2022-2023学年辽宁省沈阳市第八十三中学高二上学期开学考试数学试题含答案

  2022-2023（上）学期期初考试高二数学试题

一、单选题

1. 过点且倾斜角为的直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 与两平行线：，：等距离的直线的方程为（    ）

A.  B.

C. 或 D.

3. 如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（    ）

A  B.  C.  D.

5. 已知两点，直线与线段相交，则直线斜率取值范围是

A  B.  

C.  D.

6. 关于空间向量，以下说法不正确的是（        ）

A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则

B. 若直线l方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//α

C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

7. l1，l2是分别经过，两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（    ）

A.  B.  

C.  D.

8. 已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（    ）

A. 7 B. 9 C. 11 D. 16

二、多选题

9. 已知直线：和直线：，则（    ）

A. 若，则或 

B. 若在轴和轴上的截距相等，则

C. 若，则或2 

D. 若，则与间的距离为

10. 下列四个命题中，正确命题的有（    ）

A. 若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为；

B. 若向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为；

C. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为；

D. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则.

11. 下列说法中，表述正确的是(    )

A. 向量在直线l上，则直线l的倾斜角为

B. 若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为

C. 若实数、满足，，则代数式的取值范围为

D. 若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件

12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则（    ）

A. 直线平面

B. 三棱锥的体积为定值

C. 异面直线AP与所成角的取值范围是

D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为

三、填空题

13. 设空间向量，，若，则 ___．

14. 已知直线的方程为，直线的方程为，若，则直线与的交点坐标为______．

15. 如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________.

16. 设，求的最小值是___________.

四、解答题

17. 已知直线.

（1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：

（2）当直线l不通过第四象限时，求实数a取值范围.

18. 如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．

（1）求证：平面ACF：

（2）求点B到平面ACF的距离．

19. 已知直线l：x+2y-2=0．试求：

（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；

（2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．

20. 如图，在直三棱柱中，，，是中点.

（1）求证：平面；

（2）若棱上存在一点，满足，求的长；

（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21. 已知直线过点（1，2）.

（1）若直线与平行，求直线的方程；

（2）若直线与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，求的面积的最小值.

22. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值．

答案

1-8 DABDA  BAB  9.CD  10.CD  11.AC  12.AB

13.

14.

15.

16.

17.（1）由条件知，且，

在直线l的方程中，令得，令得

∴，解得：，或，

经检验，，均符合要求.

（2）当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限；

当时，直线/的方程为：.

l不通过第四象限，即，解得

综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为

18.（1）以坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则,

设面的一个法向量为，，

可得，即，不妨令则,

平面.

（2），则点到平面的距离为.

19. （1） 设点关于直线的对称点为，

则线段中点在对称轴上,且.

∴即的坐标为.

(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上,反之也成立.由

将的坐标代入直线的方程得.

∴直线方程为.

20.（1）连接，交于点N，连接，如图

直三棱柱中，是的中点，又是中点，

所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则

，，，，，，

设，所以，，

因为，所以，解得，所以.

（3）因为，，设平面的法向量为，

则有，得，

令，则，，所以取，

因为平面，取平面的法向量为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.

21.（1）解：因为直线与平行，所以直线的斜率为2，

又直线过点（1，2），

所以直线的方程为，即；

（2）解：由题意，直线的斜率存在，设，且，

令，可得，令，可得，

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以的面积的最小值为4.

22.（1）由题设，△为等边三角形，则，

又四边形为梯形，，则，

在△中，，即，

面面，面面，面，则面，

又面，故.

（2）若为中点，，则，

面面，面面，面，则面，

连接，则，且面，故，

综上，，两两垂直，

构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

所以，，，，若且，则，

而面的一个法向量为，，

所以，可得，故，

所以，，，

若是面的一个法向量，则，

取，

若是面的一个法向量，则，取，

所以，

由图知：锐二面角的余弦值.