2020-2021学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1．（3分）已知，则下列比例式成立的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）抛物线的顶点坐标为　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图所示的正方形网格中有，则的值为　　

A． B． C． D．2

4．（3分）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是　　

A． B． C． D．

5．（3分）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的半径长为　　

A． B． C． D．

6．（3分）如图，函数与函数的图象相交于点，．若，则的取值范围是　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

7．（3分）如图，在中，，，，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是　　

A． B． C． D．

8．（3分）某种摩托车的油箱最多可以储油10升，李师傅记录了他的摩托车加满油后，油箱中的剩余油量（升与摩托车行驶路程（千米）的关系，则当时，与的函数关系是　　

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 

C．二次函数关系 D．反比例函数关系

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）将二次函数化为的形式，结果为　　．

10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，与相交于点，则的面积与的面积的比为　　．

11．（3分）如图，已知点、、是上三点，若，则　　．

12．（3分）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为：　　（填“”，“ ”或“” ．

13．（3分）如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为　　．

14．（3分）如图，小东用长2米的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，米，米，则旗杆的高为　　米．

15．（3分）如图，，，分别与相切于点、、三点，且，，，则的长为　　．

16．（3分）学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数的图象并对该函数的性质进行了探究．

下面有4个推断：

①该函数自变量的取值范围为；

②该函数与轴只有一个交点；

③若，，，是该函数上两点，当时一定有；

④该函数有最小值2．

其中合理的是 　　．（写序号）

三、解答题（本题共52分，第17～21题，每小题5分，第22题6分，第23～25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．（5分）计算：．

18．（5分）已知：如图，直线，和直线外一点．

求作：过点作直线，使得，

作法：①在直线上取点，以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；

②连接，以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；

③作直线．

直线即为所求作．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接．

，

　　．

　　（填推理依据）．

直线直线．

19．（5分）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：

（1）求此抛物线的解析式；

（2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，的范围．

20．（5分）如图，热气球探测器显示，从热气球处看一座电视塔尖处的仰角为，看这座电视塔底部处的俯角为，热气球与塔的水平距离为200米，试求这座电视塔的高度．（参考数据：，，

21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点．

（1）求双曲线的表达式；

（2）已知点，过点作轴的平行线交双曲线于点，过点作轴的平行线交双曲线于点，设线段、与双曲线上之间的部分围成的区域为图象（不包含边界），横纵坐标均为整数的点称为整点．

①当时，直接写出图象上的整数点个数是　　；

②当图象内只有1个整数点时，直接写出的取值范围．

22．（6分）如图，中，，平分，是上一点，以为直径作，若恰好经过点．

（1）求证：直线与相切；

（2）若，，求的半径的长．

23．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线：．

（1）抛物线的对称轴为　　；抛物线与轴的交点坐标为　　；

（2）若抛物线的顶点恰好在轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；

（3）若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，求的取值范围．

24．（7分）如图，中，，于，于，交于点．

（1）求证：；

（2）过点作的垂线交的延长线于点，连接，依据题意补全图形；若，试判断、、的数量关系，并证明．

25．（7分）在平面直角坐标系中的图形与图形，如果图形与图形有两个交点，我们则称图形与图形互为“友好图形”．

（1）已知，则下列图形中与线段互为“友好图形”的是　　；

①抛物线；

②双曲线；

③以为圆心1为半径的圆．

（2）已知：图形为以为圆心，1为半径的圆，图形为直线，若图形与图形互为“友好图形”，求的取值范围．

（3）如图，已知，，，，，，图形是以为圆心，1为半径的圆，若图形与互为“友好图形”，直接写出的取值范围．

2020-2021学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1．（3分）已知，则下列比例式成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有选项正确，

故选：．

2．（3分）抛物线的顶点坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线的解析式为：，

其顶点坐标为．

故选：．

3．（3分）如图所示的正方形网格中有，则的值为　　

A． B． C． D．2

【解答】解：如图，在中，．

故选：．

4．（3分）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

当添加条件时，则，故选项不符合题意；

当添加条件时，则，故选项不符合题意；

当添加条件时，则，故选项不符合题意；

当添加条件时，则和不一定相似，故选项符合题意；

故选：．

5．（3分）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的半径长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，

，为的中点，

，

设圆的半径为，

在中，，

根据勾股定理得：，即，

解得：，

故选：．

6．（3分）如图，函数与函数的图象相交于点，．若，则的取值范围是　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的的取值范围为或，

故选：．

7．（3分）如图，在中，，，，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：中，，，，

所以，，

．

故选：．

8．（3分）某种摩托车的油箱最多可以储油10升，李师傅记录了他的摩托车加满油后，油箱中的剩余油量（升与摩托车行驶路程（千米）的关系，则当时，与的函数关系是　　

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 

C．二次函数关系 D．反比例函数关系

【解答】解：根据表格数据，描点、连线画出函数的图象如图：

故与的函数关系是一次函数，

故选：．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）将二次函数化为的形式，结果为　　．

【解答】解：．

故答案为：．

10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，与相交于点，则的面积与的面积的比为　　．

【解答】

解：如上图，设小方格的边长为1，

、分别是边长为1和2的等腰直角三角形，

，，，

，

，

，

又，

，

，

，

故答案为：．

11．（3分）如图，已知点、、是上三点，若，则　　．

【解答】解：，，

，

故答案为：．

12．（3分）如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为：　　（填“”，“ ”或“” ．

【解答】解：点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，

，，

，

故答案为．

13．（3分）如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为　　．

【解答】解：抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，

点的横坐标为，

点的坐标为．

故答案为：．

14．（3分）如图，小东用长2米的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，米，米，则旗杆的高为　6　米．

【解答】解：竹竿和旗杆均垂直于地面，

，

，

，即，

（米．

故答案为：6．

15．（3分）如图，，，分别与相切于点、、三点，且，，，则的长为　10　．

【解答】解：，，分别与相切于点、、三点，

，，平分，平分，

，，

，

，

，

，

，

在中，，，

，

．

故答案为10．

16．（3分）学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数的图象并对该函数的性质进行了探究．

下面有4个推断：

①该函数自变量的取值范围为；

②该函数与轴只有一个交点；

③若，，，是该函数上两点，当时一定有；

④该函数有最小值2．

其中合理的是 　①②③　．（写序号）

【解答】解：由函数的图象可得，图象与轴无交点，因此，即函数自变量的取值范围为，故①正确；

根据函数的图象可直观看出该函数与轴只有一个交点，也可以根据，解得，因此与轴的交点为，故②正确；

由函数的图象可知，当时，随的增大而减小，因此当时，有，故③正确；

根据图象可知，函数值可以0或负数，因此④不正确；

因此正确的结论有：①②③，

故答案为：①②③．

三、解答题（本题共52分，第17～21题，每小题5分，第22题6分，第23～25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17．（5分）计算：．

【解答】解：原式．

18．（5分）已知：如图，直线，和直线外一点．

求作：过点作直线，使得，

作法：①在直线上取点，以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；

②连接，以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；

③作直线．

直线即为所求作．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接．

，

　　．

　　（填推理依据）．

直线直线．

【解答】解：（1）如图，直线即为所求作．

（2）证明：连接．

，

，

（同弧或等弧所对的圆周角相等），

直线直线．

故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等．

19．（5分）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：

（1）求此抛物线的解析式；

（2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，的范围．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

抛物线解析式为，

即；

（2）如图，

当时，的范围为．

20．（5分）如图，热气球探测器显示，从热气球处看一座电视塔尖处的仰角为，看这座电视塔底部处的俯角为，热气球与塔的水平距离为200米，试求这座电视塔的高度．（参考数据：，，

【解答】解：根据题意可知：

，，，米，

在中，

，

（米，

在中，

，，

（米，

（米．

答：这座电视塔的高度为272米．

21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点．

（1）求双曲线的表达式；

（2）已知点，过点作轴的平行线交双曲线于点，过点作轴的平行线交双曲线于点，设线段、与双曲线上之间的部分围成的区域为图象（不包含边界），横纵坐标均为整数的点称为整点．

①当时，直接写出图象上的整数点个数是　1　；

②当图象内只有1个整数点时，直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）将点的坐标代入函数表达式得：，解得，

故双曲线的表达式为；

（2）①当时，图象为、和曲线之间的部分，此时，图象内只有一个点，

故答案为1；

②当图象内只有1个整数点时，除了点外还有点（如上图），

故的取值范围为：或．

22．（6分）如图，中，，平分，是上一点，以为直径作，若恰好经过点．

（1）求证：直线与相切；

（2）若，，求的半径的长．

【解答】（1）解：连接．

平分，

．

又，

．

．

．

，

．

是的切线；

（2）连接，

在中，，

，，

，，

是的直径，

，

，，

，

，

．

的半径为．

23．（7分）在平面直角坐标系中，已知抛物线：．

（1）抛物线的对称轴为　1　；抛物线与轴的交点坐标为　　；

（2）若抛物线的顶点恰好在轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；

（3）若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，求的取值范围．

【解答】解：（1），

当时，，

所以抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的交点坐标是，

故答案为：1，；

（2）抛物线的顶点恰好在轴上；

抛物线的顶点坐标为，

把代入得：，

解得：，

抛物线的解析式为；

（3），，为抛物线上三点，且总有，

又，抛物线的对称轴是直线，

，两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点到对称轴的距离大于点，点到对称轴的距离小于点，

，

解得：．

24．（7分）如图，中，，于，于，交于点．

（1）求证：；

（2）过点作的垂线交的延长线于点，连接，依据题意补全图形；若，试判断、、的数量关系，并证明．

【解答】（1）证明：，

，

，

，

，

；

（2）解：如图，

结论：．

证明：连接，如图，

，，

垂直平分，

，

，

，

，

，

．

，

，

，

，

，

，

在中，，

．

25．（7分）在平面直角坐标系中的图形与图形，如果图形与图形有两个交点，我们则称图形与图形互为“友好图形”．

（1）已知，则下列图形中与线段互为“友好图形”的是　①　；

①抛物线；

②双曲线；

③以为圆心1为半径的圆．

（2）已知：图形为以为圆心，1为半径的圆，图形为直线，若图形与图形互为“友好图形”，求的取值范围．

（3）如图，已知，，，，，，图形是以为圆心，1为半径的圆，若图形与互为“友好图形”，直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）①如图1，当时，，

，

抛物线与线段有两个交点为和，

抛物线与线段互为“友好图形”；

②如图2，当时，，

，

双曲线与线段有1个交点为，

抛物线与线段不是互为“友好图形”；

③如图3，以为圆心1为半径的圆与线段有1个交点为，

以为圆心1为半径的圆与线段不是互为“友好图形”；

故答案为：①；

（2）如图4，作的两条切线，过点作，

，是等腰直角三角形，

，

的取值范围是；

（3）如图5，过点作于，

当图形是时，与相切，此时，

当图形是时，与相切，此时，

，，，，，，

轴，轴，

，

，，

，

，

，

，

，

，

与相离，

图形与有两个交点时，的取值是，

如图6，当与相切时，设切点为，连接，

同理得，

，

当与相切时，设切点为，连接，

同理得，

，

图形与有两个交点时，的取值是；

综上，若图形与互为“友好图形”， 的取值范围是或．

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日期：2021/12/6 11:48:05；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122