2021-2022学年北京市平谷区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市平谷区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列所说的图形中，不是中心对称图形的是(    )

A. 菱形 B. 等边三角形 C. 矩形 D. 正方形

2. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 四个角都相等

4. 把一元二次方程配方后，下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列多边形中，内角和是的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 在一次函数中，已知，那么在下面它的图象的示意图中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是(    )

A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象必经过点 D. 当时，

8. 北京市的一些公园分布示意图，图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
   当表示什刹海公园的点的坐标为，表示日坛公园的点的坐标为时，表示北海公园的点的坐标为；
   当表示地坛公园的点的坐标为，表示日坛公园的点的坐标为时，表示圆明园的点的坐标为；
   当表示地坛公园的点的坐标为，表示北海公园的点的坐标为时，表示什刹海公园的点的坐标为；
   当表示地坛公园的点的坐标为，表示日坛公园的点的坐标为时，表示圆明园的点的坐标为．
   上述结论中，所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 在平面直角坐标系中，直线与轴交点坐标为______．
10. 如图，在中，，分别是，的中点，点，在边上，且只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是______写出一个即可

11. 如图，已知，那么的度数为______．

12. 在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么线段长度为______．
13. 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图．
    
    你认为应该选择哪种甜玉米种子，理由是______．
14. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是______．
15. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
16. 如图，在矩形中，，，为的中点，沿过点的直线翻折，使点落在边上，记折痕为，则折痕的长为______．

三、解答题（本大题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程：
    ；
    ．
18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，两点．
    画出一次函数的图象；
    求这个一次函数的解析式；
    求的面积．

19. 如图，在▱中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，求证：．

20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
    求这个一次函数的解析式；
    当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求的值．

22. 列方程解应用题
    世纪，古巴比伦泥板书上出现了这样一个问题：“一块矩形田地面积为，长边比短边多，问：长边多长？”请列一元二次方程解答．
23. 已知关于的一元二次方程．
    求证：此方程总有两个不相等的实数根；
    若此方程有一个根是，求出的值和另一个根．
24. 为了了解某中学八年级名男生的身体发育情况，从中随机抽取了名男生的身高进行测量，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
    名男生身高数据如下单位：
    
    经分组整理后的频数分布表与频数分布直方图如下所示：

但在列表和画图时，遗漏了频数分布表中的数据和频数分布直方图中相应的条形图．
请根据所给信息，解答下列问题：
______，______；
请补全频数分布直方图；
样本数据中，男生身高的中位数是______；
估计该校八年级男生身高在范围内的人数约为______．

25. 下面是小明设计的作矩形的尺规作图过程．
    已知：中，
    求作：矩形．
    作法：如图，
    以点为圆心，长为半径作弧；
    以点为圆心，长为半径作弧；
    两弧交于点点和点在异侧；
    连接，．
    所以四边形是矩形．
    根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：
    ______，______，
    四边形是平行四边形______填推理的依据
    又，
    四边形是矩形．______填推理的依据

26. “莓好生活，幸福家园”，春节期间，小明一家要去采摘草莓，现有甲、乙两家草莓采摘园草莓品质相同，销售价格也相同，且推出了如下的优惠方案：
    甲园：游客需购买门票，采摘的草莓六折优惠；
    乙园：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过的部分打折优惠．
    优惠期间，某游客的草莓采摘量为千克，在甲园所需总费用为元，在乙园所需总费用为元，，与之间的函数关系如图所示．
    甲采摘园的门票是______元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克______元．
    求与的函数表达式；
    当游客采摘千克草莓时，选择哪一家采摘园更便宜？

27. 已知：正方形，过点作直线，点关于直线的对称点为，连接，作直线交直线于点．
    补全图形；
    判断的形状并证明；
    猜想线段，，的数量关系并证明．

28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点．已知点．
    在，，中，点的等和点有______；
    点在直线上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标；
    已知点和线段，点也在轴上且满足，线段上总存在线段上每个点的等和点．若的最小值为，直接写出的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：菱形、矩形、正方形都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
等边三角形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么点在第四象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特点解答．
本题主要考查点的坐标．解题的关键是明确平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故D选项不符合题意；
故选：．
由菱形的性质和平行四边形的性质对边对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，则
，
解得：．
则这个多边形的边数是，
故选：．
边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角和定理，解此题的关键是结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：、根据图象知，，，则，故该选项符合题意；
B、根据图象知，，，则与已知“”相矛盾．故该选项不符合题意；
C、根据图象知，，，则与已知“”相矛盾．故该选项不符合题意；
D、根据图象知，，，则与已知“”相矛盾．故该选项不符合题意．
故选：．
根据图象确定、的符号，然后求得的符号．与已知一致的图象即为所求．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
 

7.【答案】 

【解析】解：、由于一次函数的，所以的值随的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数的，，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将代入中得，等式成立，所以在上，故该选项符合题意；
D、一次函数的，所以的值随的值增大而减小，所以当时，，故该选项不符合题意．
故选：．
根据一次函数的性质逐项进行分析即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当表示什刹海公园的点的坐标为，表示日坛公园的点的坐标为时，表示北海公园的点的坐标为，正确；
当表示地坛公园的点的坐标为，表示日坛公园的点的坐标为时，表示圆明园的点的坐标为，正确；
当表示地坛公园的点的坐标为，表示北海公园的点的坐标为时，表示什刹海公园的点的坐标为，正确；
当表示地坛公园的点的坐标为，表示日坛公园的点的坐标为时，表示圆明园的点的坐标为，正确．
故选：．
根据各结论所给两个点的坐标得出原点位置及单位长度，从而得出答案．
本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，，
解得：，
直线与轴交点坐标为．
故答案为：．
代入求出的值，进而可得出直线与轴交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加条件为：，理由如下：
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
由三角形中位线定理得，再由，得四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据多边形的外角和是即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，点，即，，由勾股定理得，
，
故答案为：．
根据点的坐标，得出、的长，再根据勾股定理求出即可．
本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

13.【答案】乙种玉米产量更稳定 

【解析】解：从图中看到，乙的波动比甲的波动小，故乙的产量比较稳定，
所以这个地区比较适合种植乙种甜玉米，理由是乙的产量比较稳定．
故答案为：乙种玉米产量更稳定．
从图中数据的波动情况分析．
本题考查了统计图和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位长度，得到，
再向下平移个单位长度，得到．
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可得出答案．
本题考查了坐标与图形变化平移，掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即：，
解得：，
故答案为．
由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，可知其判别式为，据此列出关于的方程，解答即可．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

16.【答案】或 

【解析】解：设点沿过点的直线翻折后落在上的对应点为点，
过点作交于点，在上，

可得四边形为矩形，
，，
为中点，，
由折叠可得：，
在中，由勾股定理得：
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得，
，
在中，
由勾股定理得：
；
过点作交于点，在上，

可得四边形为矩形，
，，
又，为中点，
由折叠得，
在，由勾股定理得：
，
，
设，则，
则，
在中，，
由勾股定理得：
，
解得，
则，
在中，，
由勾股定理得：
．
综上所述，折痕的长为或．
故答案为：或．
设点沿过点的直线翻折后落在上的对应点为点，分类讨论过点作交于点，在上，根据折叠性质得，由勾股定理得，，过点作交于点，在上，由折叠得，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握矩形和翻折变换的性质以及勾股定理等基本知识点，本题注意分类讨论．
 

17.【答案】解：，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先移项得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
 

18.【答案】解：如图：
；
把，代入得，
解得：，，
此函数解析式；
，，
，
． 

【解析】描出点、，然后过两点作直线即可；
利用待定系数法求得即可；
利用三角形面积公式求得即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，连接，
在▱中，的中点是，
经过点．
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】欲证明，只要证明≌即可；
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定方法．
 

20.【答案】解：一次函数的图象是由函数的图象平移得到，
，即，
一次函数的图象过点，
，
解得：，
此函数解析式为；
由得，
直线与的交点为，
如图：

由图可知，当时，的值总大于的值，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，的范围是：． 

【解析】分别列方程求出和的值，即可得一次函数的解析式；
求出两直线交点坐标，数形结合解决问题．
本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次方程的关系，解题的关键是数形结合思想的应用．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：由得：四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】由菱形的性质得，，又，则，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再由菱形的性质得，求出，然后由勾股定理即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设长边长为，则短变长为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：长边长为． 

【解析】设长边长为，则短变长为，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，即，
方程总有两个不等实数根；
解：方程有一个根是，
，
解得：，
，即，
解得：，，
此方程的另一个根是． 

【解析】表示出根的判别式，判断其值正负即可得证；
把代入方程求出的值，即可确定出另一根．
此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

24.【答案】       

【解析】解：，
，
故答案为：，；

频数分布直方图如图：


名男生身高数据从小到大排列，第，个数据是，，
样本数据中，男生身高的中位数是，
故答案为：；

估计该校八年级男生身高在范围内的人数约为人，
故答案为：．
根据频数总数频率可计算出的值，根据频率可计算出的值；
根据的值即可补全频数分布直方图；
根据中位数的定义即可求解；
根据样本估计总体即可求解．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确频数分布直方图的特点，利用数形结合的思想解答．
 

25.【答案】解：如图，四边形即为所求．

，；
         两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
         有一个角是直角的平行四边形是矩形． 

【解析】见答案；

证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
根据要求作出图形即可．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，记住的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

26.【答案】   

【解析】解：由图象可知，
甲采摘园的门票是元，
两个采摘园优惠前的草莓单价是元千克，
故答案为：，；
当在甲采摘园采摘千克时，费用为：元，
设与的函数表达式是，根据题意得：
，
解得，
与的函数表达式是；
当游客采摘千克草莓时，
甲采摘园费用为元，
当时，设与的函数表达式是，根据题意得：
，
解得，
即当时，与的函数表达式是；
乙采摘园费用为元，
，
选择甲采摘园更便宜．
根据函数图象即可得到；
根据函数图象得到经过点和，设与的函数表达式是，代入求解即可；
根据函数图象得到经过点和，设与的函数表达式是，代入求解即可；再分别求出当游客采摘千克草莓时，甲、乙采摘园所需费用，经过比较即可得到哪家更便宜．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是通过观察图象得到经过的点，进而求得函数关系式．
 

27.【答案】解：补全图形如图所示；
是等腰三角形，
证明如下：四边形为正方形，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
是等腰三角形；
，
证明如下：延长至点，使得，连接，
点关于直线的对称点为，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，即，
，
． 

【解析】根据题意补全图形；
根据正方形的性质得到，根据轴对称的性质得到，进而证明结论；
延长至点，使得，连接，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质计算，证明结论．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质，正确作出辅助线、证明≌是解题的关键．
 

28.【答案】， 

【解析】解：，则，
是点的等和点；
，则，
是点的等和点；
，则，
不是点的等和点；
故答案为：，；
设点的等和点为，
，有，
在直线上，
设，
则点的等和点为，
，由，
，
解得，
；
，
点的等和点在直线：上，
，，且在轴上，
或
点的等和点在直线：或上，
设直线与轴交于，直线与轴交于，则或，，

当点在点的左边时，如图，直线与直线交于，当与重合时，最小为，
是等腰直角三角形，
，
，
；
如图，同理得，

，
；
当点在点的右边时，如图，

同理得：，
，
；
如图，同理得：，

，
；
综上，的值是或或或．
根据定义判断即可；
设点的等和点为，则，设，则点的等和点为，则，即可求；
由题意可得点的等和点在直线上，点的等和点在直线上，再由，可得点在的左边和右边，则线段上每个点的等和点是两条直线和之间的区域，正确画图列等式可解答．
本题是一次函数的综合应用，考查了一次函数的性质，新定义：等和点的理解和运用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与一次函数相结合是解题的关键．