2021-2022学年辽宁省沈阳市第八十三中学高二下学期6月复学考试数学试题含答案

  沈阳市第八十三中学2021-2022学年高二下学期6月复学考试

数学试题

一、选择题：本大题共八个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若等比数列{an}满足a1+a2＝3，a4+a5＝81，则数列{an}的公比为（　　）

A. ﹣2 B. 2 C. ﹣3 D. 3

3. 利用数学归纳法证明时，第一步应证明

A  B.

C.  D.

4. 下列函数中，是其极值点的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

5. 在等差数列中，已知，，则使数列的前n项和成立时n的最小值为（    ）

A. 6 B. 7 C. 9 D. 10

6. 函数有极值的充分但不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（    ）

A  B.

C.  D.

8. 已知函数在上的最小值为，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本大题共四个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（    ）

A. ac（a-c）>0 B. c（b-a）<0 

C.  D.

10. 数列是递增的等差数列，前n项和为，满足，则下列选项正确的是（　　）

A.  B.

C. 当时，Sn最小 D. 时，n的最小值为7

11. 已知函数，下列说法正确的有（   ）

A. 的单调递增区间为(－∞，1)

B. 在处的切线方程为y=1

C. 若方程有两个不相等的实数根，则

D. 的极大值点为(1，1)

12. 已知函数，下述结论正确的是（    ）

A. 存在唯一极值点，且

B. 存在实数，使得

C. 方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数

D. 当时，函数与的图象有两个交点

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案写在答题纸的相应横线上.

13. 在等差数列{an}中，a3＝3，公差d＝﹣2，则a6＝_____．

14. 若函数的两个零点是2和3，则不等式 的解集为________ ．

15. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．已知为抛物线上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为_______；弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为_________．

16. 若指数函数（且）与三次函数图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是______.

四、解答题：本大题共六个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知是公差为的等差数列，为数列的前项和，是正项等比数列，，，试比较与的大小，并说明理由．

18. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55．

（1）求an、Sn；

（2）若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n．

19. 已知函数.

（1）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数a的值；

（2）求函数的单调区间.

20. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元.

（1）求的值；

（2）求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；

（3）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.

21. 已知数列{an}的前n项和为，，数列{bn}满足b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和Tn；

（3）若，求对所有的正整数n都有成立的k的取值范围．

22. 设函数，其中.

（1）若是函数的极值点，求a的值；

（2）当时，求函数单调区间；

（3）当时，设函数，证明：.

答案

1-5:DDDBD 6-8:AAB

 9.BCD 10.ABD 11.BC 12.ACD

13. ﹣3

14.

15. ①.     ②.

16.

17. 解：因为是公差为，首项为的等差数列，所以，

设等比数列的公比为，则，

若选①，由，，则，

所以，，，

当时，；当时，；

若选②，由，得，则，

所以，，，所以；

若选③，由，得，得，则，则，

，则，则.

18. 【小问1】

设等差数列{an}的公差为d，则，即，解得，故，

【小问2】

由（1）得，.故，令有，即，解得，故满足满足的最小正整数为19

19. 由，知：

（1）由题意，，解得，故.

（2）由上知：，

当时，则，

令有，则在上单调递增；

令有或，则在和上单调递减；

当时，则，

令有，则在上单调递增；

令有，则在上单调递减；

综上：当时，的递增区间是，递减区间是；当时，的递增区间是，递减区间是.

20. 【小问1】

由题意可知，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件

即，解得，

【小问2】

【小问3详解】

令，，令，

∴在区间上为增函数，为减函数

即时，

∴当每年产品的售价为36元时，分公司一年的利润最大，最大值为

21. 【小问1】

因为①，

当n＝1时，解得．

当n≥2时，②，

①﹣②得，

整理得，即，

所以数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列；

所以．

数列{bn}满足b1＝1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2＝0上．

所以bn+1﹣bn＝2（常数），

所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以bn＝2n﹣1．

【小问2】

由（1）得

则①，

②，

①﹣②得，

整理得．

【小问3】

由（1）得，

所以，

所以数列为单调递减数列，

所以，即的最大值为1，

因为对所有的正整数n都有都成立，

所以，可得，

所以恒成立，只需满足即可，

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，

故k＜2，则k的取值范围为．

22. 【小问1】

解：，

因为是函数的极值点，所以，解得，

当时，检验符合题意，

所以a的值为；

【小问2】

解：，，

令，得或，

当时，令，得或，令，得；

当时，恒成立；

当时，令，得或，令，得；

综上，当时，在和单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在和单调递增，在上单调递减；

【小问3】

证明：当时，，

设，

因为，，

所以函数在上单调递增，

又，

所以存在 ，使，即，，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的最小值为，

所以，

从而得证.