初中数学第二章 二次函数综合与测试单元测试当堂达标检测题

第二章 二次函数B卷 能力提升

【满分：100分】

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.

1.已知二次函数(a，b，c是常数且)的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图像是(   )

A. B.

C. D.

2.k为任意实数，抛物线的顶点总在(   )

A.直线上 B.直线上 C.x轴上 D.y轴上

3.将抛物线先沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的新抛物线的表达式为(   )

A. B. C. D.

4.已知一个二次函数，当时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线相同，则这个二次函数的表达式是(   )

A. B. C. D.

5.已知二次函数的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点和点B，且，那么AB的长是(   )

A. B.m C. D.

6.如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合.现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为(   )

A. B.

C. D.

7.二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，图像和x轴的一个交点坐标为，由图像可知不等式的解集是(   )

A. B. C.且 D.或

8.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5 m的墙，且分成两个区域，中间用塑料膜隔开.已知整个隔离区塑料膜总长为12 m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面的长不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为.则(   )

A.小明正确，小亮错误 B.小明错误，小亮正确

C.两人均正确  D.两人均错误

9.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为(   )

A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元

10.二次函数的图像如图所示，它的对称轴为直线，与x轴交点的横坐标分别为，，且.下列结论中：①；②；③；④方程有两个相等的实数根；⑤.其中正确的有(   )

A.②③⑤ B.②⑤ C.②④ D.①④⑤

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.抛物线经过，两点，则关于x的一元二次方程的解是____________.

12.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____________.

13.的图象如图所示，设，则M_________0.

14.如图，已知二次函数的图像经过，两点，且图像的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，则的面积为___________.

15.如图是一种常见的道路路灯的化简图，PF为立柱，其中灯杆ADB可以近似看作某抛物线的一部分，且抛物线对称轴到立柱的距离为2.5米，CD是灯杆的固定支架.某时刻路灯A发光时，所能照到的地面最远点E恰好和路灯A以及立柱顶点P在同一直线上，则立柱________米.

三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.

16.冬天来了，晒衣服成了令人头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子.绳子的形状近似为抛物线，如图(1)，已知米，绳子最低点与地面的距离为1米.

(1)求立柱AB的长度.

(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如图(2)，MN的长度为1.85米，通过调整MN的位置，使左边抛物线对应函数的二次项系数为，顶点离地面1.6米，求MN与AB的水平距离BN.

17.如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.

(1)直接写出a的值以及A，B的坐标：________，A(_________，____________)，B(___________，____________)；

(2)过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，试求的最大值；

(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：A

解析：抛物线对称轴在y轴右侧，.抛物线与y轴的交点在x轴下方，.对于一次函数，，图像经过第二、四象限，，图像与y轴的交点在x轴上方.对于反比例函数，，图像位于第二、四象限.

2.答案：B

解析：，抛物线的顶点为.为任意实数，顶点在直线上.

3.答案：B

解析：，则将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的表达式为.

4.答案：D

解析：二次函数图象的形状、开口方向与抛物线相同，设该二次函数的表达式为，当时，y有最大值8，该二次函数图象的顶点为，

该二次函数的表达式为，即.

5.答案：A

解析：二次函数的图象的顶点P的横坐标是4，抛物线的对称轴为直线，设对称轴交x轴于点D，由题意，得A、B两点关于对称轴对称，点，且，即，，故选A.

6.答案：A

解析：和都是边长为2的等边三角形，

，.当时，重叠部分是等边三角形，边长为x，

；

当时，重叠部分仍然是等边三角形，边长为，.，观察选项，只有选项A符合.

7.答案：D

解析：抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点与点关于直线对称，另一交点的坐标为.不等式，，拋物线的图像在x轴下方，不等式的解集是或.

8.答案：B

解析：设隔离区靠墙的面的长为，隔离区的面积为.由题意得，对称轴为直线.，，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，当时，S有最大值，.，小明错误；令，得，解得(舍去)，，时，，隔离区的面积可能为，小亮正确.故选B.

9.答案：D

解析：设在甲地销售m辆，则在乙地销售辆，总利润为W万元.根据题意，得利润，.故选D.

10.答案：B

解析：观察抛物线可知①，，，，故①错误；②对称轴为直线，与x轴交点的横坐标分别为，，且，，故②正确；③当时，，即，故③错误；④抛物线与直线有两个交点，方程有两个不相等的实数根，故④错误；⑤对称轴为直线，即，，当时，，且，即，，解得，故⑤正确.所以②⑤正确.

11.答案：或5

解析：依题意，得解得

关于x的一元二次方程可转化为，

即.化简得，解得或5.

12.答案：2

解析：，则抛物线的顶点坐标为，当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2.四边形ABCD是矩形，，对角线BD的最小值为2.

13.答案：<

解析：由题图可知，，，则，，.当时，，当时，，.

14.答案：6

解析：把，代入，得解得所以抛物线的表达式为.因为抛物线的对称轴为直线，所以.又因为，，所以，，所以的面积为.

15.答案：

解析：由题意和图形可得，点B的坐标为，点D的坐标为，设抛物线的解析式为，则有解得.当时，，解得，，点A的坐标为，设PF的长度为m米，则，解得.

16.答案：(1)2.6米

(2)3米

解析：(1)由题意，得抛物线的表达式为

，

即.

令，可得，米.

(2)由题意可以设抛物线的表达式为

.

，解得.

图像的对称轴在y轴右侧，，，

抛物线的表达式为.

令，可得，.

当时，不符合题意，舍去，.

所以MN与AB的水平距离BN为3米.

17.答案：(1)，，

(2)

(3)或

解析：(1)将代入，得，，，

令，，解得，，，.

故答案为；-3，0；4，0.

(2)，，，为等腰直角三角形，.

轴，.

，是等腰直角三角形，

，，要使的值最大，只需使PQ的值最大.

由，可得直线BC的表达式为.

，

，，

，

当时，PQ的最大值为，

的最大值为.

(3)存在.，，，

，，.

以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：

①时，，解得(此时Q与C重合，舍去)或，；

②时，，解得或(此时M不在线段OB上，舍去)，

；

③时，，解得(此时M不在线段OB上，舍去).

综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形时，或.