2021-2022学年江西省南昌市第二中学等名校高二下学期3月联考数学（理）试题含答案

南昌市第二中学等名校2021-2022学年高二下学期3月联考

数学试卷（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：北师大版必修1~5，选修2-1，选修2-2第一、二章．

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．定义集合且．已知集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知命题，则（    ）

A．p的否定是，且p是真命题    B．p的否定是，且p是假命题

C．p的否定是，且p是真命题    D．p的否定是，且p是假命题

3．下列推理中，正确的是（    ）

A．甲、乙、丙三人比体重，若甲比乙重，乙比丙重，则甲比丙轻

B．若八只麻雀全都飞进五个笼子里，则至少有一个笼子里有三只麻雀

C．如果一个三位数的个位数是4，那么这个三位数一定能被4整除

D．已知所有的碱金属都能与水反应，钾是碱金属，所以钾能与水反应

4．“球O的直径大于”是“球O的表面积大于”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知双曲线的渐近线与圆相切，则C的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．已知函数，则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．甲和乙约定周日早上在学校门口见面，当天先到者等未到者20分钟，超过20分钟对方未到就离开，当天早上，乙将在6点40分到7点50分之间任意时刻到达学校门口，甲于7点10分到达学校门口，则两人可以碰面的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．若函数的图象与的图象都关于直线对称，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的实数x的取值共有（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

10．在三角形中，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的2倍．类比上述结论可得，在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条“中线”的交点称为三棱锥的“重心”，则三棱锥的“重心”到顶点的距离是到对面重心距离的（    ）

A．2倍    B．倍    C．3倍    D．倍

11．设，则（    ）

A．    B．    C．    D．

12．的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．5

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．若满足约束条件则的最大值为_______．

14．观察下列各式：

，

，

，

，

…

据此规律，推测第10个式子为_______．

15．一个质点作直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为_______，该质点的瞬时加速度为_______．（本题第一空2分，第二空3分）

16．已知向量满足，则的最大值是______．

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

的内角的对边分别为．已知．

（1）求C；

（2）若的面积为，求．

18．（12分）

用数学归纳法证明：（n为正整数）．

19．（12分）

如图，在底面为矩形的四棱锥中，E为棱上一点，底面．

（1）证明：平面平面．

（2）若，且四棱锥的体积为20，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

已知函数，直线是曲线的一条切线．

（1）若与直线垂直，求与曲线的切点坐标；

（2）若经过点，求的方程．

21．（12分）

正项数列的前n项和为，已知．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

22．（12分）

已知为平面内一动点，过P作y轴的垂线，垂足为为线段的中点，且．记动点P的轨迹为W．

（1）求W的方程．

（2）S为W与x轴正半轴的交点，过S引两条斜率之和为的直线与W分别交于两点（这两点均异于点S），证明：直线过定点．

高二数学试卷参考答案（理科）

1-5 BDDCA  6-10 ABBCC  11-12 CB

13．22

14．  根据规律可知第n个式子为．

15． 

16． 

17．解：（1）因为，所以，……2分

解得或（舍去）．……3分

又，所以．……5分

（2）由（1）可知，的面积．……6分

又，所以，……8分

所以解得．……10分

18．证明：（1）当时，左边，右边，等式成立．……2分

（2）假设当时，等式成立，

即，……4分

那么当时，

……6分

……9分

．……10分

这就是说，当时，等式也成立．……11分

根据（1）和（2），可知等式对任意正整数n都成立．……12分

19．（1）证明：因为底面，所以．……1分

在矩形中，，……2分

因为，所以平面，……3分

因为平面，所以平面平面．……4分

（2）解：因为四棱锥的体积，所以．……5分

以E为坐标原点，的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，……6分

．……7分

设平面的法向量为，

则，即……8分

令，得．……9分

所以，……11分

故直线与平面所成角的正弦值为．……12分

20．解：（1），……1分

设切点的横坐标为m，则的斜率为．……2分

因为与直线垂直，所以的斜率为，……3分

所以，即，解得，……4分

因为，所以与曲线的切点坐标为．……5分

（2）设的斜率为k，则的方程为．……6分

设切点的横坐标为t，则……8分

将代入，得，即，解得，……10分

当时，的方程为；……11分

当时，的方程为．……12分

21．解：（1）因为，……2分

所以或（舍去）．……3分

当时，．……5分

又，所以．……6分

（2）由（1）可知，．

令，①

则……8分

得，……9分

即，……10分

则．……12分

22．（1）解：设，则，……2分

因为，所以，即，……3分

因为P为线段的中点，所以，故W的方程为．……4分

（2）证明：由（1）得，设直线的斜率分别为．

设，

将代入，得．……5分

由题设可知，……6分

，……8分

得，……9分

．

因为，所以可化为，……11分

则，直线的方程为．

令得所以过定点．……12分