圆锥曲线的方程试卷及答案

圆锥曲线的方程测试(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线的焦点坐标是(    )

A． B． C． D．

2．已知直线双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为(    )

A． B．2 C． D．

3．已知是的定直径，过上的动点作切线与过点的切线分别交于点，连接交于点，则点的轨迹是(    )

A．圆 B．椭圆 C．抛物线的一段 D．线段

4．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为(    )

A． B． C． D．

5．抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且，且中点到准线的距离为3，则线段的中点到准线的距离为(    )

A．1 B．2 C． D．3

6．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为(    )

A．3 B． C． D．

7．已知双曲线的渐近线夹角为，离心率为e，则等于(    )

A．e B． C． D．

8．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是(    )

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ）

A．的准线方程为

B．直线与相切

C．若，则的最小值为

D．若，则的周长的最小值为11

10．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A．存在P使得 B．的最小值为

C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值

11．椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（    ）

A．椭圆C的离心率为

B．椭圆C上存在点P，使得

C．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8

D．若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2

12．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（    ）

A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切

C．的最小值为32 D．当最小时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。

13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则______．

14．椭圆：左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上点，轴，且，则椭圆的离心率_____.

15．直线与抛物线交于A，B两点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为M，则______．

16．点在椭圆上，点到直线的最大距离和最小距离为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (10 分)命题 : 方程 表示焦点在 轴上的椭圆; 命题 : 方程 1 表示双曲线。
(1)若命题 为真命题, 求 的取值范围;
(2) 若命题 为假命题, 求 的取值范围。
18. (12 分) 已知动圆 过定点 , 且与直线 相切, 圆心 的轨迹为 。 (1)求动点 的轨迹方程;
(2) 已知直线 交轨迹 于 两点, 且 中点的纵坐标为 2 , 则 的最大值为多少?
19. (12 分) 已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合, 的中心与 的顶点重合。过 且与 轴垂直的直线交 于 两点, 交 于 两点, 且 。
(1)求 的离心率;
(2) 设 是 与 的公共点。若 , 求 与 的标准方程。
20. (12 分) 已知椭圆 经过点 , 离心率为 , 左、 右焦点分别为 .
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若直线 与椭圆交于 两点, 与以 为直径的圆交于 , 两点, 且满足 , 求直线 的方程.
21. (12 分) 已知抛物线 的焦点为 .
(1) 过点 且斜率为 的直线交抛物线 于 两点, 若 , 求抛物 线 的方程.
(2) 过点 的直线交抛物线 于 两点, 直线 分别与直线 相 交于 两点, 试判断 与 的面积之比是否为定值, 并说明理由.

22. (12 分) 已知椭圆 的离心率为 , 分别为 的左、右顶点.
(1) 求 C 的方程;
(2) 若点 在 上, 点 在直线 上, 且 , 求 的面 积.

参考答案

1解析：

由题可知：双曲线的焦点在轴上，且，所以所以双曲线的焦点坐标为

故选：D

2解析：

双曲线的渐近线为，所以，

所以离心率为，

故选：A

3解析：

设圆的半径为1，以圆心O为原点直径AB为x轴建立直角坐标系：

则，圆的方程为，

设，则切线MN的方程为，

直线AM的方程为，直线BN的方程为，

所以，则直线AN的方程为 ，

直线BM的方程为，两式相乘得，

即，当点P恰为A或B时，四边形ABNM变为线段AB，不符合题意，所以轨迹不包括A，B两点，所以T的轨迹为椭圆，

故选：B

4解析：抛物线上一点到焦点的距离为，

由抛物线的定义知，即，所以，所以，

抛物线的焦点坐标为，

故选：A.

5解析：抛物线方程为，则，

由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，即，

所以线段的中点到准线的距离为.

故选：D

6解析：

设椭圆的右焦点为，，，

又，，

当三点共线时取等号，的最小值为3(取最小值时是射线与椭圆的交点)，

故选：A.

7解析：

取双曲线方程为，易得离心率，

故选：C.

8解析：

显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.

∴ m2＝1，即m＝±1.

故选：D.

9解析：

抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；

由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；

设点，所以，

所以，故C正确；

如图过点作准线，交于点，，，

所以，

当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；

故选：BCD

10解析：

设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，

所以，，，，，

对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；

对于B选项，记，则，

由余弦定理：

，当且仅当时取“=”，B正确；

对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；

对于D选项，设，则，，于是,故错误.

故选：ABC

11解析：

对于选项A，因为，，所以，即，

所以椭圆C的离心率，故A错误；

对于选项B，设点为椭圆上任意一点，

则点P的坐标满足，且，又，，

所以，，

因此，

令，可得，故B正确；

对于选项C，由椭圆的定义可得，

因此的周长为，

故C正确；

对于选项D，设点为椭圆上任意一点，

由题意可得点到圆的圆心的距离，因为，所以

则，故D错误．

故选：BC．

12解析：

设，，，， ，

直线的方程为，则直线的方程为,

将直线的方程代入，化简整理得，

则，，故,

所以，,

因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，

点M到直线l的距离，

又，所以，故A错误；

因为，

所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，

即以为直径的圆与l相切，故B正确；

同理，，所以，，，

则，当且仅当时等号成立，故C正确；.

设，则，，.

当时，即时，最小，这时，故D正确,

故选:BCD.

13解析：

由题意得椭圆的焦点为和，所以，所以．

故答案为：4

14解析：

在中，设，因为，所以， .

故 .

故答案为：

15解析：

如图，设，则，

所以，

联立可得，所以，

则，，

故，

故答案为：0．

16解析：

设点的坐标为，可得点到直线的，当时，取得最大值为，当时，最小值为．

故答案为：，．

17解析：

(1)根据题意, 得 ,
解得 ,
故命题 为真命题时, 的取值范围为 。
(2) 若命题 为真命题, 则 , 解得 ,
故命题 为假命题时, 的取值范围为 。

18解析：

(1)由题设点 到点 的距离等于它到 的距离, 知点 的轨迹是以 为焦点, 为准线的抛物线, 所以所求轨迹的方程为
（2）由题意易知直线 的斜率存在,
又抛物线方程为 ,
当直线 的斜率为 0 时, 。
当直线 的斜率 不为 0 时, 设中点坐标为 ,则有 ,
 

两式作差得 ,
 

即得 , 则直线 的方程为 , 与

联立得 。 。由根与系数的关系得 。
当且仅当 , 即 时, 等号成立。
即 的最大值为 6 。

19解析：

 (1) 由已知可设 的方程为 , 其中 。
不妨设 在第一象限, 由题设得 的纵坐标分别为 的纵坐标分别为 , 故 。由 得 , 即 。解得 (舍去), 所以 的离心率为 。
(2)由(1) 知 , 故 。设 , 则 ,故 。(1)由于 的准线为 , 所以 , 而 ,
故 , 代入(1) 得 ,
即 , 解得 (舍去), 或 。
所以 的标准方程为 的标准方程为 。

20解析：

解得 , 所以椭圆的方程为 .
(2) 由 (1) 知, 以 为直径的圆的方程为 , 所以圆心到直线 的距离 , 由 得 所以 . 设 , 由 得

,由根与系数的关系可得 .
所以 .
由 , 得 , 解得 , 满足 .
所以直线 的方程为 或 .

21解析：

(1) 设直线 的倾斜角为 , 由题意得 , 由抛物线的焦点弦公式得 , 所以 的方程为 .
(2) 与 的面积之比为 , 理由如下: 设 的方程为 , 代入 得 , 设 , 则 . 因为 , 所以

22解析：

(1) 因为 , 所以 , 根据离心率 , 解得 或 (舍), 所以 C 的方程为: , 即 .

(2) 不妨设 在 轴上方, 因为点 在 上, 点 在直线 上, 且 , 过点 作 轴垂线, 交点为 , 设 与 轴交点为 , 根据 题意画出图形, 如图

因为 , 又因为 , , 所以 , 所以 , 因为 , 所以 , 所以 , 设 点为 , 可得 点纵坐标为 , 将其代入 , 可得 , 解得: 或 , 所以 点为 或 ,
(1) 当 点为 时, 故 , 因为 , 所以 ,
可得: 点为 , 画出图象, 如图

因为 , 可求得直线 的直线方程为:

, 根据点到直线的距离公式可得 到直线 的距离为: , 根据两点间距离公式可得: , 所以 面积为: ;
(2)当 点为 时, 故 , 因为 , 所以 , 可得: 点为 , 画出图象, 如图

因为 , 可求得直线 的直线方程为: , 根据点到直线的距离公式可得 到直线 的距离为:
根据两点间距离公式可得:
所以 面积为: , 综上所述, 面积为 .