安徽省合肥市庐江县2022-2023学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若点与点关于原点对称，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 将方程配方成的形式，则，分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球模拟健康人，然后在框中同时放入若干个红球模拟最初感染源；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球为程序设定的常数若最初放入的白球数为个，红球数为个，从放入红球开始，经过分钟后，红球总数变为了个则应满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 九章算术总共收集了个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在九章算术中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点寸，寸，则可得直径的长为(    )

A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸

9. 如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 若是二次函数，则______．
12. 如图中阴影部分是由个完全相同的的正方形拼接而成，若要在，，，四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在______处填写区域对应的序号．

13. 对于实数、，定义运算“”：例如，若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______．
14. 如图，是的直径，是弦，且为的中点．若，，解决下列问题：
    连接，则的形状是______；
    的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    解下列一元二次方程：
    ；
    ．
16. 本小题分
    如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，交于点若，求的度数．

17. 本小题分
    如图，点，，在上，，，连接交于点，求的度数．

18. 本小题分
    某网店专门销售某种品牌的学习用品，成本为元件，每天销售件与销售单价元之间存在一次函数关系，如图所示．
    求与之间的函数关系式；
    当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

19. 本小题分
    落一子而全局活．地摊经济一放开，不少地方出现了“千树万树梨花开”的景象，某人将每件进价为元的纪念品，按每件元出售，每天可售出件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价元，每天的销售量会减少件．
    写出每天所得的利润元与售价元件之间的函数关系式．
    每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
20. 本小题分
    如图，在正方形中，是对角线上的一个动点不与点重合，连接，将绕点顺时针旋转到，连接交于点，延长线与边交于点．
    连接，求证：；
    若正方形的边长为，且，求线段的长．

21. 本小题分
    如图所示，在边长为的小正方形组成的网格中．
    将沿轴正方向向上平移个单位长度后，得到，请作出，并求出的长度；
    再将绕坐标原点顺时针旋转，得到，
    请作出，并直接写出点的坐标．

22. 本小题分
    如图，四边形是的内接四边形，是的角平分线，过点分别作，，垂足分别为、．
    求证：≌；
    若，，，求的长度．

23. 本小题分
    如图，二次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，图象的对称轴交轴于点，一次函数的图象经过点、．
    求二次函数的解析式和一次函数的解析式；
    点在轴下方的二次函数图象上，且，求点的坐标；
    结合图象，求当取什么范围的值时，有．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，
解得：，
故点的坐标是．
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质得出关于，的方程组，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
所以，．
故选：．
把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值．
本题考查了解一元二次方程配方法法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点是，
抛物线与轴的另一交点为的坐标为，
．
故选：．
先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性得到点坐标，从而得到的长．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
根据直径所对的圆周角是直角得到，进而求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
即：；
故选：．
原有个红球，分钟后红球数为个，分钟新增加的红球数为个，由分钟后，红球总数变为了个列方程可得结论．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解增长率问题，难度较小．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，
由垂径定理知，点是的中点，，，
设半径为，由勾股定理得，，
即，
解得：，
所以，
即圆的直径为寸．
故选：．
根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求解．
本题利用了垂径定理和勾股定理，正确构造直角三角形求出半径长是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，点、关于点对称，
设点的坐标是，
则，，
解得，，
点的坐标是．
故选：．
设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为，

将代入解析式得，
抛物线解析式为，
当时，，，满足题意，
故选：．
建立直角坐标系，根据题意求出函数解析式，求对应的的值．
本题考查二次函数的实际应用，建立直角坐标系构建二次函数模型是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】
解：由是二次函数，得
，
解得．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：把正方形添加在处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
故答案为：．
根据中心对称图形的概念解答．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系可得，，根据新定义的运算法则求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及新定义，理解新定义并熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】等边三角形   

【解析】解：是等边三角形，
理由：如图：

，
，
，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
连接，

是等边三角形，
，
为的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
利用圆周角定理可得，然后再根据等边三角形的判定方法即可解答；
连接，利用的结论可得，然后再根据已知可得，从而可得，最后利用等腰直角三角形的性质即可解答．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

16.【答案】解：将绕点逆时针旋转得到，
≌，
，，
，
，
，，，
，
故的度数为． 

【解析】由旋转的性质得到，，进而推出，根据三角形内角和定理证得，即可求得的度数．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：如图，连接，，

，
，
，
，
，


，


． 

【解析】连接，，根据圆周角定理推出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得：，
解得：．
故与之间的函数关系式为：；

设利润为，
，
，
时，
答：当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元． 

【解析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案；
直接利用销量每件利润总利润，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出与之间的函数关系式是解题关键．
 

19.【答案】解：由题意可得：，
即；
由得：，
当时，最大元，
答：售价为元时，利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据题中等量关系为：利润售价进价售出件数，根据等量关系列出函数关系式；
将中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出的最大值．
本题考查的是二次函数的应用，熟知利润售价进价售出件数是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：如图，过点作于，
由题意得：，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，

≌，
；
由知：，；
在中，，
，
又，

，
故线段的长为． 

【解析】由四边形是正方形，可得，由图形旋转，可得，从而，可证≌，故A．
如图．由四边形是正方形，，故是等腰直角三角形且由勾股定理，可得，故A．
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质是解题的关键．另外，证明三角形全等也是证明线段相等的一种常用方法．
 

21.【答案】解：如图所示，即为所求，．

如图，即为所求，． 

【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：四边形是的内接四边形，
，
又，
，
是的角平分线，
又，，
，
，
在与中
，
≌
≌，
，
，，，
≌，
，，
设，则，，
即，
解得，则，
在，，设，则，
，
，
解得，
． 

【解析】本题考查了圆内接四边形的性质和全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是证明≌．
根据圆内接四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；
根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
 

23.【答案】解：将点和点代入，得：，
解得：，
二次函数的解析式为．
二次函数的对称轴为直线，
，
一次函数的图象经过点、，
，解得，
一次函数的解析式为．
设到的距离为，
，，
，
，
，
，
的纵坐标为，
把代入得，，
解得或，
的坐标为和；
解得或，
抛物线与直线的另一个交点为，
由图象可知，当或时，有． 

【解析】利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；
设到的距离为，根据求得的纵坐标，把纵坐标代入抛物线解析式即可求得点的坐标；
解析式联立，求得交点坐标，根据解得坐标，结合图象即可求得．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．