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北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷【带解析】
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这是一份北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷【带解析】，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列各式中，与分式的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（ ）
A．17°B．34°C．56°D．68°
5．在实数0，π，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ）
A．B．C．D．
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
8．为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．15mB．17mC．20mD．28m
9．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
10．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④B．④③②①C．②④③①D．④③①②
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
11．计算： = ．
12．若分式值为0，则a的值为 ．
13．若 a，b为两个连续的正整数，且，则a+b= ．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=2，则BC= ．
15．若实数x，y满足=0，则代数式yx的值是 ．
16．等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB= ，AC= ．
18．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小米的作法如下：
请回答：小米的作图依据是 ．
三、解答题（本题共58分，第19-27题，每小题5分，第28题6分，第29题7分）
19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
20．计算：．
21．计算：．
22．计算：．
23．解方程：
24．已知，求代数式的值．
25．有一块面积为150亩的绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少一半，乙队按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？
26．小明解方程的过程如图．请指出他解答过程中的错误步骤及错误原因，并写出正确的解答过程．
解：方程两边同乘x得1﹣（x﹣2）=1．…①
去括号得1﹣x﹣2=1．…②
合并同类项得﹣x﹣1=1．…③
移项得﹣x=2．…④
解得x=﹣2．…⑤
所以原方程的解为x=﹣2．…⑥
27．如图，已知△ABC中AB=AC．
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．
28．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时|a|是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时|a|是零；
当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a|是它的相反数．
综上所述，|a|可分三种情况，即|a|=
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况．
（2）猜想与|a|的大小关系是 |a|．
（3）当1＜x＜2时，试化简：．
29．如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．
（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是 ；
（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK MK（填“＞”或“＜”）；
（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK MK，试证明你的猜想．
2017-2018学年北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：由图可得，第1，3，4个图形是轴对称图形，共3个．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列各式中，与分式的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】把分式的分子、分母同时乘以﹣1即可得出结论．
【解答】解：把分式﹣的分子、分母同时乘以﹣1得， =．
故选D．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
3．如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，求出不等式的解集，再在数轴上表示．
【解答】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
在数轴上表示为：，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及在数轴上表示解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
4．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（ ）
A．17°B．34°C．56°D．68°
【考点】平行线的性质．
【分析】首先由AB∥CD，求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，求得∠CBE的度数，然后根据三角形外角的性质求得∠BED的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=34°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠CBE=∠ABC=34°，
∴∠BED=∠C+∠CBE=68°．
故选D．
【点评】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
5．在实数0，π，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：π，是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】由小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
∴小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为：．
故选B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项正确；
B、=2|a|，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、=2，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、中含有分母，即不是最简二次根式，故本选项错误；
故选A．
【点评】此题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解本题的关键．
8．为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．15mB．17mC．20mD．28m
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12，
即4＜AB＜28，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
9．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．
【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．
【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．
10．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．[来源:学。科。网]
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④B．④③②①C．②④③①D．④③①②
【考点】作图—复杂作图．
【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．
【解答】解：用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以，BH就是所求作的高．
故正确的作图步骤是④③①②．
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
11．计算： = ﹣2 ．
【考点】立方根．
【分析】根据立方根的定义，即可解答．
【解答】解： =﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
12．若分式值为0，则a的值为 2 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件可得a﹣2=0，且a+3≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：a﹣2=0，且a+3≠0，
解得：a=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．若 a，b为两个连续的正整数，且，则a+b= 9 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估算出的范围，得出a、b的值，最后代入求出即可．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴a=4，b=5，
∴a+b=9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算出的范围是解此题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=2，则BC= 3 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．
【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴BD=AD=2，
在Rt△ADC中，∠C=90°，
∴DC===1，
∴BC=BD+DC=2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质、等腰三角形的判定；本题难度适中，是一道好题．
15．若实数x，y满足=0，则代数式yx的值是 2 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2=0，y+=0，
解得x=2，y=﹣，
则yx=2
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为 11或13 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，
能组成三角形，周长=3+3+5=11，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5，
能组成三角形，周长=3+5+5=13，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13．
故答案为：11或13．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB= 6 ，AC= 3 ．
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，设BE=x，然后根据△BDE的周长列方程求出x的值，再分别求解即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD=DE，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
设BE=x，则CD=DE=x，BD=x，
∵△BDE的周长是6，
∴x+x+x=6，[来源:学+科+网]
解得x=6﹣3，
∴AC=BC=x+x=6﹣3+（6﹣3）=3，
AB=AC=×3=6．
故答案为：6；3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形周长的定义，等腰直角三角形的判定与性质，根据三角形的周长列出方程是解题的关键．
18．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小米的作法如下：
请回答：小米的作图依据是 有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 ．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【分析】由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定△ODC≌△O′D′C′，再根据全等三角形对应角相等可得∠O=∠O′．
【解答】解：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠O=∠O′．
故答案为：有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握全等三角形的判定与性质．
三、解答题（本题共58分，第19-27题，每小题5分，第28题6分，第29题7分）
19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．在△ABD和△ACE中，已知了AB=AC，BD=EC且∠B=∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD=AE的结论．
【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=CF，
∵BD=CE，
∴DF=EF，
∴AD=AE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；根据等腰三角形的性质来得出全等三角形的判定条件是解题的关键．
20．计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先根据二次根式的乘法法则运算和去绝对值，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式=﹣++3
=﹣3+2+3
=2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21．计算：．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先将原式能因式分解的先因式分解，然后将除法转化为乘法，约分化简，然后再根据分式的加减进行计算即可．
【解答】解：
=
=
=
=2．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
22．计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先利用完全平方公式展开，然后合并即可．
【解答】解：原式=3﹣2+2﹣+3
=8﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23．解方程：
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】本题考查解分式方程的能力．观察可得方程的最简公分母为x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1），得
x2+2（x﹣1）=x（x﹣1），
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根．
∴原方程的根是．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
24．已知，求代数式的值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=（+）•
=•
=x﹣1，
∵x=1+时，原式=1+﹣1=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
25．有一块面积为150亩的绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少一半，乙队按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？
【考点】分式方程的应用．
【分析】求的是时间，工作总量为150，一定是根据工作效率来列等量关系，本题的关键描述语是：甲队比乙队每天多绿化10亩．等量关系为：甲工效﹣乙工效=10．
【解答】解：设规定时间为x天，
由题意得：
解得：x=15，
经检验：x=15是原方程的解，且符合实际情况．
答：规定时间是15天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
26．小明解方程的过程如图．请指出他解答过程中的错误步骤及错误原因，并写出正确的解答过程．
解：方程两边同乘x得1﹣（x﹣2）=1．…①
去括号得1﹣x﹣2=1．…②
合并同类项得﹣x﹣1=1．…③
移项得﹣x=2．…④
解得x=﹣2．…⑤
所以原方程的解为x=﹣2．…⑥
【考点】解分式方程．
【专题】阅读型；分式方程及应用．
【分析】步骤①是去分母出错；步骤②是去括号出错；步骤⑥是没有检验，写出正确的解答过程即可．
【解答】解：步骤①去分母等号右边漏乘x；
步骤②去括号，当括号前是“﹣”的时候没有变号；
步骤⑥前少“检验”步骤，
正确解法：
方程两边同乘x，得1﹣（x﹣2）=x，
去括号，得1﹣x+2=x，
移项，得﹣x﹣x=﹣1﹣2，
合并同类项，得﹣2x=﹣3，
两边同除以﹣2，得x=，
经检验，x=是原方程的解，
∴原方程的解是x=．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
27．如图，已知△ABC中AB=AC．
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；证明题．
【分析】（1）以A为圆心，以AB长为半径画弧，与BD的延长线的交点即为点E，再以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；
（2）求出AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AE=AC，
∵AF是∠EAC的平分线，
∴∠EAF=∠CAF，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠E=∠ACF．
【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．
28．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时|a|是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时|a|是零；
当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a|是它的相反数．
综上所述，|a|可分三种情况，即|a|=
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况．
（2）猜想与|a|的大小关系是 = |a|．
（3）当1＜x＜2时，试化简：．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】阅读型．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：（1）当a＞0时，如a=3，则，故此时的结果是它本身；
当a=0时，，故此时的结果是零；
当a＜0时，如a=﹣3，则，故此时的结果是它的相反数．
综上所述，的结果可分三种情况，即
（2）=|a|．
（3）∵1＜x＜2，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴=x﹣1+（2﹣x）
=1．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
①定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时， =0；当a＜0时，二次根式无意义；
②性质： =|a|．
29．如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．
（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK = MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是 等腰三角形三线合一 ；
（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK ＞ MK（填“＞”或“＜”）；
（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK ＞ MK，试证明你的猜想．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；
（2）先证AM=MD、CK=KD，故AM+CK=MD+KD，在△MKD中，根据两边之和大于第三边得AM+CK＞MK；
（3）作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△GDK≌△CDK后，根据全等三角形的性质可得GK=CK，GM+GK＞MK，从而得到AM+CK＞MK．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=AB，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°﹣30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
（2）由（1），得∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK，
（3）AM+CK＞MK，
证明：作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．
∵点G是点A关于直线DE的对称点
∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，
∵Rt△ABC 中，D是AB的中点，
∴AD=CD=GD．
∵∠A=∠E=30°，
∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，
∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，
∴∠GDK=∠CDK，
在△GDK和△CDK中，
∵，
∴△GDK≌△CDK（SAS），
∴GK=CK，
∵GM+GK＞MK，
∴AM+CK＞MK．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定和性质及轴对称图形的性质的应用，将AM、CK转移到同一个三角形中根据三边关系来判断AM+CK与MK的大小是关键．
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列各式中，与分式的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（ ）
A．17°B．34°C．56°D．68°
5．在实数0，π，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ）
A．B．C．D．
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
8．为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．15mB．17mC．20mD．28m
9．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
10．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④B．④③②①C．②④③①D．④③①②
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
11．计算： = ．
12．若分式值为0，则a的值为 ．
13．若 a，b为两个连续的正整数，且，则a+b= ．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=2，则BC= ．
15．若实数x，y满足=0，则代数式yx的值是 ．
16．等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB= ，AC= ．
18．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小米的作法如下：
请回答：小米的作图依据是 ．
三、解答题（本题共58分，第19-27题，每小题5分，第28题6分，第29题7分）
19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
20．计算：．
21．计算：．
22．计算：．
23．解方程：
24．已知，求代数式的值．
25．有一块面积为150亩的绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少一半，乙队按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？
26．小明解方程的过程如图．请指出他解答过程中的错误步骤及错误原因，并写出正确的解答过程．
解：方程两边同乘x得1﹣（x﹣2）=1．…①
去括号得1﹣x﹣2=1．…②
合并同类项得﹣x﹣1=1．…③
移项得﹣x=2．…④
解得x=﹣2．…⑤
所以原方程的解为x=﹣2．…⑥
27．如图，已知△ABC中AB=AC．
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．
28．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时|a|是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时|a|是零；
当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a|是它的相反数．
综上所述，|a|可分三种情况，即|a|=
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况．
（2）猜想与|a|的大小关系是 |a|．
（3）当1＜x＜2时，试化简：．
29．如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．
（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是 ；
（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK MK（填“＞”或“＜”）；
（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK MK，试证明你的猜想．
2017-2018学年北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：由图可得，第1，3，4个图形是轴对称图形，共3个．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列各式中，与分式的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】把分式的分子、分母同时乘以﹣1即可得出结论．
【解答】解：把分式﹣的分子、分母同时乘以﹣1得， =．
故选D．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
3．如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+3≥0，求出不等式的解集，再在数轴上表示．
【解答】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
在数轴上表示为：，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及在数轴上表示解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
4．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（ ）
A．17°B．34°C．56°D．68°
【考点】平行线的性质．
【分析】首先由AB∥CD，求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，求得∠CBE的度数，然后根据三角形外角的性质求得∠BED的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠C=34°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠CBE=∠ABC=34°，
∴∠BED=∠C+∠CBE=68°．
故选D．
【点评】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
5．在实数0，π，，，中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：π，是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】由小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
∴小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为：．
故选B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项正确；
B、=2|a|，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、=2，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、中含有分母，即不是最简二次根式，故本选项错误；
故选A．
【点评】此题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解本题的关键．
8．为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．15mB．17mC．20mD．28m
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12，
即4＜AB＜28，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
9．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．
【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．
【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．
10．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．[来源:学。科。网]
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④B．④③②①C．②④③①D．④③①②
【考点】作图—复杂作图．
【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．
【解答】解：用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以，BH就是所求作的高．
故正确的作图步骤是④③①②．
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
11．计算： = ﹣2 ．
【考点】立方根．
【分析】根据立方根的定义，即可解答．
【解答】解： =﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
12．若分式值为0，则a的值为 2 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件可得a﹣2=0，且a+3≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：a﹣2=0，且a+3≠0，
解得：a=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．若 a，b为两个连续的正整数，且，则a+b= 9 ．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估算出的范围，得出a、b的值，最后代入求出即可．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴a=4，b=5，
∴a+b=9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算出的范围是解此题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=2，则BC= 3 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．
【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴BD=AD=2，
在Rt△ADC中，∠C=90°，
∴DC===1，
∴BC=BD+DC=2+1=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质、等腰三角形的判定；本题难度适中，是一道好题．
15．若实数x，y满足=0，则代数式yx的值是 2 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2=0，y+=0，
解得x=2，y=﹣，
则yx=2
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为 11或13 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，
能组成三角形，周长=3+3+5=11，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5，
能组成三角形，周长=3+5+5=13，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13．
故答案为：11或13．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB= 6 ，AC= 3 ．
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，设BE=x，然后根据△BDE的周长列方程求出x的值，再分别求解即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD=DE，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
设BE=x，则CD=DE=x，BD=x，
∵△BDE的周长是6，
∴x+x+x=6，[来源:学+科+网]
解得x=6﹣3，
∴AC=BC=x+x=6﹣3+（6﹣3）=3，
AB=AC=×3=6．
故答案为：6；3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形周长的定义，等腰直角三角形的判定与性质，根据三角形的周长列出方程是解题的关键．
18．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小米的作法如下：
请回答：小米的作图依据是 有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 ．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【分析】由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定△ODC≌△O′D′C′，再根据全等三角形对应角相等可得∠O=∠O′．
【解答】解：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠O=∠O′．
故答案为：有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握全等三角形的判定与性质．
三、解答题（本题共58分，第19-27题，每小题5分，第28题6分，第29题7分）
19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．在△ABD和△ACE中，已知了AB=AC，BD=EC且∠B=∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD=AE的结论．
【解答】证明：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=CF，
∵BD=CE，
∴DF=EF，
∴AD=AE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；根据等腰三角形的性质来得出全等三角形的判定条件是解题的关键．
20．计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先根据二次根式的乘法法则运算和去绝对值，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式=﹣++3
=﹣3+2+3
=2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21．计算：．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先将原式能因式分解的先因式分解，然后将除法转化为乘法，约分化简，然后再根据分式的加减进行计算即可．
【解答】解：
=
=
=
=2．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
22．计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先利用完全平方公式展开，然后合并即可．
【解答】解：原式=3﹣2+2﹣+3
=8﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23．解方程：
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】本题考查解分式方程的能力．观察可得方程的最简公分母为x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1），得
x2+2（x﹣1）=x（x﹣1），
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根．
∴原方程的根是．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
24．已知，求代数式的值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=（+）•
=•
=x﹣1，
∵x=1+时，原式=1+﹣1=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
25．有一块面积为150亩的绿化工程面向全社会公开招标．现有甲、乙两工程队前来竞标，甲队计划比规定时间少一半，乙队按规划时间完成．甲队比乙队每天多绿化10亩，问：规定时间是多少天？
【考点】分式方程的应用．
【分析】求的是时间，工作总量为150，一定是根据工作效率来列等量关系，本题的关键描述语是：甲队比乙队每天多绿化10亩．等量关系为：甲工效﹣乙工效=10．
【解答】解：设规定时间为x天，
由题意得：
解得：x=15，
经检验：x=15是原方程的解，且符合实际情况．
答：规定时间是15天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
26．小明解方程的过程如图．请指出他解答过程中的错误步骤及错误原因，并写出正确的解答过程．
解：方程两边同乘x得1﹣（x﹣2）=1．…①
去括号得1﹣x﹣2=1．…②
合并同类项得﹣x﹣1=1．…③
移项得﹣x=2．…④
解得x=﹣2．…⑤
所以原方程的解为x=﹣2．…⑥
【考点】解分式方程．
【专题】阅读型；分式方程及应用．
【分析】步骤①是去分母出错；步骤②是去括号出错；步骤⑥是没有检验，写出正确的解答过程即可．
【解答】解：步骤①去分母等号右边漏乘x；
步骤②去括号，当括号前是“﹣”的时候没有变号；
步骤⑥前少“检验”步骤，
正确解法：
方程两边同乘x，得1﹣（x﹣2）=x，
去括号，得1﹣x+2=x，
移项，得﹣x﹣x=﹣1﹣2，
合并同类项，得﹣2x=﹣3，
两边同除以﹣2，得x=，
经检验，x=是原方程的解，
∴原方程的解是x=．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
27．如图，已知△ABC中AB=AC．
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．
【专题】作图题；证明题．
【分析】（1）以A为圆心，以AB长为半径画弧，与BD的延长线的交点即为点E，再以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；
（2）求出AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AE=AC，
∵AF是∠EAC的平分线，
∴∠EAF=∠CAF，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠E=∠ACF．
【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．
28．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时|a|是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时|a|是零；
当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a|是它的相反数．
综上所述，|a|可分三种情况，即|a|=
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况．
（2）猜想与|a|的大小关系是 = |a|．
（3）当1＜x＜2时，试化简：．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】阅读型．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：（1）当a＞0时，如a=3，则，故此时的结果是它本身；
当a=0时，，故此时的结果是零；
当a＜0时，如a=﹣3，则，故此时的结果是它的相反数．
综上所述，的结果可分三种情况，即
（2）=|a|．
（3）∵1＜x＜2，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴=x﹣1+（2﹣x）
=1．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
①定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时， =0；当a＜0时，二次根式无意义；
②性质： =|a|．
29．如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．
（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK = MK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是 等腰三角形三线合一 ；
（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK ＞ MK（填“＞”或“＜”）；
（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK ＞ MK，试证明你的猜想．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；
（2）先证AM=MD、CK=KD，故AM+CK=MD+KD，在△MKD中，根据两边之和大于第三边得AM+CK＞MK；
（3）作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△GDK≌△CDK后，根据全等三角形的性质可得GK=CK，GM+GK＞MK，从而得到AM+CK＞MK．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=AB，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°﹣30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
（2）由（1），得∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30°，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK，
（3）AM+CK＞MK，
证明：作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．
∵点G是点A关于直线DE的对称点
∴AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，
∵Rt△ABC 中，D是AB的中点，
∴AD=CD=GD．
∵∠A=∠E=30°，
∴∠CDA=120°，∠EDF=60°，
∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°，
∴∠GDK=∠CDK，
在△GDK和△CDK中，
∵，
∴△GDK≌△CDK（SAS），
∴GK=CK，
∵GM+GK＞MK，
∴AM+CK＞MK．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定和性质及轴对称图形的性质的应用，将AM、CK转移到同一个三角形中根据三边关系来判断AM+CK与MK的大小是关键．
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