2021-2022学年河南省鹤壁市淇滨高级中学高二下学期第二次半月考试数学（文）试题含答案

淇滨高中 2021-2022 学年下学期第一次半月考

高二数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）

1. 若复数ꢀ = ꢁ2 − 1 + (ꢁ2 − ꢁ − 2)ꢂ为实数，则实数ꢁ的值为(ꢀꢀꢀꢀ)

A. −1

B. 2

C. 1

D. −1 或 2

2. 数列 2， 5，2 2， 11…的一个通项公式是(ꢀꢀꢀꢀ)

A. ꢃꢄ = 3ꢄ − 3 B. ꢃꢄ = 3ꢄ − 1 C. ꢃꢄ = 3ꢄ + 1

3. 如表是某厂 1 − 4 月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

D. ꢃꢄ = 3ꢄ + 3

月份ꢅ

1

2

4

3

3

4

用水量ꢆ

4.5

2.5

由散点图可知，用水量ꢆ与月份ꢅ之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程

是ꢆꢇ =− 0.7ꢅ + ꢃ，则ꢃ等于(

)

A. 5.1

B. 5.25

C. 5.3

D. 5.4

4. ꢈ: ∀ꢅ ∈ ꢉ，ꢅ2 ≥ 0 的否定是(

A. ¬ꢈ: ∀ꢅ ∈ ꢉ，ꢅ2 < 0

)

B. ¬ꢈ: ∃ꢅ ∈ ꢉ，ꢅ2 ≤ 0

D. ¬ꢈ: ∀ꢅ ∈ ꢉ，ꢅ2 ≤ 0

C. ¬ꢈ: ∃ꢅ ∈ ꢉ，ꢅ2 < 0

5. “2ꢃ > 2ꢊ”是“log ꢃ > log ꢊ”的(ꢀꢀꢀꢀ)

2

2

A. 充分不必要条件

C. 充要条件

B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

6. △ ꢋꢌꢍ的三个内角ꢋ，ꢌ，ꢍ所对的边分别为ꢃ，ꢊ，ꢎ，且ꢃ = 1，ꢌ = 45∘，ꢏ△ꢋꢌꢍ = 2，

则△ ꢋꢌꢍ的外接圆的直径为(ꢀꢀꢀꢀ)

A. 4 3

B. 5

C. 5 2

D. 6 2

7. 在△ ꢋꢌꢍ中，若 3ꢊ = 2 3ꢃsinꢌ，ꢎꢐꢑꢋ = ꢎꢐꢑꢍ，则△ ꢋꢌꢍ为(

)

A. 直角三角形

C. 等边三角形

B. 等腰三角形

D. 等腰直角三角形

8. 设等比数列{ꢃ }中，每项均为正数，且ꢃ ꢃ = 81，log ꢃ + log ꢃ + … + log ꢃ

ꢄ

3

8

3

1

3

2

3

10

等于(ꢀꢀꢀꢀ)

A. 5

B. 10

C. 20

D. 40

9. 不等式 3 + 5ꢅ − 2ꢅ2 ≤ 0 的解集为(ꢀꢀꢀꢀ)

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1

2

1

A. ꢅ ꢅ > 3 或ꢅ <−

C. ꢅ ꢅ ≥ 3 或ꢅ ≤−

B. ꢅ − ≤ ꢅ ≤ 3

2

1

2

D. ꢉ

ꢆ ≤ ꢅ

10. 若ꢅ，ꢆ满足约束条件 ꢅ + ꢆ ≤ 4，则ꢀ = ꢅ + 2ꢆ的最大值是(

)

ꢆ ≥− 2

A. 8

B. 4

C. 2

D. 6

1

1

11. 过抛物线ꢆ2 = 2ꢈꢅ(ꢈ > 0)的焦点作两条相互垂直的弦ꢋꢌ和ꢍꢒ，则

(ꢀꢀꢀꢀ)

+

的值为

|ꢋꢌ|

|ꢍꢒ|

ꢈ

2

2

ꢈ

1

A.

B.

C. 2ꢈ

D.

2ꢈ

ꢅ2

12. 已知ꢓ是椭圆 + ꢆ2 = 1 上的动点，则ꢓ点到直线ꢔ：ꢅ + ꢆ − 2 5 = 0 的距离的最小

4

值为( )

10

5

10

5

2

A.

B.

C.

D.

2

2

5

二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）

13. 若命题“∃ꢅ ∈ ꢉ，使得ꢅꢕ2 + (ꢃ − 1)ꢅ + 1 < 0”是真命题，则实数ꢃ的取值范围是

0

0

0

________．

14. 双曲线ꢅ2

−

ꢆ2

ꢁ

= 1 的离心率为 ，则ꢁ等于________．

5

16

4

ꢃ5

ꢃ3

5

ꢏ9

ꢏ5

15. 设ꢏ 是等差数列{ꢃ }的前ꢄ项和，若 = ，则

=

．

ꢄ

ꢄ

9

16. 已知函数ꢆ = ln(ꢅ − 4)的定义域为ꢋ，集合ꢌ = {ꢅ|ꢅ > ꢃ}.若ꢅ ∈ ꢋ是ꢅ ∈ ꢌ的充分不

必要条件，则实数ꢃ的取值范围为________．

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）

17. △ ABC 的内角ꢋ，ꢌ，ꢍ的对边分别为ꢃ，ꢊ，ꢎ，已知ꢖcosC(acosB + bcosA) = ꢗ．

(Ⅰ)求角ꢍ；

ꢙ ꢙ

(Ⅱ)若ꢗ = ꢘ，△ ABC 的面积为 ，求△ ABC 的周长．

ꢖ

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18. 公差不为 0 的等差数列{ꢃ }，ꢃ 为ꢃ ，ꢃ 的等比中项，且ꢏ = 6．

ꢄ

2

1

4

3

(Ⅰ)求数列{ꢃꢄ}的通项公式；

(Ⅱ)设ꢊ = ꢃ + 2ꢄ，求数列{ꢊ }的前ꢄ项和ꢚ ．

ꢄ

ꢄ

ꢄ

ꢄ

19. 已知函数ꢛ(ꢅ) = ꢅ2 − ꢃꢅ + 3．

(1)若ꢛ(ꢅ) ≤− 3 的解集为[ꢊ, 3]，求实数ꢃ，ꢊ的值；

1

(2)当ꢅ ∈ [ , + ∞)时，若关于ꢅ的不等式ꢛ(ꢅ) ≥ 1 − ꢅ2恒成立，求实数ꢃ的取值范围．

2

20. 已知ꢈ：存在ꢅ ∈ [0,4]，使不等式2ꢅ + log2(ꢅ + 1) − ꢃ < 0 成立；ꢜ：方程sin2ꢅ +

sinꢀꢅ − ꢃ = 0 有解。

(1)若ꢈ为真命题，求ꢃ的取值范围；

(2)若( ꢈ) ∧ ꢜ为真命题，求ꢃ的取值范围。

﹁

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2

21. 已知函数ꢛ(ꢅ) = ꢅ3 + ꢃꢅ2 + ꢊꢅ + ꢎ在ꢅ =− 与ꢅ = 1 处都取得极值．

3

(1)求ꢃ，ꢊ的值及函数ꢛ(ꢅ)的单调区间；

(2)若ꢅ ∈ [ − 1,2]，不等式ꢛ(ꢅ) < ꢎ2恒成立，求ꢎ的取值范围．

22. 已知双曲线ꢅ2

−

ꢆ2

ꢊ2

= 1(ꢃ > 0, ꢊ > 0)，ꢝ为坐标原点，离心率ꢞ = 2，点ꢟ( 5, 3)

ꢃ2

在双曲线上．

(1)求双曲线的方程;

(2)如图，若直线ꢔ与双曲线的左、右两支分别交于点ꢠ，ꢓ，且ꢝꢢꢢꢢꢓꢢꢡ ⋅ ꢝꢢꢢꢢꢠꢢꢡ = 0，求|ꢝꢓ|2 +

|ꢝꢠ|2的最小值．

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淇滨高中 2021-2022 学年下学期第一次半月考

答案和解析

【答案】

1. ꢀ

2. ꢁ

9. ꢂ

3. ꢁ

4. ꢂ

5. ꢁ

6. ꢂ

7. ꢂ

8. ꢂ

10. ꢀ

11. ꢀ

12. ꢃ

13.

(－∞，－1)∪(3，＋∞)

14.

9

15.

1

16.

(－∞，4)

17.

解： Ⅰ)∵在

中，0<C<π，∴sinC≠ 0,

已知等式利用正弦定理化简得： 2cosC(sinAcosB + sinBcosA) = sinC，

整理得：2cosCsin(A+B)= sinC，

即 2cosCsinC=sinC，

又

，sinC 0，

∴cosC= ，∴C= ；

2

2

Ⅱ 由余弦定理得:7=a +b -2ab

∴(a+b)2-3ab=7，∵S= absinC=

∴ab=6,∴(a+b)2-18=7,∴a+b=5,

，

ab=

,

∴△ABC 的周长为

．

18.

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解：（Ⅰ）差不为 0 的等差数列{a }，a 为 a ，a 的等比中项，且 S =6．

n

2

1

4

3

则：

，即

，

解得

，

∴an=n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以

，

．

，

∴

19.

解：（1）因为 f（x）≤-3 即 x2-ax+6≤0 的解集为[b，3]，

所以 b，3 是一元二次方程 x2-ax+6=0 的两根，

∴

，解得

，

（2）当 x∈[ ，+∞）时，若关于 x 的不等式 f（x）≥1-x2 恒成立，

即 a≤2x+ 在 x∈[ ，+∞）上恒成立，

令 g（x）=2x+ ，x

，则 a≤g（x）min

，

∵2x+ ≥2

=4，当且仅当 x=1 时取等号．

故 a≤4．

20.

x

∈

解：（1）p 为真命题等价于不等式 2 +log （x+1）-a＜0 在 x [0，4]上有解，

2

x

设 f（x）=2 +log （x+1）-a，则 f（x）在[0，4]上单调递增，

2

x

∈

因为不等式 2 +log （x+1）-a＜0 在 x [0，4]上有解，

2

所以 f（x）min=f（0）=1-a＜0，解得 a＞1，

故若 p 为真命题，a 的取值范围为（1，+∞）；

2

∈

（2）记 y=sin x+sin x，令 t=sin x，t [-1，1]，

则 y=t2+t∈[- ，2]，

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2

∈

当 q 为真命题时，即方程 sin x+sin x-a=0 有解，故 a [- ，

2]，

因为（﹁p）∧q 为真命题，所以

，

即 a∈[- ，1].

21.

解：(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈R，

得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

因为 f′(1)＝3＋2a＋b＝0，

f′

＝ － a＋b＝0，

解得 a＝－ ，b＝－2，

所以 f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，

当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：

x

－

1

(1，＋∞)

f′(x)

f(x)

＋

0

－

0

＋

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以函数 f(x)的单调递增区间为

和(1，＋∞)；

单调递减区间为

.

(2)由(1)知，f(x)＝x － x －2x＋c，

3

2

x∈[－1，2]，当 x＝－ 时，f

＝

＋c 为极大值，

因为 f(2)＝2＋c，

所以 f(2)＝2＋c 为最大值．

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要使 f(x)＜c2(x∈[－1，2])恒成立，只需 c2＞f(2)＝2＋c，

解得 c＜－1 或 c＞2.

故 c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞ )．

22.

解：(1)因为 e= =2,所以 c=2a, = -

=

.

所以双曲线的方程为

-

=1,即

-

=

.

因为点 M(

,

)在双曲线上,所以 15-3=

,所以 =4.

所以所求双曲线的方程为

-

=12.即

.

(2)由题意可得直线 OP 的斜率存在，可设直线 OP 的方程为 y=kx(k 0),则直

线 OQ 的方程为 y=- x,

由

,得

,

所以

=

+

=

.

同理可得,

所以

=

=

,

+

=

=

= .

设

+

=t,

则 t (

+

)=2+

+

2+2=4,(当且仅当|OP|=|OQ|=2

时取等号),

所以 t =24,即

+

24(当且仅当|OP|=|OQ|=2

时取等号).

所以当|OP|=|OQ|=2

时,

+

取得最小值 24.

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