安徽省合肥市庐江县安徽省庐江第四中学等4校2022-2023学年九年级上学期月考数学试题答案

这是一份安徽省合肥市庐江县安徽省庐江第四中学等4校2022-2023学年九年级上学期月考数学试题答案，共25页。

1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本题共32分，每小题4分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1. 抛物线的对称轴是 （ ）
A. 直线＝－1B. 直线＝1C. 直线＝－2D. 直线＝2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．
【详解】解：∵解析式为，
∴对称轴是直线．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．
2. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=15°，则∠BOC =（ ）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°
【答案】C
【解析】
【分析】由于OA、OC都是⊙O的半径，由等边对等角，可求出∠A的度数；进而可根据圆周角定理求出∠BOC的度数．
【详解】解：∵OA=OC，
∴∠A=∠C=15°；
∴∠BOC=2∠A=30°；
故选C．
【点睛】此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
3. 如图，在8×4矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在直角中利用正切函数定义即可求解．
【详解】解：过A作于D，

在直角中，，，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键．
4. 用配方法将化成的形式为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过加上一次项系数一半的平方再减去一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数一般式到顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．
5. 如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）
A. （﹣4，﹣3）B. （﹣3，﹣3）C. （﹣4，﹣4）D. （﹣3，﹣4）
【答案】A
【解析】
【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．
【详解】由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3）．
故选A．
【点睛】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．
6. 某商店购进一种商品，单价为元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题的等量关系是每件商品的利润×每天的销售量=每天的总利润．依据这个等量关系可求出方程．
【详解】设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．
根据题意得：（x-30）（100-2x）=200，
整理得：x2-80x+1600=0.
故选A
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
7. 如图，中，，与相切，切点为E，并分别交于C，D两点，连接，若等于，则扇形的面积等于（ ）.

A. πB. πC. πD. π
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线的性质得到直角，由，得到，然后在直角中，求出圆的半径，再用扇形面积公式计算出扇形的面积．
【详解】解：如图：

∵与相切，
∴．
∵，
∴，
∴垂直平分．
设交于F，
在直角中，，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】此题考查了切线的性质定理，垂径定理，扇形的面积公式，锐角三角函数，综合掌握各知识点是解题的关键．
8. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q，当点Q也落在⊙O上时，cs∠OQB的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先构造直角三角形QBC，根据三角形中位线定理分别求出QB、QC的长，再根据余弦的定义即可求出结果．
【详解】解：当点P运动到恰好点Q落在⊙O上，连接QB，OP，BC，再连接QO并延长交⊙O于点C，则∠CBQ=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵B、Q分别是OA、AP的中点，
∴BQ∥OP，
∵OP=OB=BA=OA=2，
∴QB=1
在Rt△CQB中，∠CBQ=90°
∴cs∠OQB=．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了三角形中位线定理，余弦的定义和圆的性质，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．
二、填空题（本题共20分，每小题5分）
9. 如图，在中，分别交，于点D，E，若，，则与的周长比为________．

【答案】##0.6
【解析】
【分析】由平行线可得两个三角形相似，再由其周长比等于其对应边的比，进而即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又相似三角形的周长比等于其对应边的比，
∴与的周长比．
故答案为．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解本题的关键．
10. 两圆的半径分别为3cm和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为_______．
【答案】相交
【解析】
【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
【详解】解：由题意知，
两圆圆心距d=5＜R+r=7，
故两圆相交
故答案为：相交．
【点睛】本题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
11. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A，以OA为半径作⊙O，若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB为菱形，则点P的坐标为__________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据菱形的性质可知△POB，△AOB是等边三角形，从而得出∠POM=180°-60°×2=60°，再根据三角函数即可求出OM，PM的长度，得到点P的坐标，注意点P可以在x轴的上方和下方．
【详解】解：∵四边形AOPB为菱形
∴OP=PB=AB=OB，
∵OP=OB，
∴△POB，△AOB是等边三角形，
∴∠POM=180°-60°×2=60°，
∴OM=OP×cs∠POM=1，PM=OP×sin∠POM=．
当点P在x轴的上方时，P的坐标为（-1，）；
当点P在x轴的下方时，P的坐标为（-1，-）．
故答案为（-1，），或（-1，-）．
12. 抛物线（a ≠ 0）满足条件：（1）；（2）；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是_____
【答案】②④
【解析】
【详解】∵4a-b=0，
∴抛物线的对称轴为x=-=-2
∵a-b+c＞0，
∴当x=-1时，y＞0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点且这两个交点之间的距离小于2，
∴抛物线与x轴的两个交点的横坐标位于-3与-1之间，b2-4ac＞0
∴16a2-4ac=4a（4a-c）＞0，据条件得图象：
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴4a-c＞0，∴4a＞c即a＞，
∵当x=-3时，9a-3b+c＞0，由b=4a，
∴c＞3a即a＜，
∴＜a＜ ，
当x=1时，y=a+b+c＞0．
故答案为②④．
三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）
13. 计算：
【答案】
【解析】
【详解】解：

14. 若关于x的方程 有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根
【答案】（1）a≥（2）a=，．
【解析】
【详解】试题分析：(1)、根据方程有实数根则△≥0求出a的取值范围；(2)、首先求出a的值，然后得出一元二次方程，从而求出方程的解.
试题解析：(1)、△=4+4a；∵方程由实数根，∴4+4a≥0，∴a≥-1；
(2)、当a为符合条件的最小整数时，a=-1，原方程为：，其解为：
考点：(1)、一元二次方程根判别式；(2)、解一元二次方程.
15. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，D为CB延长线上一点，且BD=2AB．求AD的长．
【答案】
【解析】
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，
∴，BC=1．
∵ D为CB延长线上一点，BD=2AB，
∴ BD=4，CD=5．
∴．
16. 图为抛物线的一部分，它经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【详解】解：（1）∵ 抛物线经过A，B两点，
∴
解得
∴ 抛物线的解析式为．
（2）∵ 抛物线的顶点坐标为，
∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为．
∴ 平移后的抛物线的解析式为．
17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.（取1.414，取1.732）
【答案】136.6m
【解析】
【详解】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，
∴ BD=AD=50(m)．
Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，
∴(m) ．
∴ BC= BD+CD=(m)．
答：这栋楼约高136.6 m．
18. 对于抛物线.
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是 ．
【答案】（1）（1,0），（3,0）；（0,3）；顶点坐标为 （2，-1）；
（2）见解析
（3）-1≤t＜8
【解析】
【详解】解：（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；
（2）列表：
图象如图3所示．
（3）∵关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，
∵y=x2-4x+3的顶点坐标为（2，-1），
若x2-4x+3-t=0有解，方程有两个根，则：b2-4ac=16-4（3-t）≥0，解得：-1≤t
当x=-1，代入x2-4x+3-t=0，t=8，
当x=，代入x2-4x+3-t=0，t=
∵x＞-1，∴t＜8，
∴t的取值范围是：-1≤t＜8
四、解答题（本题共28分，第22题8分，其余每小题5分）
19. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.4
【解析】
【分析】（1）由题中条件可得∠B=∠C，所以由已知条件，求证∠BDE=∠CAD即可得△BDE∽△CA；
（2）由（1）可得△BDE∽△CAD，进而由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长．
【详解】（1）∵ AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠ADE+∠BDE=∠ADB =∠C+∠CAD，且∠ADE=∠C，
∴∠BDE =∠CAD．
∴△BDE∽△CAD．
（2）由（1）△BDE∽△CAD得．
∵ AB=AC= 5，BC= 8，CD=2，
∴．
∴．
20. 两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角（） ，将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于 ，= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，= °．
【答案】（1）60,, 30;（2）45
【解析】
【详解】解：（1）过C作CM⊥DE于M，如图2，
∵CD=FE=DE=2，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴CM== ，
∵∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，
而∠1等于旋转角，
∴α=30°；
（2）如图3，
∵四边形MFNC为正方形，
而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
∴NF=NC，∠FNC=90°，
∴∠DNE=90°，ND=NE，
∴∠NDE=∠NED=45°，
∴∠1=180°-90°-45°=45°，
∴α=45°．
故答案为：（1）60， ，30；（2）45．
21. 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC.

（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tanB =，求AD的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【详解】（1）证明：∵ OD⊥AC于点E，
∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．
∴ OA⊥AD于点A．
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴．
∵∠B=∠C，tanB =，
∴ 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．
∴．
设⊙O的半径为r，则．
在Rt△OAE中，由勾股定理得，即．
解得 r =5．
∴ 在Rt△OAE中，．
∴ 在Rt△OAD中，．
22. 请阅读下面材料：
若，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下：
证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点， ∴且≠.
①-②得.
∴.
∴.
又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，
∴ 直线为此抛物线的对称轴.
（1）反之，如果，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.
【答案】（1）见解析;（2）2011
【解析】
【详解】解：（1）结论：自变量取，时函数值相等．
证明：∵，为抛物线上不同的两点，
由题意得且≠．得.
∵ 直线是抛物线 （a ≠ 0）的对称轴，
∴.
∴.
∴，即
（2）∵ 二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，
∴ 由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线.
∴，.
∴ 二次函数的解析式为.
∵，
由（1）知，当x = 2012的函数值与时的函数值相等.
∵ 当x =时的函数值为，
∴ 当x = 2012 时的函数值为2011
五、解答题（本题共38分，第23题10分，第24题14分，第25题14分）
23. 已知关于x的一元二次方程.（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
① 当k = m时，求m的值；
② 若记为y，求y与m的关系式；
（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．
【答案】（1）①1；②；（2）当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根，理由见解析．
【解析】
【详解】解：（1）∵ k为的实数根，
∴
① 当k = m时，
∵ k为非零实数根，
∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m，得.
整理，得
解得，
∵是关于x的一元二次方程，
∴ m ≠ 2
∴ m= 1
② ∵ k为原方程的非零实数根，
∴ 将方程两边都除以k，得
整理，得
∴
（2）解法一：
当＜m＜2时，m＞0，＜0
∴＞0，＞1＞0，Δ＞0
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根
解法二：直接分析＜m＜2时，函数的图象，
∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，
∴ 该抛物线必与x轴有两个不同交点
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根
解法三：
结合关于m的图象可知，（如图6）
当＜m≤1时，＜≤4；
当1＜m＜2时，1＜＜4
∴ 当＜m＜2时，＞0
∴ 当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．
24. 已知抛物线（其中a ≠ c且a ≠0）.
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，
求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与 y轴的交点为C，若
，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N， 则N关于n的函数关系式为 .
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）
【解析】
【详解】解：（1）抛物线与x轴交点的横坐标是关于x的方程（其中a ≠ 0，a ≠c）的解.
解得，.
∴ 抛物线与x轴交点的坐标为，
（2）抛物线的顶点A的坐标为.
∵ 经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为，

由③得 c =0.
将其代入①、② 得
解得.
∴ 所求抛物线的解析式为.
（3）作PE⊥x轴于点E， PF⊥y轴于点F.（如图7）
抛物线的顶点A的坐标，
点B的坐标为，点C的坐标为.
设点P的坐标为.
∵ 点P在x轴上方的抛物线上，
∴，且0＜m＜1，.
∴，.
∵，
∴.
解得 m=2n，或（舍去）
将m=2n代入，得.
解得，（舍去）.
∴.
∴ 点P的坐标为
（4）N关于n的函数关系式为N=4n
说明：二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值，此时y随x的增大而减小，
∴＜y≤，
其中的整数有，，….
.
25. 含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（且≠ 90°），得到Rt△，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，连接BE.
（1）如图1，当边经过点B时，= °；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3） 设 BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=
时，求AD的长，并判断此时直线与⊙E的位置关系.
【答案】（1）60（2）证明见解析；（3）直线与⊙E相交
【解析】
【详解】（1）当边经过点B时，= 60 °；
（2）猜想：①如图8，点D在AB边上时，m=2；
②如图9，点D在AB的延长线上时，m=4.
证明：① 当时，点D在AB边上（如图8）.
∵ DE∥，
∴.
由旋转性质可知，CA =，CB=，∠ACD=∠BCE
∴
∴ △CAD∽△CBE
∴ ∠A =∠CBE=30°.
∵ 点D在AB边上，∠CBD=60°，
∴，即 m=2.
② 当时，点D在AB的延长线上（如图9）.
与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.
∵ 点D在AB的延长线上，，
∴，即 m=4.
（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴ AB = 2" ，，.
由 △CAD∽△CBE 得.
∵ AD=x，
∴，.
①当点D在AB边上时，AD=x，，∠DBE=90°.
此时，.
当S =时，.
整理，得.
解得，即AD=1
此时D为AB中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（如图10）
∴ EC = EB.
∵，点E在边上，
∴ 圆心E到距离EC等于⊙E的半径EB.
∴ 直线与⊙E相切
②当点D在AB的延长线上时，AD=x，，∠DBE=90°.（如图9）.
.
当S =时，.
整理，得.
解得，（负值，舍去）.
即
此时∠BCE=，而，∠CBE=30°，
∴ ∠CBE＜∠BCE .
∴ EC＜EB，即圆心E到的距离EC小于⊙E的半径EB.
∴ 直线与⊙E相交
x
…
…
y
…
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
-1
0
3
…