数学九年级下册第二章 二次函数综合与测试单元测试课时练习

第二章 二次函数A卷 基础夯实

北师大版九年级下册数学单元测试AB卷

【满分：100分】

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.

1.抛物线的对称轴是(   )

A. B. C. D.

2.抛物线的顶点为，与y轴交于点，则该抛物线的表达式为(   )

A. B. C. D.

3.抛物线经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是(   )

A.，， B.，，

C.，， D.，，

4.已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，则代数式的值为(   )

A.2018 B.2019 C.2020 D.2021

5.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥〔如图（1）〕，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图（2），此钢拱（近似看成抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线形钢拱对应的函数表达式为(   )

A. B. C. D.

6.若抛物线经过和两点，则n的值为(   )

A. B. C.1 D.

7.竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式表示，其中（m）是物体抛出时离地面的高度，（m/s）是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为(   )

A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m

8.已知二次函数的图像如图所示，则下列选项中不正确的是(   )

A. B. C. D.

9.当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为(   )

A. B.或 C.2或 D.2或或

10.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时到达最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80 m；③小球的高度时，或5；④小球抛出2秒后的高度是35 m.其中正确的有(   )

A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件.若使利润最大，则每件商品的售价应为__________元.

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为__________.

13.在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的抛物线与x轴没有交点，则n的最小值为_________.

14.如图，二次函数的图像与y轴交于点C，与x轴的一个交点为，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数的图像经过A，B两点，根据图像得满足不等式的x的取值范围是___________.

15.如图，二次函数的图像中，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数的图像上，四边形OBAC为菱形，且，则菱形OBAC的面积为_____________.

三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.

16.如图，已知抛物线的顶点坐标为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点.点P是抛物线上的一个动点.

(1)求此抛物线的表达式.

(2)求C，D两点坐标及的面积.

(3)若点P在x轴下方的抛物线上.满足，求点P的坐标.

17.游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5 m的平台(点P在y轴上)，滑道AB可以看作反比例函数图像的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图像的一部分，两滑道的连接点B为二次函数图像的顶点，且点B到水面的距离，点B到y轴的距离是5 m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离，与点B的水平距离.

(1)求反比例函数的表达式及其自变量的取值范围.

(2)求整条滑道ABCD的水平距离.

(3)若小明站在平台上距y轴1 m的点M处，用水枪朝正前方“扫射”，水枪出水口N距离平台，喷出的水流为抛物线形，设这条抛物线所表示的二次函数表达式的二次项系数为p，若水流最终落在滑道BCD上(包括B，D两点)，直接写出p的取值范围.

答案以及解析

1.答案：A

解析：对称轴是直线.

2.答案：A

解析：设抛物线的表达式为，把代入，得，解得，抛物线的表达式为.

3.答案：A

解析：抛物线经过原点，.

抛物线经过第一、二、三象限，

抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，

，，.故选A.

4.答案：D

解析：利用整体换元的思想，根据题意得，所以，所以.

5.答案：B

解析：设此抛物线钢拱对应的函数表达式为，将点的坐标代入，得，解得，所以此抛物线形钢拱对应的函数表达式为.故选B.

6.答案：A

解析：由抛物线经过和两点，可知抛物线的对称轴为直线，.将点代入函数表达式，可得.故选A.

7.答案：C

解析：由题意，得，

当时，h取得最大值，此时.故选C.

8.答案：B

解析：A选项，由图像开口向下得，故A不符合题意；B选项，如图，由图像可知点在x轴下方，故，故B符合题意；C选项，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，故，故C不符题意；D选项，对称轴在y轴左侧，在点右侧，故，故D不符合题意.故选B.

9.答案：C

解析：二次函数图象的对称轴为直线，①若，则当时，函数取得最大值，此时，，解得，不合题意，舍去；②若，则当时，函数取得最大值，此时，解得，不满足，；③若，则当时，函数取得最大值，此时，，解得.综上，当或时，二次函数有最大值4.故选C.

10.答案：A

解析：由图像可知，点，，在抛物线上，顶点为点.设函数表达式为.将代入得，解得，.①顶点坐标为，小球抛出3秒时到达最高点，故①正确；②小球从抛出到落地经过的路程应该为小球上升到最高点，再从最高点落下的路程，故为，故②正确；③令，则，解得，故③错误；④令，则，故④错误.综上，正确的有①②.

11.答案：25

解析：设利润为w元，则，，当时，w有最大值25.

12.答案：6

解析：在函数中，当时，，点A坐标为.把代入，解得，点B坐标为，点C坐标为.

13.答案：4

解析：点和是抛物线上的两点，

.解得.

抛物线的解析式为，顶点坐标为，

将抛物线向上平移n（n是正整数）个单位，

使平移后的抛物线与x轴没有交点，n的最小值是4.

14.答案：

解析：抛物线经过点，，抛物线对应的函数表达式为，，对称轴为直线.点B与C关于对称轴对称，满足的x的取值范围为.

15.答案：

解析：连接BC交OA于D，如图.四边形OBAC为菱形，.，，.设，则，.把代入得，解得（舍去），，，，，.菱形OBAC的面积为.

16.答案：(1)

(2)，，

(3)或

解析：(1)抛物线的顶点坐标为，

设抛物线的表达式为.

把点代入，得，解得.

抛物线的表达式为.

(2)由(1)知抛物线的表达式为.

令，则，解得或，，，.

，，.

(3)由(2)知，，.

，，.

点P在x轴下方的抛物线上，点P的纵坐标为-1.抛物线的表达式为，

，解得，

或.

17.答案：(1)，

(2)7 m

(3)

解析：(1)因为，点B到y轴的距离是5 m，所以点B的坐标为.设反比例函数的表达式为，则，解得.所以反比例函数的表达式为.

因为当时，，即点A的坐标为，

所以自变量x的取值范围为.

(2)由题意可知二次函数图像的顶点坐标为，点C坐标为.

设二次函数的表达式为，则，解得.所以二次函数的表达式为.

当时，解得，(舍去).

所以点D的坐标为，则.所以整条滑道ABCD的水平距离为.

(3).由题意可知点N的坐标为，且为抛物线的顶点.设水流所成抛物线的表达式为.当水流落在点时，由，解得；当水流落在点时，由，解得.的取值范围为.