2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）若点A（a+b，1）与点B（﹣5，a﹣b）关于原点对称，则点P（a，b）的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）
3．（4分）抛物线y＝x2﹣6x+9的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣3）B．（﹣3，0）C．（0，3）D．（3，0）
4．（4分）将方程x2+6x＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b分别为（ ）
A．a＝6，b＝0B．a＝﹣6，b＝0C．a＝3，b＝9D．a＝﹣3，b＝9
5．（4分）在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2﹣4ax+2与x轴的一个交点是A（﹣1，0），另一交点为B，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．6D．8
6．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
7．（4分）有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中R0个白球同时变成红球（R0为程序设定的常数）．若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为了64个．则R0应满足的方程是（ ）
A．4（1+R0）＝64B．4（1+R0）＝400
C．4（1+R0）2＝64D．4（1+R0）2＝400
8．（4分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（ ）
A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸
9．（4分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a，﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）
10．（4分）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A．10mB．8mC．6mD．5m
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ．
12．（5分）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处（填写区域对应的序号）．
13．（5分）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n＝mn（m+n）．例如，4※2＝4×2×（4+2）＝48．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则x1※x2＝ ．
14．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为的中点．若∠D＝30°，BC＝2，解决下列问题：
（1）连接OC，则△OBC的形状是 ；
（2）BD的长为 ．
三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x（x+3）＝x2+8x．
16．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，延长CB交B′C′于点D，交AC′于点E．若∠BAB′＝40°，求∠C′DC的度数．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，点A，B，C在⊙O上，＝2，∠ABC＝38°，连接OA交BC于点M，求∠AMC的度数．
18．（8分）某网店专门销售某种品牌的学习用品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价x为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）落一子而全局活．地摊经济一放开，不少地方出现了“千树万树梨花开”的景象，某人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．
（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
20．（10分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与点A．C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．
（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；
（2）若正方形的边长为4，且PC＝3AP，求线段AP的长．
六.（本题满分12分）
21．（12分）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．
（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；
（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，
请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标．
七.（本题满分12分）
22．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度．
八.（本题满分14分）
23．（14分）如图，二次函数y1＝﹣x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C．
（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；
（2）点P在x轴下方的二次函数图象上，且S△ACP＝33，求点P的坐标；
（3）结合图象，求当x取什么范围的值时，有y1≤y2．
2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的方程组，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a+b，1）与点B（﹣5，a﹣b）关于原点对称，
∴，
解得：，
故点P（a，b）的坐标是（2，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
3．【分析】将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴该抛物线的顶点坐标为（3，0），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．
4．【分析】把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到a、b的值．
【解答】解：x2+6x＝0，
x2+6x+9＝9，
（x+3）2＝9，
所以a＝3，b＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
5．【分析】先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性得到B点坐标，从而得到AB的长．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
而抛物线y＝ax2﹣4ax+2与x轴的一个交点是A（﹣1，0），
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+2与x轴的另一交点为B的坐标为（5，0），
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
6．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
7．【分析】原有4个红球，1分钟后红球数为（4+4R0）个，2分钟新增加的红球数为x（4+4R0）个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论．
【解答】解：根据题意得：4R0+4+R0（4R0+4）＝64，
即：4（1+R0）2＝64；
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解增长率问题，难度较小．
8．【分析】根据垂径定理得出AE的长，再利用勾股定理求解．
【解答】解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，
即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
即圆的直径为26寸．
故选：B．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理，正确构造直角三角形求出半径长是解题关键．
9．【分析】设点A的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【解答】解：根据题意，点A、A′关于点C对称，
设点A的坐标是（x，y），
则＝0，＝﹣1，
解得x＝﹣a，y＝﹣b﹣2，
∴点A的坐标是（﹣a，﹣b﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
10．【分析】建立直角坐标系，根据题意求出函数解析式，求y＜2.44对应的x的值．
【解答】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3，
将（0，0）代入解析式得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+3，
当x＝10时，y＝，＜2.44，满足题意，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，建立直角坐标系构建二次函数模型是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得
，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
12．【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
故答案为：②．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
13．【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝5，x1x2＝4，根据新定义的运算法则求解即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝4，
∴x1※x2＝x1x2（x1+x2）＝4×5＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及新定义，理解新定义并熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠COB＝2∠D＝60°，然后再根据等边三角形的判定方法即可解答；
（2）连接OD，利用（1）的结论可得OB＝BC＝2，然后再根据已知可得＝，从而可得∠AOD＝∠DOB＝90°，最后利用等腰直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：（1）△OBC是等边三角形，
理由：如图：
∵∠D＝30°，
∴∠COB＝2∠D＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）连接OD，
∵△OCB是等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠AOD＝∠DOB＝∠AOB＝90°，
∵OB＝OD，
∴BD＝OB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x（x+3）＝x2+8x，
2x2+6x＝x2+8x，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
16．【分析】由旋转的性质得到∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，进而推出∠CAC′＝40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC＝∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，
∴∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，
∵∠BAB'＝40°，
∴∠CAC′＝40°，
∵∠C'DC＝180°﹣∠DEC′﹣∠C′，∠CAC′＝180°﹣∠C﹣∠AEC，∠DEC′＝∠AEC，
∠C′DC＝∠CAC′＝40°，
故∠C′DC的度数为40°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【分析】连接OC，OB，根据圆周角定理推出∠BOC的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接OC，OB，
∵∠ABC＝38°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝76°，
∵，
∴，
∵OC＝OB，
∴
＝
＝33°，
∴∠AMC＝∠OCB+∠COA
＝33°+76°
＝109°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
18．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式得出答案；
（2）直接利用销量×每件利润＝总利润，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；
（2）设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），
w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＝50时，w大＝﹣10（50﹣50）2+4000＝4000
答：当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出y与x之间的函数关系式是解题关键．
五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【分析】（1）根据题中等量关系为：利润＝（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式；
（2）将（1）中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝（x﹣8）[20﹣4（x﹣9）]，
即y＝﹣4x2+88x﹣448（9≤x≤14）；
（2）由（1）得：y＝﹣4（x﹣11）2+36，
∴当x＝11时，y最大＝36元，
答：售价为11元时，利润最大，最大利润是36元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润＝（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键．
20．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得AB＝BC，∠ABC＝90°．由图形旋转，可得BP＝BQ，∠PBQ＝90°．从而，可证△APB≌△CQB，故AP＝CQ．
（2）如图．由四边形ABCD是正方形，∠PAM＝45°，故△PAM是等腰直角三角形且AM＝PM．由勾股定理，可得AC＝4，故AP＝．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB于M，
（1）由题意得：PB＝QB，∠PBQ＝∠2+∠3＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△APB和△CQB中，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ；
（2）由（1）知：∠ABC＝90°，AB＝CB；
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝4，
又∵PC＝3AP，
∴AC＝AP+PC＝AP+3AP＝4AP＝4
∴AP＝，
故线段AP的长为．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质是解题的关键．另外，证明三角形全等也是证明线段相等的一种常用方法．
六.（本题满分12分）
21．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1B1＝＝3（cm）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
七.（本题满分12分）
22．【分析】（1）根据内接四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
又∵∠DCF+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCF，
∵BD是∠ABC的角平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∠DEA＝∠F＝90°，
在△AED与△CFD中
，
∴△AED≌△CFD（AAS）
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE＝CF，BE＝BF，
设AE＝CF＝x，则BE＝10﹣x，BF＝8+x，
即10﹣x＝8+x，
解得x＝1，
在Rt△BFD，∠DBC＝30°，设DF＝y，则BD＝2y，
∵BF2+DF2＝BD2，
∴y2+92＝（2y）2，
y＝3，
BD＝6．
【点评】考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质．解答此题的关键是证明△AED≌△CFD．
八.（本题满分14分）
23．【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）设P到x的距离为h，根据S△ACP＝33求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线解析式即可求得P点的坐标；
（3）解析式联立，求得交点坐标，根据解得坐标，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（0，2）代入y1＝﹣x2+bx+c，得：，
解得：b＝，
∴二次函数的解析式为y1＝﹣x2+x+2．
∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴C（2，0），
∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y2＝﹣x+2．
（2）设P到x的距离为h，
∵A（﹣1，0），C（2，0），
∴AC＝3，
∵S△ACP＝33，
∴AC•h＝33，
∴h＝22，
∴P的纵坐标为﹣22，
把y＝﹣22代入y1＝﹣x2+x+2得，﹣22＝﹣x2+x+2，
解得x＝10或x＝﹣6，
∴P的坐标为（10，﹣22）和（﹣6，﹣22）；
（3）解得或，
∴抛物线与直线的另一个交点为（，﹣），
由图象可知，当x≤0或x≥时，有y1≤y2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．