满足该函数的解析式．
2．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得
AB＝＝，
∴cosA＝＝＝，
故选：A．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（2分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．
4．（2分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，经过测试，平均成绩均为9.2环，方差如下表所示：
选手
甲
乙
丙
丁
方差
1.75
2.93
0.50
0.40
则在这四个选手中，成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较四个选手的方差的大小，根据方差的性质解答即可．
【解答】解：∵2.93＞1.75＞0.50＞0.4，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁，
故选：D．
【点评】本题考查的是方差的性质，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5．（2分）下表为某校八年级72位女生在规定时间内的立定投篮数统计，
投进的个数
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
人数
3
7
6
10
11
8
13
7
1
4
2
若投篮投进个数的中位数为a，众数为b，则a+b的值为（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
【分析】根据中位数与众数的求法，分别求出投中个数的中位数与众数再相加即可解答．
【解答】解：第36 与37人投中的个数均为9，故中位数a＝9，
11出现了13次，次数最多，故众数b＝11，
所以a+b＝9+11＝20．
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6．（2分）关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a＞0 B．a≠0 C．a≠1 D．a＝1
【分析】根据“关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a﹣1≠0，解之即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
a≠1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
7．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3
【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
8．（2分）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝m，再化简+＝，代入即可求解；
【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
9．（2分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2018、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2018﹣1＝2017．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a＝2018、a+b＝﹣1是解题的关键．
10．（2分）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】易知y是x的反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．
【解答】解：∵草坪面积为100m2，
∴x、y存在关系y＝，
∵两边长均不小于5m，
∴x≥5、y≥5，则x≤20，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数解析式确定y的取值范围，即可求得x的取值范围，熟练掌握实际问题的反比例函数图象是解题的关键．
11．（2分）如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，则这座大楼的地基面积最大值是（　　）

A．1000米2 B．2000米2 C．3000米2 D．4000米2
【分析】两三角形相似，对应高之比等于相似比．利用此性质即可解答．
【解答】解：∵DG∥BC
∴△ADG∽△ABC
它们的对应高线比等于对应线段的比，
即＝，设AM＝x，那么DE＝MH＝AH﹣AM＝80﹣x
∴＝，
∴DG＝x
∴S四边形DEFG＝DG•DE＝（80﹣x）•x＝（﹣x2+80x﹣1600）＝﹣（x﹣40）2+2000
当x＝40时，S取最大值，最大值为2000，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用、二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
12．（2分）爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】先求出下半身的长度，然后再根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，
则根据黄金分割的定义得：＝0.618，
解得：y≈8cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）
13．（3分）某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动，从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是　46　．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
【解答】解：将数据从小到大排列为：42，45，46，50，50，
∴中位数为46，
故答案为：46．
【点评】本题主要考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．（3分）如果反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】先根据题意得出k的值，再由反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），
∴k＝2×3＝6＞0，
∴在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
15．（3分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　1200　人．
【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．
【解答】解：由题意得：2000×＝1200人，
故答案为：1200．
【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，难度不大．
16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝　　．
【分析】法一：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解；
法二：利用正切求出∠A＝30°，∠B＝60°，再求cosB的值．
【解答】解：法一：
利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设a＝x，b＝3x，则c＝2x，
∴cosB＝＝．
法二：
利用特殊角的三角函数值求解．
∵tanA＝
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°
∴∠B＝60°，
∴cosB＝cos60°＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值；也可利用特殊角的三角函数值求解．
17．（3分）+tan30°＝　　．
【分析】首先根据特殊角的三角函数值的求法，分别求出sin60°、tan45°、tan30°的值各是多少；然后根据实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：+tan30°
＝+
＝+
＝
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（3分）如图，已知△ABC中D为AC中点，AB＝5，AC＝7，∠AED＝∠C，则BE＝　0.1　．

【分析】已知△AED与△ACB中有两角相等，所以△AED∽△ACB．根据对应边成比例得方程求解．
【解答】解：如图，∵△ABC中D为AC中点，AC＝7，
∴AD＝3.5．
∠A＝∠A，∠AED＝∠C，
∴△AED∽△ACB，
∴＝，
又∵AB＝5，
∴＝，
解得AE＝4.9．
∴BE＝AB﹣AE＝0.1
故答案是：0.1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
19．（3分）已知方程x2﹣10x+24＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为　14或16　．
【分析】先解方程的两根，再由三角形的三边关系定理确定三角形的周长．
【解答】解：配方得，x2﹣10x+25﹣25+24＝0，解得x＝6或4，
∵方程x2﹣10x+24＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，
∴这个等腰三角形的周长为14或16．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法以及实际应用．
20．（3分）若代数式x2﹣2x+b可化为（x+a）2+2，则a＝　﹣1　，b＝　3　．
【分析】原式配方得到结果，即可确定出a与b的值．
【解答】解：根据题意得：x2﹣2x+b＝（x﹣1）2+b﹣1＝（x+a）2+2，
可得a＝﹣1，b＝3，
故答案为：﹣1；3
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）
21．（8分）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　3　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　10　次；
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　n（n﹣1）　次；
（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
【分析】（1）由握手总数＝参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1）÷2，即可求出结论；
（2）由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟（n﹣1）人握手，同（1）即可求出握手总数；
（3）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（4）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论．
【解答】解：（1）3×（3﹣1）÷2＝3，5×（5﹣1）÷2＝10．
故答案为：3；10．
（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），
∴每人需跟（n﹣1）人握手，
∴共握手n（n﹣1）次．
故答案为：n（n﹣1）．
（3）依题意，得：n（n﹣1）＝28，
整理，得：n2﹣n﹣56＝0，
解得：n1＝8，n2＝﹣7（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为8人．
（4）∵线段AB上共有m个点（不含端点A，B），
∴可当成共有（m+2）个人握手，
∴线段总数为（m+2）（m+1）．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，列出代数式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（4）将线段数当成人握手次数来解决问题．
22．（10分）在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题．
（1）这次调查获取的样本容量是　40　．（直接写出结果）
（2）这次调查获取的样本数据的众数是　30　，中位数是　50　．（直接写出结果）
（3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．

【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以求得这次调查获取的样本容量；
（2）根据条形统计图中的数据可以得到这次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（3）根据条形统计图中的数据可以得到该校本学期计划购买课外书的总花费．
【解答】解：（1）样本容量是：6+12+10+8+4＝40，
故答案为：40；
（2）由统计图可得，
这次调查获取的样本数据的众数是30，中位数是50，
故答案为：30，50；
（3）×1000＝50500（元），
答：该校本学期计划购买课外书的总花费是50500元．
【点评】本题考查众数、中位数、加权平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点，交x轴于点C．
（1）求m、n的值；
（2）请直接写出不等式kx+b＜的解集；

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用图象法即可解决问题，写出直线的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）把点A（2，4）代入，
得到m＝8，
把B（﹣4，n）代入得到n＝﹣2，
∴m＝8，n＝﹣2；
（2）观察图象可知：不等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，已知平行四边形ABCD，点E是边AB的延长线上一点，DE与BC交于点F，BE＝AB．
（1）求证：△ADE∽△CFD；
（2）若△BEF的面积为1，求四边形ABFD的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，平行四边形对角相等可得∠A＝∠C，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE＝∠CFD，然后根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
（2）求出BE＝AE，再求出△ADE和△BFE相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出S△ADE，然后根据S四边形ABFD＝S△ADE﹣S△BFE计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠CFD，
在△ADE和△CFD中，，
∴△ADE∽△CFD；

（2）解：∵BE＝AB，
∴BE＝AE，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BFE，
∴＝（）2＝，
∵△BEF的面积为1，
∴S△ADE＝9，
∴S四边形ABFD＝S△ADE﹣S△BFE＝9﹣1＝8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
25．（12分）下图为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC＝30m．现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC＝h，太阳光线与水平线的夹角为α．
（1）用含α的式子表示h；
（2）当α＝30°时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每小时增加10°，几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？

【分析】（1）过E作EF⊥AB，垂足为F，在直角三角形AFE中，用锐角三角函数表示出h即可；
（2）令α＝30°求得h的近似值后即可判断影子落在第几层．
【解答】解：（1）过E作EF⊥AB，垂足为F，则∠BEF＝α，
在Rt△AFE中，FE＝AC＝30，AB＝10×3＝30，
∴BF＝AB﹣EC＝30﹣h，
∵tanα＝，
∴BF＝EF×tanα，
即30﹣h＝30×tanα，
h＝30﹣30tanα；

（2）当α＝30°时，h＝30﹣30tan30°≈12.68，
∴甲楼顶B的影子落在第五层，
不影响乙楼的采光时，AB的影子顶部应刚好落在C处，
此时，AB＝30，AC＝30，
∴∠BCA＝45°，
则∠α’＝45°，
∵角α每小时增加10度，
∴应在1个半小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出直角三角形模型．
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日期：2020/10/24 9:01:43；用户：钱军华；邮箱：sjhzxyh09@xyh.com；学号：37801999