2023-2024学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷，共10页。

1．（2分）下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A．y＝3xB．y=−2xC．y＝x2+3D．x+y＝5
2．（2分）把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）
A．2，﹣3B．﹣2，﹣3C．2，﹣3xD．﹣2，﹣3x
3．（2分）如图，在5×6的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
A．22B．2C．1D．33
4．（2分）如图，在6×6的正方形网格中，以O为位似中心，把格点△ABC放大为原来的2倍，则A的对应点为（ ）
A．点A1B．点A2C．点A3D．点A4
5．（2分）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．（2分）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．
甲、乙两名选手成绩的方差分别记为则S甲2和S乙2，则S甲2与S乙2的大小关系是（ ）
A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2
C．S甲2=S乙2D．无法确定
7．（2分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+1＝0B．x2+x﹣1＝0
C．2x2+2x+3＝0D．4x2﹣4x+1＝0
8．（2分）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．103B．73C．2D．43
9．（2分）在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即脚底到肚脐的长度与身高的比值越接近0.618越给人以美感．小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？（ ）
A．0.075mB．0.8mC．0.085mD．0.065m
10．（2分）反比例函数y=kx的图像经过A（3，m）、B（m﹣1，6）两点，则k的值为 （ ）
A．4B．6C．9D．12
11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，csA=45，则BD的长度为（ ）
A．94B．125C．154D．4
12．（2分）如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止．动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．3s或4.8sB．3s
C．4.5sD．4.5s或4.8s
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）
13．（3分）已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是 ．
14．（3分）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，4），顶点C的坐标为（3，1），若反比例函数y=kx的图像与矩形ABCD有公共点，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
15．（3分）“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献．全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷．某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件（肥力、日照、通风…）不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为：x甲=1042kg/亩，s甲2＝6.5，x乙=1042kg/亩，s乙2＝1.2，则 品种更适合在该村推广．（填“甲”或“乙”）
16．（3分）方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且1x1+1x2=−3，则m＝ ．
17．（3分）某楼盘2020年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2022年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 ．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE＝2cm，则AC的长为 ．
19．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE=45，AD＝4，则AB的长为 ．
20．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若AEEB=23，则S△ADFS△AEF= ．
三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过
21．（8分）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
22．（10分）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“0＜t≤45”；B组“45＜t≤60”；C组“60＜t≤75”；D组“75＜t≤90”；E组“t＞90”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是 °，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？
23．（10分）如图，它是反比例函数y=m−1x（m为常数，且m≠1）图像的一支．
（1）图像的另一支位于哪个象限？求m的取值范围；
（2）点A（2，3）在该反比例函数的图像上．
①判断点B（3，2），C（4，﹣2），D（﹣1，﹣6）是否在这个函数的图像上，并说明理由；
②在该函数图像的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
24．（12分）如图所示，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．
（1）△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
（2）试问：AQ与PQ有什么关系？
25．（12分）如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
（1）∠PAB＝ 度，∠PBA＝ 度；
（2）现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
参考答案与解析
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
12.A 如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
20.52 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AEBE=23，∴设AE＝2a，则BE＝3a，∴AB＝CD＝5a，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴AECD=EFDF=25，
∴S△ADFS△AEF=52.
解答题解法提示
21.解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为12（60﹣x+2）米，依题意列方程得
12（60﹣x+2）x＝300，
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
12（60﹣x+2）x＝480，
x2﹣62x+960＝0，
解这个方程得：x1＝32，x2＝30，
∵墙EF最长可利用28米，
而28＜30＜32，
∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去，
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园．
22.解：（1）这次调查的样本容量是：13÷26%＝50；
B组的人数为：50﹣5﹣13﹣20﹣2＝10（人），
补全条形统计图如下：
（2）A组对应的圆心角的度数是：360°×550=36°；
本次调查数据的中位数落在C组，
故答案为：36；C；
（3）2000×50−250=1920（人），
答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人．
23.解：（1）由图像在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限，
∵图像在第一、三象限，
∴m﹣1＞0，解得m＞1.
（2）∵点A（2，3）在该反比例函数的图像上，
∴m﹣5＝2×3＝6，
①点B（3，2）和D（﹣1，﹣6）在这个函数的图像上，
∵3×2＝6，4×（﹣2）＝﹣8≠6，﹣1×（﹣6）＝6，
∴点B（3，2）和D（﹣1，﹣6）在这个函数的图像上，点C不在这个函数图像上；
②∵反比例函数图像在第一、三象限，
∴在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
24.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠D＝90°；
又∵Q是CD中点，
∴CQ＝DQ=12AD；
∵BP＝3PC，
∴CP=14AD，
∴CQAD=CPDQ=12，
又∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
（2）AQ＝2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：
由（1）知，△ADQ∽△QCP，CQAD=CPDQ=12，
则AQQP=CQAD=CPDQ=12，
AQ＝2PQ；
∵△ADQ∽△QCP，
∴∠AQD＝∠QPC，∠DAQ＝∠PQC，
∴∠PQC+∠DQA＝∠DAQ+∠AQD＝90°，
∴AQ⊥QP．
解：（1）30 45
如图，
∵∠MAP＝30°，∠MAB＝60°，
∴∠PAB＝60°﹣30°＝30°，
∵∠PBC＝90°﹣75°＝15°，∠ABC＝∠BAD＝30°，
∴∠PBA＝15°+30°＝45°.
（2）如图，过点P作PQ⊥AB于Q，
设PQ＝x米，
在Rt△APQ中，
∵∠PAQ＝30°，
∴AQ=3PQ=3x（米），
在Rt△PBQ中，
∵∠PBQ＝45°，
∴BQ＝PQ＝x（米）．
∵AB＝2000米，
∴x+3x＝2000，解得x＝1000（3−1），
∴AQ=3x＝（3000﹣10003）米．
答：A小区与支管道连接点Q的距离为（3000﹣10003）米．
测试次数
1
2
3
4
5
甲
5
10
9
3
8
乙
8
6
8
6
7
1
2
3
4
5
6
B
C
C
C
B
A
7
8
9
10
11
12
B
B
A
B
C
A
13.5 14.2（答案不唯一）15.乙 16.﹣3 17.8100×（1﹣x）2＝7600
18.25cm 19.3 20.52