安徽省合肥市庐江县2022-2023学年九年级上学期月考数学试题答案

这是一份安徽省合肥市庐江县2022-2023学年九年级上学期月考数学试题答案，共23页。

注意事项：
1．共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. “成语”是中华文化瑰宝，是中华文化的微缩景观．成语“守株待兔”所描述的事件是（ ）
A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 确定事件
【答案】C
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】解：“守株待兔”是随机事件，
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义解答即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3. 在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数”解答即可得答案．
【详解】∵关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数，
∴点(2，-1)关于原点对称的点的坐标为（-2，1），
故选：D.
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟记关于原点的对称点，横、纵坐标都互为相反数是解题关键.
4. ⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（ ）
A. d<3B. d>3C. d=3D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点P在⊙O外，
∴d＞3．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
5. 已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是（ ）
A. 8πB. 6πC. 4πD. 2π
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可．
【详解】解：根据弧长的公式l＝，
得到：l＝＝4π，
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
6. 将一元二次方程化为的形式，则的值为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】方程移项，利用完全平方公式配方后即可求出值．
【详解】解：方程，
移项得：，
配方得：，即，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握配方的方法是解本题的关键．
7. 甲、乙两名同学随机从A，B，C三个主题中选择一个去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则两人抽到相同主题的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列表展示所有9种等可能的结果数，再找出两人抽到相同主题的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：列表如下：
共有9种等可能结果，其中两人抽到相同主题的有3种，
则两人抽到相同主题的概率．
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
8. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴为直线
C. 当时，随增大而增大
D. 当时，函数有最小值，最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数，
，函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意；
当时，随的增大而增大，故选项C正确，不符合题意；
当时，函数有最大值，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解．
【详解】解： ∵、切于点A、C，
∴，，
∴正五边形的每个内角的度数为： ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
10. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线，交直径的延长线于点，若，的半径为，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】连接，
，
，
是的切线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 一个不透明的盒子里，装有除颜色外无其他差别的白珠子颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在左右，则盒子中黑珠子可能有颗___________．
【答案】
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：设有黑色珠子颗，
由题意可得，，
解得，
经验验，是方程的解，
故估计盒子中黑珠子大约有个．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白珠子的频率得到相应的等量关系．
12. 一个圆锥的母线长为，侧面展开图的面积是，则该圆锥的底面半径为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面面积公式，即可求得圆锥的底面半径
【详解】解：设底面半径为，则底面周长为：，
圆锥的侧面展开图的面积为：，
故答案为：
【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
13. 东汉时期的数学家赵爽在注解周髀算经时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为，现连接四条线段得到图的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积，再用阴影的面积除以大正方形的面积即可．
【详解】解：如图，

设直角三角形的长直角边与短直角边分别为和，
则是直角三角形，
则大正方形面积，
面积，
阴影部分的面积，
针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概率和勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
14. 如图，已知与的边，，的延长线分别相切，，请完成下列问题：

（1）______°；
（2）若的半径为3，则的周长______．
【答案】 ①. 60 ②.
【解析】
【分析】（1）如图，设，，分别切于点，，，连接，，，证明，，，可得．
（2）如图，连接，求解，，．证明，，从而可得答案．
详解】解：（1）如图，设，，分别切于点，，，连接，，．
∵，是的切线，，
∴，
∴．

∵，是的切线，，是的切线，
∴，，
∴．
故答案为：；
（2）如图，连接，

∵，是的切线，，
∴，
∵，
∴，．
∵，是的切线，，是的切线，
∴，，
∴的周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，切线长定理的应用，熟记切线长定理并灵活应用是解本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程x2﹣4x+1=0．
【答案】x1=2+，x2=2-.
【解析】
【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可．
【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1，
配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2-.
16. 如图，抛物线与轴交于点，且对称轴为直线，求抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】解：由已知可得：，
解得，
抛物线解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，关键是对待定系数法求解析式方法的掌握．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，的顶点坐标分别为．
（1）画出关于点中心对称的．
（2）画出绕点顺时针旋转后的，当点旋转到时，求点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出的对应点即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，再利用弧长公式求出弧长即可．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求，
，
弧长．
【点睛】本题考查作图旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式．
18. 江西可谓物华天宝，山清水秀．寒假期间小尹打算去领略江西四大名山的风采，分别为.明月山；.武功山；.庐山；.三清山．由于时间原因，只能选择其中两个景点，于是小尹决定通过抽签的方式选择，将四张小纸条分别写上四个景点的名字，做出四个签外表完全相同，然后从中随机抽出两张，每张签抽到的机会均等．
（1）抽到“明月山”是___________事件，抽到“井冈山”是___________事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）．
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求“小尹抽到明月山和庐山”的概率．
【答案】（1）随机，不可能
（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念求解即可；
（2）画树状图，这次抽签所有等可能的结果共有种，其中“小尹抽到明月山和庐山”的结果有种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
抽到“明月山”是随机事件，抽到“井冈山”是不可能事件；
故答案为：随机，不可能
【小问2详解】
画树状图如下：

这次抽签所有等可能的结果共有种，其中“小尹抽到明月山和庐山”的结果有种，即、，
“小尹抽到明月山和庐山”的概率为．
【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接．
（1）若，求的度数．
（2）若平分，，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据是的直径，得出，进而得出，根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）连接，根据平分，得出，根据圆周角定理得出，进而根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：是的直径，
，
，
，
；
【小问2详解】
连接，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推理，勾股定理，掌握圆周角定理及其推理是解题的关键．
20. 桑葚被称为“民间圣果”，其营养价值是苹果的倍，是葡萄的倍，具有降压降脂，健脾养胃等功效．今年某采摘园喜获丰收，经市场调研发现，当桑葚的售价为元千克时，每天可销售千克，若单价每降价元，销售量可增加千克．已知该品种的桑葚成本价为元千克．
（1）若该采摘园每天获利元，且尽量增加销售量，桑葚售价应降低多少元？
（2）设桑葚售价降低元，当为何值时，该采摘园每天的利润最大．
【答案】（1）元
（2）
【解析】
【分析】（1）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设采摘园每天的利润为元，根据总利润每千克的利润销售数量列出函数解析式，再由二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：设售价应降低元，则每天可售出千克，由题意得，
，
解得：，，
∵采摘园尽量增加销售量，
，
答：桑葚售价应降低元；
【小问2详解】
解：设采摘园每天的利润为元，
根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：当时，该采摘园每天的利润最大．
【点睛】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图，以边上一点为圆心，为半径的圆，经过点，且与边交于点为上一点，连接，其中．
（1）求证：是的切线．
（2）若，的半径为，求阴影部分的面积．结果保留根号
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据圆周角定理得到，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 函数图像在探究函数的性质时有非常重要的作用，某同学根据学习函数的经验，探究了函数的图形和性质．
（1）下表给出了部分，的取值：
则______，______
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图像．

（3）若点在图像上，且，若点也在图像上，且满足恒成立，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）4；1 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）将，分别代入函数即可求解；
（2）运用描点法画图即可；
（3）结合图象，当时，，当或时，恒成立，即可求解．
【小问1详解】
解：（1）将，分别代入函数，
得，；
【小问2详解】
解：画出函数图象如图：
【小问3详解】
解：由图象得，
若点在图象上，且，则，
若点也在图象上，且满足恒成立，则或，
或，
的取值范围为或．
【点睛】本题考查函数的图象及性质；掌握描点法画函数图象，结合函数图象，从图象中获取信息，数形结合是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 【操作发现】（1）如图1，在等边中，点，在直线上，为边上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是______，线段与直线所夹锐角的度数是______
【类比探究】（2）如图2，在等边中，点，在直线上，若为延长线上的一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在正方形中，点，在直线上，为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若正方形的边长为2，连接，当时，求线段的长．

【答案】（1）；60°（2）成立，理由见解析（3）1或3
【解析】
【分析】（1）过点作交于点．证明≌，可得结论；
（2）连接，由旋转可得为等边三角形，可知，．由为等边三角形，可知，， 进而可得，可证得，可得，，进而可得，即可得结论；
（3）分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段延长线上的右侧时，③当点在线段延长线上的左侧时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作交于点．

是等边三角形，
，
∵，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；60°．
（2），线段与直线所夹锐角的度数为仍成立．
理由：如图，连接，由旋转可知：，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵为等边三角形，
∴，，则
∴，

∴，
∴，，
∴，
即线段与直线所夹锐角的度数为；
（3）①当点在线段上时，如图，连接，过点作交于点，作交于点．

设正方形的边长为，则，
∴．
在中，，
即，
解得，（舍去），∴．
∵点在线段上，
∴，
∴（不合题意，舍去）
②如图，当点在线段延长线上的右侧时，同理可得，

∴在中，，
解得，（舍去），
∴．
③如图，当点在线段延长线上的左侧时，
同理可得，
∴在中，，
解得，（舍去），
∴．
综上所述，线段的长为1或3．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
甲
乙
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
…
0
1
2
3
…
…
1
0
0
1
4
…