2021-2022学年新疆石河子第一中学高二下学期5月月考数学（理）试题含答案

石河子第一中学2021-2022学年高二下学期5月月考

理科数学学科试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直角坐标在极坐标系中的坐标为（    ）

A．   B． C． D．

2．的展开式中的系数为（   ）

A．10       B．20   C．40   D．80

3．已知随机变量服从二项分布，则等于（    ）

A．           B．        C．         D．

4.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：

由上表可得经验回归方程，则当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为（       ）

A． B．10 C．6 D．

5．若将曲线上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到曲线，则曲线的方程为  （    ）

A．    B．     C．     D．

6. 设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则（    ）

A.  B. 0 C.  D.

7．某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（    ）

A．4 B．12 C．16 D．24

8．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（    ）

A．   B．   C．   D．

9．已知实数，满足，则的最小值是（     ）

A．  B．         C． D．

10. 研究表明，我国研制的新冠灭活疫苗，人体接种这种疫苗需要接种两次，间隔2~4周，接种完第一剂以后，7天开始普遍产生抗体，接种完第二剂28天以后，中和抗体阳转率或者叫阳性率均达百分之百．也就是说，按照规范的免疫程序接种两剂我国研制的新冠灭活疫苗28天后，所有人都能产生足以抵抗新冠病毒的抗体，某研究所在500名志愿者身上进行了人体新冠灭活疫苗注射，接种完第一剂7天后发现这些志愿者均已经产生了稳定的免疫应答，这些志愿者的免疫反应蛋白的数值（单位：）近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的98%，则这500名志愿者中免疫反应蛋白的数值 不大于的人数大约为（    ）

A. 5 B. 10 C. 50 D. 100

11、在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线在极坐标系中的方程为．若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范围是(     )

A.   B.  C.   D.  

12. 已知函数，其中是自然对数的底数，是实数，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ）

A.  B.  

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若直线（为参数）与直线平行，则常数=（    ）

14.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为___________．

15．已知点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则线段长度的最大值为___________．

16．已知函数，则下列说法正确的是         

①有且只有一个极值点;      ②设，则与的单调性不同;

③有3个零点;    ④在上单调递增

三．解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

17. （本小题10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程(为参数).在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的极坐标方程；

（2）若射线(，)与直线及曲线分别交于点，，且，求.

.

18.（本小题12分）

已知倾斜角为且经过点的直线与椭圆：交于，两点．

（1）写出直线与椭圆的参数方程；

（2）若，求直线的普通方程．

19.（本小题12分）

如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥,

,点在线段上.

（1）当点为中点时，求证：∥平面；

（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.

20．（本小题12分）

核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混合在一起化验；

方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．

在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．

（1）求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；

（2）现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？做出判断并说明理由．

21.(本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，巳知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，当取得最小值时，求直线的方程.

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：在上恒成立；

（3）求证：当时，．

答案

1-12 ACDDA  ABDDA  AA

13. 3

14.

15.

16. ①②④

17. （1）；（2）.

18. （1）依题意，直线的参数方程为（为参数）．

椭圆的参数方程为（为参数）；

（2）将直线的参数方程（为参数）代入椭圆：中，

整理得，

．

设点，对应的参数分别为，，则，，

∴．

∵，，∴，解得，则，

∴直线的普通方程为．

19. （1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，所以.

∴………………………………………………………………………………2分

又，是平面的一个法向量.

∵      即

∴∥平面…………………………………………………………………………4分

（2）设，则，

又

设，则，即.………6分

设是平面的一个法向量，则

取 得       即 

又由题设，是平面的一个法向量，…………………………………8分

∴   ………………10分

即点为中点，此时，， 为三棱锥的高，

∴………………………………………………12分

20. （1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，

由题意可知，4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为

；

（2）方案一：逐个检验，检验次数为4．

方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，所以

，

，

所以随机变量的分布列为：

所以方案二检测次数的数学期望为；

方案三：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，

设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6，所以

，

，

，

所以随机变量的分布列为：

所以方案三检测次数的期望为，

因为，

所以选择方案二最优．

21. （1）由题意有，得，

.

（2）设直线方程为，与椭圆联立得，

则，，即点，

则方程为，

令得，即，

则，

又，

则，

当且仅当时取等号.

则当取得最小值时，直线方程为.

22. （1）法1：函数的定义域为，

，

当时，在区间成立，故，即在单增；

当时，，在区间成立，故，∴在单增；

当时，，设两根为，则，

当或时，，，当时，，，故在单减，在和单增．

综上：当时，在上是增函数；

当时，在单减，在和单增．

法2：

函数的定义域为，

∵，

当时，，在上是增函数；

当时，，解得，

，解得或．

∴在单减，在和单增．

（2）当时，在单增，故在单增，

所以．所以在上恒成立；

（3）法1：由（2）知，当时，，即，当时，．

要证，只需证，只需证．

令，，

，，

∴在单增，即．

法2：

要证，只需证，只需证．

设，只需证．

则

令，则，，

，∴在单减．故只需证即可．

，，．

所以原不等式成立.