安徽省合肥市庐江县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市庐江县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内）
1．（4分）关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a＞0 B．a≠0 C．a≠1 D．a＝1
2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖
B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇
C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中
D．实心铅球投入水中，下沉
3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
4．（4分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝x2﹣2x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，2） B．（4，2） C．（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）
6．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　）

A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
7．（4分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（　　）

A．65 B．75 C．85 D．130
9．（4分）⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　　）
A． B． C．2 D．2
10．（4分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（　　）

A．3 B．4 C．14 D．18
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，则xy的值为 　 　．
12．（5分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是 　 　．

13．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝126°，则∠BDC的度数为 　 　．

14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 　 　．

三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
16．（8分）如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．

四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．
18．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ 　 　，　 　）中心对称．

20．（10分）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了科学精准地做好校园常态化疫情防控工作，某校通过新生培训、主题班会、专题教育、知识竞赛等方式，指导学生科学防疫．在该校九年级疫情防控知识竞赛中，若干名参赛选手的成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将竞赛成绩绘制如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）该校九年级共有 　 　名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加县级知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O点在△ABC内部，⊙O经过B、C两点且交AB于点D，连接CO并延长交线段AB于点G，以GD、GC为邻边作平行四边形GDEC．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝7，CE＝5，求⊙O的半径．

八、（本题满分14分）
23．（14分）某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：
销售单价x（元/千克）
25
30
35
40
销售量y（千克）
50
40
30
20
商品B的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品A，免费送1千克的商品B．
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）设这两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元）与x的函数关系式；
（3）若商品A的售价不低于成本，不高于成本的180%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的成本）

2021-2022学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内）
1．（4分）关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a＞0 B．a≠0 C．a≠1 D．a＝1
【分析】根据“关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a﹣1≠0，解之即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
a≠1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．购买一张彩票，中奖
B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇
C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中
D．实心铅球投入水中，下沉
【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．购买一张彩票，中奖，这是随机事件，故A不符合题意；
B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇，这是不可能事件，故B不符合题意；
C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中，这是随机事件，故C不符合题意；
D．实心铅球投入水中，下沉，这是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了必然事件，熟练掌握必然事件，随机事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
4．（4分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（4分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝x2﹣2x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，2） B．（4，2） C．（﹣2，﹣2） D．（4，﹣2）
【分析】根据：抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），即可求得平移后的抛物线的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2
所以抛物线的顶点坐标为（1，0），
先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是掌握二次函数图象的平移规则．
6．（4分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　）

A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝3，再利用勾股定理计算出OH＝4，从而得到OP的范围为4≤OP＜5，然后对各选项进行判断．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，则AH＝BH＝AB＝3，
在Rt△OAH中，OH＝＝＝4，
所以OP的范围为4≤OP＜5．
故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7．（4分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y＝ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；
当a＜0时，函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y＝ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；
当x＝0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．
正确的只有C．
故选：C．
【点评】应该识记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（　　）

A．65 B．75 C．85 D．130
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝95°，根据平行四边形的性质求出∠DAB即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣65°﹣20°＝95°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转n角度（0＜n＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝95°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝85°，
∴旋转角n的度数是85°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识点，能根据旋转得出∠ADE＝∠ABC＝95°是解此题的关键．
9．（4分）⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　　）
A． B． C．2 D．2
【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积．
【解答】解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴OM＝OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝OD＝2；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝∠FED＝60°，
∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，
∵22+（2）2＝（2）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝×2×2＝2．
故选：C．

【点评】本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质，会解直角三角形．
10．（4分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（　　）

A．3 B．4 C．14 D．18
【分析】由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4，再通过解直角三角形，求出△CBD高，进而求解．
【解答】解：由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4，
过点B作BH⊥DC于点H，

设CH＝x，则DH＝8﹣x，
则BH2＝BC2﹣CH2＝BD2﹣DH2，即：BH2＝42﹣（8﹣x）2＝62﹣x2，
解得：BH＝，
则a＝y＝S△ABP＝DC×HB＝×8×＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，则xy的值为 　1　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，
∴2x﹣1+3＝0，y﹣3﹣5＝0，
解得：x＝﹣1，y＝8，
则xy＝（﹣1）8＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
12．（5分）若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是 　　．

【分析】由摘取的顺序有ACB，CAB，CBA三种等可能的结果，即可求解．
【解答】解：由摘取的顺序有ACB，CAB，CBA三种等可能的结果，
∴最后一只摘到B的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；找出所有的等可能性是解题的关键．
13．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝126°，则∠BDC的度数为 　99°　．

【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝126°，
∴∠C＝180°﹣130°＝54°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝54°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝27°，
∴∠BDC＝180°﹣27°﹣54°＝99°，
故答案为：99°．
【点评】此题考查圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．
14．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 　2﹣2　．

【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值＝FH﹣FP＝FH﹣FG．
由翻折的性质可知，PF＝CF＝2，
∴点P在⊙F上，

∵AC＝6，BC＝6，
∴AB＝12，
由△AHF∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴FH＝2，
∴点P到AB的距离的最小值＝FH﹣FG＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x2+2x﹣3＝0．
【分析】观察方程x2+2x﹣3＝0，可因式分解法求得方程的解．
【解答】解：x2+2x﹣3＝0
∴（x+3）（x﹣1）＝0
∴x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．
16．（8分）如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．

【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠CB'B＝∠CBB'＝75°，由三角形内角和定理得出∠BCB'＝30°，即旋转角α为30°；作B'E⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CBB'＝∠AB'B＝75°，
由旋转的性质得：CB＝CB'，
∴∠CB'B＝∠CBB'＝75°，
∴∠BCB'＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
即旋转角α为30°；
作B'E⊥BC于E，如图所示：

则AB＝B'E＝CB'＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．
【分析】根据增长后的产量＝增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．
【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．
根据题意，得10（1+2x）•2000（1+x）＝60000．
解得：x1＝0.5，x2＝﹣2（不合题意，舍去）．
答：南瓜亩产量的增长率为50%．
【点评】本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，难度一般．
18．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

【分析】（1）设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．
【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝，AD＝2DE，
∴n＝90，
∴∠BAC＝90°．

（2）∵AD＝2DE＝10（cm），
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2．
【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ 　﹣2　，　0　）中心对称．

【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．
故答案为：﹣2，0．
【点评】此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键．
20．（10分）已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由；
（3）若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）设抛物线顶点式，将（1，3）代入解析式求解．
（2）根据函数最大值为4可判断点P不在图象上．
（3）根据二次函数开口向下可得x＜0时，y随x增大而增大，进而求解．
【解答】解：∵抛物线顶点为（2，4），
∴设y＝a（x﹣2）2+4，
将（1，3）代入y＝a（x﹣2）2+4得3＝a+4，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+4．
（2）不能，理由如下：
∵y＝﹣（x﹣2）2+4≤4，
∴点P（x，5）不能在抛物线上．
（3）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴x＜0时，y随x增大而增大，
∵a＜b＜0，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了科学精准地做好校园常态化疫情防控工作，某校通过新生培训、主题班会、专题教育、知识竞赛等方式，指导学生科学防疫．在该校九年级疫情防控知识竞赛中，若干名参赛选手的成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将竞赛成绩绘制如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）该校九年级共有 　500　名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 　36°　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加县级知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
【分析】（1）由A等级的人数除以所占百分比求出该校九年级共有的学生，即可解决问题；
（2）求出B等级的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）画树状图，两个数字之和为奇数的结果有8种，两个数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，比较大小即可．
【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150×30%＝500（名），
则“D”等级所占圆心角的度数为360°×＝36°，
故答案为：500，36°；
（2）B等级的人数为：500﹣150﹣100﹣50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：

（3）选取规则不合理，理由如下：
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，两个数字之和为奇数的结果有8种，两个数字之和为偶数的结果有4种，
∴选甲乙的概率为＝，选丙丁的概率为＝，
∵＞，
∴此规则不合理．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O点在△ABC内部，⊙O经过B、C两点且交AB于点D，连接CO并延长交线段AB于点G，以GD、GC为邻边作平行四边形GDEC．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝7，CE＝5，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，根据题意和平行四边形的性质可得DE∥CG，可得OD⊥DE，即可求解；
（2）设⊙O的半径为r，因为∠GOD＝90°，根据勾股定理可求解r，当r＝2时，OG＝5，此时点G在⊙O外，不合题意，舍去，可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠ODE+∠COD＝180°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴CG＝DE＝7，DG＝CE＝5，
∵∠GOD＝90°，
∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（7﹣r）2＝52，
解得：r1＝3，r2＝4，
当r＝3时，OG＝4，此时点G在⊙O上，不合题意，舍去，
∴r＝4，即⊙O的半径4．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质和判定，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解决本题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：
销售单价x（元/千克）
25
30
35
40
销售量y（千克）
50
40
30
20
商品B的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品A，免费送1千克的商品B．
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）设这两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元）与x的函数关系式；
（3）若商品A的售价不低于成本，不高于成本的180%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的成本）
【分析】（1）利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
（2）利用每件的利润×销售量﹣免费送的成本＝总利润，即可求出w（元）与x的函数关系式；
（3）先根据已知求出x的取值范围，再将（2）的解析式化为配方式，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（30，40）、（40，20）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+100；
（2）由y≤60，得x≥20，
由y≥0，得x≤50，
∴20≤x≤50．
w＝（x﹣20）（﹣2x+100）﹣6×（﹣2x+100）+（10﹣6）[60﹣（﹣2x+100）]＝﹣2x2+160x﹣2760（20≤x≤50）；
（3）20×180%＝36，
由题意知20≤x≤36，
w＝﹣2x2+160x﹣2760＝﹣2（x﹣40）2+440，
∵﹣2＜0，
∴x＜42时，w随x的增大而增大，
∴x＝36时，w的最大值＝408，
答：当销售单价定为36元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是408元．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．